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北师大版（2026）八年级数学下册第二章《不等式与不等式组》
2.3一元一次不等式与一次函数(1）教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 一元一次不等式与一次函数（1） 课时 1
课标要求 体会一元一次不等式与一次函数之间的内在联系，理解一元一次不等式的解就是一次函数与x轴交点横坐标左边或右边的x的值的取值范围，既能“从函数到不等式”（看图像写解集）也能“从不等式到函数”（通过解不等式解决函数图像的分别问题）；体会数形结合思想和函数建模思想。
教材分析 数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，本课属于八下第一章第三节《一元一次不等式与一次函数》第一课时内容，从属于“数与代数”这一数学学习领域，因而务必服务于数与代数教学的远期目标，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。教科书基于学生对一元一次不等式和一次函数认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务，
学情分析 学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数，会求一次函数的表达式和画一次函数的图像，在本章前面几节课中，又学习了一元一次不等式概念，具备了解一元一次不等式的基本技能； 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经利用一次函数和一元一次不等式解决了一些简单的现实问题，感受到了一次函数和一元一次不等式解决问题的必要性和作用；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
核心素养目标 1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
教学重点 理解一元一次不等式与一次函数的内在联系。
教学难点 “一次函数的图像”与“一元一次不等式的解”的相互转化。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、一次函数的一般表达式是y=kx+b(k,b为常数，且k≠0), ，它的图像是一条直线。这条直线被x轴分成了有公共端点的两条射线，它们上面点的特征是：端点就是直线与x轴的交点。此时函数值y=0,自变量。 此交点把直线分为两部分，即：当函数值y＞0时，对应图像在X轴的上方的部分， 当函数值y＜0时，对应图像在X轴的下方的部分， 一元一次不等式可化为:ax+b＞0或ax+b＜0或 ax+b≥0或ax+b≤0 （a≠0）。解法步骤是：去分母，去括号，移项，合并同内项，未知数的系数化为一。 3、作出一次函数y=2x-5的图像①列表；②描点；③连线x…02.5…y=2x-5…-50… 回顾旧知，完成一次函数图像的作图。 以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，激发学生探究新知的兴趣。
三、探究 观察图像回答下列问题：(1)x取何值时， y =0 x=2.5时，y=0(2)x取哪些值时， y >0 当x > 2.5时, y > 0 x取哪些值时， y <0 x<2.5时，y<0(4)x取哪些值时，y >3 x>4时，y>3观察图像回答下列问题(1)x取何值时,2x-5=0 2x–5=0 x=2.5(2)x取哪些值时，2x-5>0 2x–5>0 x>2.5(3)x取哪些值时，2x-5<0 2x–5<0 x<2.5(4)x取哪些值时，2x-5>3 2x–5>3 x>43新知归纳（转化思想）一次函数问题 一次不等式（方程）问题 先独立思考再互相交流，展示交流成果。 通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题
四、变式 例题1：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0 思路一:运用函数图象解不等式.作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得当x<2.5时, y>0.思路二:将函数问题转化为不等式问题.即 解不等式-2x-5 >0∴当x<2.5时, y>0.例题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时哥哥追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？（3）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ (5) 你是怎样求解的？与同伴交流设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:y=4x y=3x+9思路一:图象法（1）何时哥哥追上弟弟？【9s时哥哥追上弟弟】（2）何时弟弟跑在哥哥前面？【0--9s内弟弟在哥哥的前面】（3）何时哥哥跑在弟弟前面？【9s后哥哥在弟弟的前面】（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？【弟弟先跑过20m；哥哥先跑过100m.】 思路二:代数法哥哥y=4x 弟弟 y=3x+9（1）何时哥哥追上弟弟？【4x=3x+9 x=9】（2）何时弟弟跑在哥哥前面？【4x<3x+9 x<9】 （3）何时哥哥跑在弟弟前面？【4x>3x+9 x>9】（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？【4x=20 x=5 ; 3x+9=20, x=11/3 ∴弟弟先跑过20m4x=100 x=25 ; 3x+9=100, x=91/3 ∴哥哥先跑过100m】 先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。 通过完成典例分析进一步培养了学生的数形结合意识，掌握用图像法解一元一次不等式和构造不等式解决函数问题
五、尝试 基础达标：已知一次函数 y= 2x+6，当 x> 1 时，y 的取值范围是 y＜8 ；当 y< 2 时，x 的取值范围是 x＞4 ．2、如图，直线 y=kx+b 经过点 A 1, 2 和点 B 2,0，直线 y=2x 过点 A，则不等式 2x0)与x轴的交点坐标为(m,0)，则一元一次不等式ax+b≤0的解集应为( A )A. x≤m B. x≤ m C. x≥m D. x≥ m3、4、如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点( 1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为( D )A. x> 1 B. x< 1 C. x≥3 D. x≥ 15.如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P( 2, 1)，则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是( A )A. x> 2 B. x< 2 C. 2 16.一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有_①③④ .(只填序号)第5题 第6题能力提升：7.如图，在同一直角坐标系中，函数 和 的图象交于点A(m,n).若不等式 恰好有3个非负整数解，则( D )A.m=2 B.m=3 C.2＜m＜3 D.2＜m≤3 8.定义：点 A(x,y )为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y，则把点 A 叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N( 2, 2)，都是“平衡点”，当 1≤x≤3 时，直线 y=2x+m 上有“平衡点”，则 m 的取值范围是 ( B ) ．A. 0≤m≤1 B. 3≤m≤1 C. 3≤m≤3 D. 1≤m≤0 解答提示：∵x=y,∴x=2x+m. x=-m, ∵ 1≤x≤3 ，∴ 1≤-m≤3,得到 3≤m≤1拓展迁移9.如图，直线y= 2x与直线y=kx+b (k≠0)相交于点A(a,2)，并且直线y=kx+b经过x轴上的点B(2,0)．(1)求直线y=kx+b所对应的函数解析式;(2)求两条直线与y轴围成的三角形的面积;(3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集．解：(1)把A(a,2)代入y= 2x中，得 2a=2，∴a= 1，∴A( 1,2)把A( 1,2)，B(2,0)代入y=kx+b中得∴k= ，b=，∴一次函数的解析式是y= x+；(2)设直线AB与Y轴交于点C，则C(0, )(3)不等式(k+2)x+b≥0可以变形为kx+b≥ 2x，结合图像得到解集为：x≥ 1． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 知识：1、知道一元一次不等式和一次函数可以互相 转化。2、会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。能力：作图象以及从图像获取有效信息的能力。思想：分类、转化、类比、数形结合。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 一次函数问题 一次不等式（方程）问题 转化思想 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1、一次函数 y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),与x轴的交点坐标是（6,0），且已知y随x的增大而增大。请回答下列问题：X = 6 时, kx+b= 0 X ＞6 时, kx+b> 0 X ＜6 时, kx+b< 0 已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是（2,3） .如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是( B )A. x>0 B. x>1 C. x<1 D. x<0如图所示，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)、B( 1,0)两点，y=mx+n的图象经过A、C(3,0)两点，则不等式组01C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大D. 关于x，y的方程组y mx=0y kx=b的解是x=1，y=26.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象，如图，试根据图象，回答下列问题：1)慢车比快车早出发 2 小时2)快车追上慢车时行驶了 276 千米3)快车比慢车早 4 小时到达B地4)快车和慢车的速度分别是 69Km/h, 46Km/h . 5)快车追上慢车需 2 小时能力提升：7.如图，直线y=-x+m与y=nx+b(n≠0）的交点的横坐标为-2，有下列结论：①当x=-2时，两个函数的值相等；②b=4n；③关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4；④x＞-2是关于X的不等式-x+m＞nx+b的解集.其中所有正确结论的序号是 ①②③ .拓展迁移：如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0,2) 和点 B( 3,0)．（1）当 x<0 时，直接 写出y 的取值范围；【y＜2】（2）当 0教学反思
2=-k+b
0=2k+b
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第二章
课标要求 根据新课标“数与代数”领域中“数量关系”部分的规定，本章的具体要求如下：1.了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质。2.理解一元一次不等式（组）的概念，能够识别一元一次不等式（组）。3.能解数字系数的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。4.能用不等式（组）解决现实生活中的实际问题。
内容分析 不等式是现实世界中不等关系的一种表现形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是以后学习的重要基础。本章教学内容是学生学习了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的基础上研究不等关系，通过前面的学习学生初步体会了生活中量与量的关系是众多而且复杂的但面对大量的同类量最容易使人感到就是他们的大小之分。在此之前学生已初步建立了方程模型和函数思想，对于解决实际问题的数学化积累了一定的经验以此为基础学习不等关系顺理成章。教科书首先通过具体实例建立不等关系，探索不等式基本性质，了解一般不等式的解、解集以及不等式的概念。然后具体研究一元一次不等式的解、解集，解集的数轴表示。一元一次不等式的解法和一元一次不等式的实际运用。通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系。教学过程关注“类比”思想的渗透；强化“数形结合”；关注“实际情景”规范书写。
学情分析 知识储备充足：已熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法；熟悉一次函数的基本概念及其图像特征；掌握实数大小比较方法，了解生活中常见的不等关系（如身高、温度）思维发展阶段：处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期；对直观图形（如数轴）接受度高，适合采用“数形结合”策略辅助教学。八年级学生整体具备学习“不等式与不等式组”的良好起点，教师应抓住其好奇心强、乐于合作的特点，重点突破符号方向变化和解集几何表示两大障碍。建议以“生活问题建模 → 数学化表达 → 图像验证 → 反馈修正”为主线开展教学，帮助学生建立完整的认知链条。
单元目标 （一）教学目标1、理解不等式（组）的概念解；掌握解一元一次不等式（组）的解法；会用会用数轴表示不等式组的解、解集；能够根据具体问题的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题；初步体会一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系。2、经历“一元一次方程”到“一元一次不等式”的类比过程，体会方程与不等式之间的联系；通过数轴来直观表示不等式的解和不等式组的解集，体会数形结合思想；通过经历用一元一次不等式解决实际问题，增强学生的建模意识。3、通过实际问题的分析、抽象的过程，体会不等式和等式都刻画现实生活中的数量关系，发展学生的符号感；感受数型结合思想，培养分析问题解决问题的能力；通过合作学习，培养学生主动参与的意识和勇于探索的精神：（二）教学重点、难点重点：1、不等式的意义和性质；2、解简单的不等式（组）、用数轴表示不等式表示解集；3、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。难点：解简单的一元一次不等式（组），用数轴表示不等式组的表示解集；2、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01认识不等式102不等式的解与解集103不等式的基本性质104解一元一次不等式105一元一次不等式实际运用106一元一次不等式与一次函数（1）107一元一次不等式与一次函数（2）108一元一次不等式组109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识不等式感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念 2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型 3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 1、初步感知不等关系在日常生活中的存在.2、认识不等号3、已知周长分别用含有字母的式子表示正方形和圆的面积。4、比较周长相等的圆面积和正方形面积的大小。5、根据题意用不等式表示数量关系.6、总结归纳不等式的定义.7、自学例题2、3.关注中差生.8、引导学生总结常用不等关系的基本语言的意义。9、学生完成课堂练习10引导学生进行课堂总结环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的解与解集1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索1、回顾知识，完成检测题。2、学生们积极参与到活动中，猜测满足x的值有哪些。3、理解不等式的解、解集和解不等式的含义。4、合作交流不等式的解、解集的联系和区别。5、探究不等式的解集用数轴表示6、总结用数轴表示不等式解集的一般方法。7、学习例题8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：回顾旧知并完成检测题。环节二：问题引入，探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的基本性质学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。学生回顾知识。2、教师引导学生探究不等式性质1、2、3及不等式的传递性。3、学生独立完成4个练习4、自学例题，口述每一步的根据。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置解一元一次不等式1、类比解一元一次方程的的定义，理解解一元一次不等式的定义.2、类比解一元一次方程的方法和步骤，理解一元一次不等式的解法和步骤.并能在数轴上表示其解集。3、通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。1、回顾知识并完成两道解方程习题。2、观察比较得出一元一次不等式的定义。体会一元一次不等式是最基本 最重要的不等式3、根据解方程的步骤自学例题1.2。 强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解 4、交流在探索不等式解题的一般步骤的过程中的心得和体会,不断积累数学活动经验 5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置一元一次不等式的实际运用1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。1、学生回顾旧知。2、理解利润、利润率之间的关系，建立不等关系、解不等式。3、小组合作讨论。学生审题，通过仔细读题，分析题目中的已知条件，圈画出关键字和重点语句，寻找等量关系，列出不等式从而求解。4、教师引导学生分析题目中的不等关系，学生独立或合作完成，帮助学生巩固一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，在练习中巩固、提升。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（1）1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。回顾旧知，完成一次函数图像的作图。先独立思考再互相交流，展示交流成果。先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。4、完成课堂作业。5、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（2）1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，会运用不等式解决函数有关问题。2、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想，体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，训练大家能利用数学知识去解决问题的能力。1、完成课前3个练习。2、探究手机资费问题。3、完成做一做4、探究方案选择问题。5、小组交流方案选择问题的方法，建立数学模型。6、完成课堂作业。7、课堂总结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置一元一次不等式组1、结合具体情景了解一元一次不等式组及其一元一次不等式组解集的意义，能识别一个不等式组的的未知数的个数和次数。2、熟练求解一元一次不等式解集，掌握用数轴来表示不等式组的公共解（解集）方法。3、能运用不等式组解决简单的实际问题，体会数学的应用价值，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。1、根据题意列出符合条件的不等式。2、通过观察得出一元一次不等式组的定义，并判断给出的四个不等式组是否是一元一次不等式组。3、独立完成解不等式并用数轴表示不等式的解。4、类比解一元一次不等式，探究解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集。5、总结一元一次不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集。6、学生独立完成例题1、2，学生尝试批改，老师最终讲评。7、小组合作交流完成例题3，并总结归纳;同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了。8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：情景引入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。1、课前给学生充分的时间把课本知识简单复习，然后梳理总结形成本章的知识结构框架。2、教师引导学生充分思考、练习和交流，同时从典型例题里找出对应的解题策略，数学思想中的分类讨论思想，解题中的代数法和几何法。3、完成课堂作业。环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：作业布置
《不等式与不等式组》单元教学设计
活动一：情景导入
活动二：认识不等式
活动三：列不等式
任务一：认识不等式
活动四：课堂练习
不等式与不等式组
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：课前检测
活动三：探究新知
任务二：不等式的解与解集
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
不等式与不等式组
活动三：典例精析
任务三：不等式的基本性质
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
任务四：解一元一次不等式
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务五：不等式的实际运用
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：一元一次不等式与一次函数（1）
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：课前检测
活动二：探究新知
不等式与不等式组
任务七：一元一次不等式与一次函数（2）
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
活动五：作业布置
活动一：情景引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：一元一次不等式组
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：知识框架
任务九：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动四：课堂练习
活动六：作业布置
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第二章 不等式与不等式组
2.3一元一次不等式与一次函数（1）
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
05
课堂练习
07
课堂小结
06
作业布置
04
典例精析
01
教学目标
了解一元一次不等式与一次函数的关系，会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较。
01
通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识。
02
体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
03
02
复习导入
1、一次函数的一般表达式是 ，它的图像是 。这条直线被x轴分成了 ，它们上面点的特征是：
端点就是直线与x轴的交点 。此时函数值 ,自变量 。
此交点把直线分为两部分，即：
当函数值y＞0时，对应图象在 ，
当函数值y＜0时，对应图象在 ，
y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),
一条直线
有公共端点的两条射线
y=0
X轴的上方的部分
X轴的下方的部分
（-b/k，0）
02
复习导入
2、一元一次不等式可化为:
。
解法步骤是：
3、作出一次函数y=2x-5的图象
（1）列表
（2）描点
（3）连线
ax+b＞0或ax+b＜0或 ax+b≥0或ax+b≤0 （a≠0）。
去分母，去括号，移项，合并同内项，未知数的系数化为一。
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
03
新知探究
观察图像回答下列问题：
(1)x取何值时， y =0
x=2.5时，y=0
x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
(2.5, 0)
(4, 3)
-2 -1 0 1 2 3 4
(2)x取哪些值时， y >0
当x > 2.5时, y > 0
(3)x取哪些值时， y <0
x<2.5时，y<0
(4)x取哪些值时， y >3
x>4时，y>3
03
新知探究
观察图像回答下列问题：
(1)x取何值时, 2x-5=0
2x–5=0 x=2.5
(2)x取哪些值时，2x-5>0
2x–5>0 x>2.5
(3)x取哪些值时， 2x-5<0
2x–5<0 x<2.5
(4)x取哪些值时， 2x-5>3
2x–5>3 x>4
x
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
(2.5, 0)
(4, 3)
-2 -1 0 1 2 3 4
03
新知探究
一次函数问题
一次不等式(方程)问题
转化
转化思想：
04
典例精析
例题1：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0
思路一:运用函数图象解不等式.
作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得
当x<2.5时, y>0.
思路二:将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式-2x-5 >0
∴当x<2.5时, y>0.
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
(-2.5,0)
04
典例精析
例题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
(5) 你是怎样求解的？与同伴交流
03
新知探究
设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:
y1=4x
y2=3x+9
03
新知探究
思路一:图象法
（1）何时哥哥追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
(5) 你是怎样求解的？与同伴交流
9s时哥哥追上弟弟
0--9s内弟弟在哥哥的前面
9s后哥哥在弟弟的前面
弟弟先跑过20m,哥哥先跑过100m
观察图象或者解不等式（方程）得到结果
03
新知探究
思路二:代数法
弟弟: y2=3x+9
（1）何时哥哥追上弟弟？ （2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
4x=3x+9 x=9
4x<3x+9 x<9
4x>3x+9 x>9
4x=20 x=5 ; 3x+9=20, x= ∴弟弟先跑过20m
4x=100 x=25 ; 3x+9=100, x= ∴哥哥先跑过100m
哥哥: y1=4x
知识要点1
1、知道一元一次不等式和一次函数可以互相转化。
2、会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。
知识：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、已知一次函数 y= 2x+6，当 x> 1 时，y 的取值范围是 ；当 y< 2 时，x 的取值范围是 ．
2、如图，直线 y=kx+b 经过点 A 1, 2 和点 B 2,0，直线 y=2x 过点 A，则不等式 2xx>4
y<8
-204
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3、一次函数y=ax+b(a>0)与x轴的交点坐标为(m,0)，则一元一次不等式ax+b≤0的解集应为( )
A. x≤m B. x≤ m C. x≥m D. x≥ m3、
4、如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点( 1,3)，则不
等式kx+b≥3的解集为( )
A. x> 1 B. x< 1 C. x≥3 D. x≥ 1
D
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P( 2, 1)，则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是( )
A. x> 2 B. x< 2 C. 2 1
6.一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y ；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有___________.(只填序号)
A
①③④
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，在同一直角坐标系中，函数 和 的图象交于点A(m,n).若不等式 恰好有3个非负整数解，则( )
A.m=2 B.m=3 C.2＜m＜3 D.2＜m≤3
8.定义：点 A(x,y )为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y，
则把点 A 叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N( 2, 2)，都是
“平衡点”，当 1≤x≤3 时，直线 y=2x+m 上有“平衡点”，
则 m 的取值范围是 ．
A. 0≤m≤1 B. 3≤m≤1 C. 3≤m≤3 D. 1≤m≤0
D
解答提示：∵x=y,∴X=2X+m. x=-m,
∵ 1≤x≤3 ，∴ 1≤-m≤3,得到 3≤m≤1
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9.如图，直线y= 2x与直线y=kx+b (k≠0)相交于点A(a,2)，并且直线y=kx+b经过x轴上的点B(2,0)．
(1)求直线y=kx+b所对应的函数解析式;
(2)求两条直线与y轴围成的三角形的面积;
(3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集．
解：(1)把A(a,2)代入y= 2x中，得 2a=2，
∴a= 1，∴A( 1,2)
把A( 1,2)，B(2,0)代入y=kx+b中得
∴k= ，b= ，
∴一次函数的解析式是y= x+ ；
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)设直线AB与Y轴交于点C，则C(0, )
∴
(3)不等式(k+2)x+b≥0可以变形为kx+b≥ 2x，
结合图图像得到解集为：x≥ 1．
C
05
课堂小结
知识：1、知道一元一次不等式和一次函数可以互相 转化。
2、会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。
能力：作图象以及从图像获取有效信息的能力。
思想：分类、转化、类比、数形结合。
本节课你有什么收获呢？你的学习目标实现了吗？
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、一次函数 y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),与x轴的交点坐标是（6,0），且已知y随x的增大而增大。请回答下列问题：
X 时, kx+b= 0
X 时, kx+b> 0
X 时, kx+b< 0
2、已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是 .
=6
>6
<6
(2,3)
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3、如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是( )
A. x>0 B. x>1 C. x<1 D. x<0
4、如图所示，已知一次函数y =kx+b的图象经过A(1,2)、B( 1,0)两点，y =mx+n的图象经过A、C(3,0)两点，则不等式组0A. 0C. 1B
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是( )
A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1
B. 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1
C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大
D. 关于x，y的方程组y mx=0y kx=b的解是x=1，y=2
B
06
作业布置
6.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象，如图，
试根据图象，回答下列问题：
1)慢车比快车早出发 小时
2)快车追上慢车时行驶了 千米
3)快车比慢车早 小时到达B地
4)快车和慢车的速度分别是 .
5)快车追上慢车需 小时
2
276
4
69Km/h, 46Km/h
2
【知识技能类作业】必做题：
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，直线y=-x+m与y=nx+b(n≠0）的交点的横坐标为-2，有下列结论：
①当x=-2时，两个函数的值相等；
②b=4n；
③关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4；
④x＞-2是关于X的不等式-x+m＞nx+b的解集.
其中所有正确结论的序号是_____________.
①②③
解答提示：函数y=kx+b经过 A(0,2) ， B( 3,0)，用待定系数法求出解析式y= x+2,当x=-1,y= ，∴x≥ 1 ,y≥
06
作业布置
8.如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0,2) 和点 B( 3,0)．
（1）当 x<0 时，直接 写出y 的取值范围；
（2）当 0（3）当 x≥ 1 时，求 y 的取值范围．
y＜2
-3＜x＜0
【综合拓展类作业】
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.已知直线x-2y=-k+6与直线x+3y=4k+1的交点在第四象限.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求出直线x-2y=-k+6的所有函数表达式.
解（1）由题意，得 解得
∴两直线的交点坐标为（k+4,k-1)
∵交点在第四象限 ， ∴-4＜K＜1
（2）若k为非负整数，K=0
x-2y=-k+6的解析式为：
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第二章 不等式与不等式组导学案
2.3一元一次不等式与一次函数（1)
学习目标与重难点
学习目标：
1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。
2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较
3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。
4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
学习重点：
理解一元一次不等式与一次函数的内在联系。
学习难点：
“一次函数的图像”与“一元一次不等式的解”的相互转化。
预习自测
一、知识链接
1、一次函数的一般表达式是 , 的图像是 .这条直线被x轴分成了 ，它们上面点的特征是：端点就是直线与x轴的交点坐标。此时函数值y=0,自变量 。
此交点把直线分为两部分，即：
当函数值y＞0时，对应图像 ，
当函数值y＜0时，对应图像 ，
2、一元一次不等式可化为 。
解法步骤是： 。
自学自测
作出一次函数y=2x-5的图像
①列表；②描点；③连线
x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
教学过程
观察图像回答下列问题：
(1)x取何值时， y =0 x=2.5时，y=0
(2)x取哪些值时， y >0 当x > 2.5时, y > 0
x取哪些值时， y <0 x<2.5时，y<0
(4)x取哪些值时，y >3 x>4时，y>3
观察图像回答下列问题
x取何值时,2x-5=0 .
(2)x取哪些值时，2x-5>0 .
(3)x取哪些值时，2x-5<0 .
(4)x取哪些值时，2x-5>3 .
3、【强调】（转化思想）
一次函数问题 一次不等式（方程）问题
例题1：如果y=-2x-5,那么当x取何值时, y>0
思路一:运用函数图象解不等式.
作一次函数y=-2x-5的图象，由图象可得
当x<2.5时, y>0.
思路二:将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式-2x-5 >0
∴当x<2.5时, y>0.
例题2：兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑 9 米，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑 3 米，哥哥每秒跑 4 米。列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
(5) 你是怎样求解的？与同伴交流
设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是:y=4x y=3x+9
思路一:图象法
（1）何时哥哥追上弟弟？【9s时哥哥追上弟弟】
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？【0--9s内弟弟在哥哥的前面】
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？【9s后哥哥在弟弟的前面】
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？【弟弟先跑过20m；哥哥先跑过100m.】
思路二:代数法
哥哥y=4x 弟弟 y=3x+9
（1）何时哥哥追上弟弟？【4x=3x+9 x=9】
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？【4x<3x+9 x<9】
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？【4x>3x+9 x>9】
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
【4x=20 x=5 ; 3x+9=20, x=11/3 ∴弟弟先跑过20m
4x=100 x=25 ; 3x+9=100, x=91/3 ∴哥哥先跑过100m】
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
已知一次函数 y= 2x+6，当 x> 1 时，y 的取值范围是 ；当 y< 2 时，x 的取值范围是 ．
2、如图，直线 y=kx+b 经过点 A 1, 2 和点 B 2,0，直线 y=2x 过点 A，则不等式 2x第2题 第4题 第5题
3、一次函数y=ax+b(a>0)与x轴的交点坐标为(m,0)，则一元一次不等式ax+b≤0的解集应为( )
A. x≤m B. x≤ m C. x≥m D. x≥ m3、
4、如图，直线y=kx+b(k≠0)经过点( 1,3)，则不等式kx+b≥3的解集为( )
A. x> 1 B. x< 1 C. x≥3 D. x≥ 1
5.如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n交于点P( 2, 1)，则根据图象可知不等式ax+b>mx+n的解集是( )
A. x> 2 B. x< 2 C. 2 1
6、一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图所示，则下列结论：①k<0；②a<0，b<0；③当x=3时，y =y；④不等式kx+b>x+a的解集是x<3，其中正确的结论有 .(只填序号)
能力提升：
7.如图，在同一直角坐标系中，函数 和 的图象交于点A(m,n).若不等式 恰好有3个非负整数解，则( )
A.m=2 B.m=3 C.2＜m＜3 D.2＜m≤3
第6题 第7题 第9题
8.定义：点 A(x,y )为平面直角坐标系内的点，若满足 x=y，则把点 A 叫做“平衡点”．例如：M(1,1)，N( 2, 2)，都是“平衡点”，当 1≤x≤3 时，直线 y=2x+m 上有“平衡点”，则 m 的取值范围是 ( ) ．
A. 0≤m≤1 B. 3≤m≤1 C. 3≤m≤3 D. 1≤m≤0
拓展迁移
9.如图，直线y= 2x与直线y=kx+b (k≠0)相交于点A(a,2)，并且直线y=kx+b经过x轴上的点B(2,0)．
(1)求直线y=kx+b所对应的函数解析式;
(2)求两条直线与y轴围成的三角形的面积;
(3)直接写出不等式(k+2)x+b≥0的解集．
总结反思、拓展升华
知识：1、知道一元一次不等式和一次函数可以互相 转化。
2、会用图象法解一元一次不等式，及用一元一次不等式帮助解决一次函数问题。
能力：作图象以及从图像获取有效信息的能力。
思想：分类、转化、类比、数形结合。
五、【作业布置】
基础达标：
1、一次函数 y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),与x轴的交点坐标是（6,0），且已知y随x的增大而增大。请回答下列问题：
X 时, kx+b= 0
X 时, kx+b> 0
X 时, kx+b< 0
已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是 .
如图，一次函数y =x+b与一次函数y =kx+3的图象交于点P(1,2)，则关于不等式x+b>kx+3的解集是( )
A. x>0 B. x>1 C. x<1 D. x<0
如图所示，已知一次函数y=kx+b的图象经过A(1,2)、B( 1,0)两点，y=mx+n的图象经过A、C(3,0)两点，则不等式组0A. 0第3题 第4题 第5题
5.如图所示，一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)与正比例函数y=mx(m是常数，m≠0)的图象相交于点M(1,2)，下列判断错误的是( )
A. 关于x的方程mx=kx+b的解是x=1
B. 关于x的不等式mx≥kx+b的解集是x>1
C. 当x<0时，函数y=kx+b的值比函数y=mx的值大
D. 关于x，y的方程组y mx=0y kx=b的解是x=1，y=2
6.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象，如图，试根据图象，回答下列问题：
1)慢车比快车早出发 小时
2)快车追上慢车时行驶了 千米
3)快车比慢车早 小时到达B地
4)快车和慢车的速度分别是 .
5)快车追上慢车需 小时
能力提升：
7.如图，直线y=-x+m与y=nx+b(n≠0）的交点的横坐标为-2，有下列结论：
①当x=-2时，两个函数的值相等；
②b=4n；
③关于x的不等式nx+b＞0的解集为x＞-4；
④x＞-2是关于X的不等式-x+m＞nx+b的解集.
其中所有正确结论的序号是 .
拓展迁移：
如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0,2) 和
点 B( 3,0)．
（1）当 x<0 时，直接 写出y 的取值范围；
（2）当 0（3）当 x≥ 1 时，求 y 的取值范围．
9.已知直线x-2y=-k+6与直线x+3y=4k+1的交点在第四象限.
（1）求k的取值范围；
（2）若k为非负整数，求出直线x-2y=-k+6的所有函数表达式.
课堂作业参考答案：
y＜8；x＞4
-2A
D
A
①③④
D
B
解答提示：∵x=y,∴x=2x+m. x=-m,
∵ 1≤x≤3 ，∴ 1≤-m≤3,得到 3≤m≤1
9、解：(1)把A(a,2)代入y= 2x中，得 2a=2，
∴a= 1，∴A( 1,2)
把A( 1,2)，B(2,0)代入y=kx+b中得
∴k= ，b=，
∴一次函数的解析式是y= x+；
(2)设直线AB与Y轴交于点C，则C(0, )
(3)不等式(k+2)x+b≥0可以变形为kx+b≥ 2x，
结合图像得到解集为：x≥ 1．
课外作业参考答案
=6；＞6；＜ 6.
（2,3）
B
C
B
（1）2；（2）276；（3）4;（4） 69Km/h, 46Km/h；（5）2
①②③
8、（1）y＜2；（2）-3＜x＜0
（3）解答提示：函数y=kx+b经过 A(0,2) ， B( 3,0)，用待定系数法求出解析式y= x+2,当x=-1,y= ，∴x≥ 1 ,y≥
9、解（1）由题意，得 解得
∴两直线的交点坐标为（k+4,k-1)
∵交点在第四象限 ， ∴-4＜K＜1
（2）若k为非负整数，K=0
所以x-2y=-k+6的解析式为：
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