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北师大版（2026）八年级数学下册第二章《不等式与不等式组》
不等式与不等式组回顾与反思教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 不等式与不等式组回顾与反思 课时 1
课标要求 结合具体问题，了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质，能解数字系数的一元一次不等式，并能用数轴表示出解集，能解由两个一元一次不等式组成的不等式组并能用数轴表示出解集的公共部分。不仅会解纯数字的不等式，更要能从“方案选择”，“最佳决策”，“控制成本”等实际问题中抽象出不等式的模型，能熟练地将不等式的解集在数轴上表示出来，通过直观的理解不等式组的解集（公共部分）
教材分析 本节课主要教学内容：①不等式的基本性质。②解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集。③利用一元一次不等式解决实际问题。④一元一次不等式与一次函数。⑤一元一次不等式组及其应用。通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。利用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心
学情分析 学生的知识技能基础：学生通过对本章内容的学习，掌握了不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法，并通过解决一些简单的实际问题，体会不等式的模型思想及一元一次不等式、一次函数、一元一次方程之间的内在联系.学生活动能力基础：经历探索、发现不等关系的过程学习解决一些简单的实际问题.
核心素养目标 1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。
教学重点 掌握本章所有知识。
教学难点 利用本章知识解决实际问题。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、知识架构 课前给学生充分的时间把课本知识简单复习，然后梳理总结形成本章的知识结构框架。 建构本章的知识体系，画出本章的知识联系图并评比，培养学生归纳整理、对比分析的能力
二、知识梳理 一.不等号：表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”五种。二.不等式:用不等号连接起来的式子练一练1、用适当的符号表示下列关系:(1)a的2倍比8小;(2)y的3倍与1的和大于3;(3)x除以2的商加上2至多为5;(4)a与b两数和的平方不大于2.(5)x与y的差为非正数;(6)a与4的和不小于2三.不等到式的基本性质:性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.四、不等式的解:使不等式成立的未知数的值.五.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成了这个不等式的解集.练一练2、由a
0; B.m<0; C.m≤0; D.m≥0.3、下列变形中正确的是( C )A.由a ; B.由mb,得-2+3a>-2+3b; D.由7x>3x-2,得x<-2.六、解不等式：求不等式解集的过程。实质: 把不等式化为“x>a或x≥a或x-3的解？4呢？2不是不等式2x-1>-3的解，4是不是不等式2x-1>-3的解5、对于不等式3x-5<2x，则下列说法正确的有（ B ）个①5是不等式3x-5<2x的一个解；②0是不等式3x-5<2x的一个解；③x<4也是不等式3x-5<2x的解集；④所有小于4的数都是不等式3x-5<2x的解。A.1个; B.2个; C.3个; D.4个.6.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如下图所示,则a的取值是( D ） A.0; B.-3; C.-2; D.-17.不等式2x-7<5-2x的正整数解有（ B ）A、1个； B、2个； C、3个； D、4个八、一元一次不等式：①不等式的左右两边都是整式，②只含有一个未知数，并且③未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.九、一元一次不等式的解法：去分母--去括号---移项---合并同类项--化系数为1十、方程和函数的图象与一元一次不等式的关系；一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b=0是一元一次方程,其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b>0,kx+b<0是一元一次不等式.练一练8、作函数y=x+3的图象,并观察图象,回答下列问题:(1) x取何值时,x+3=0 (2)x取何值时,x+3>0 (3) x取何值时,x+3<0 (4) x取何值时,x+3>2 十一、利用两个一次函数的图象求一元一次不等式的解集：对于两个一次函数y=kx+b和y=kx+b，若比较y与y的大小，则为比较kx+b与kx+b的大小，或求方程k1x+b1=kx+b的解.9.已知y=x+1,y=2x，试用两种方法回答下列问题：（1）当x取何值时，y=y （2）当x取何值时，y>y ？（3）当x取何值时，y三、课堂练习 基础达标：1.（2011 恩施州）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是 4＜a≤5 ．2.如果不等式3x-m≤0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（A ）A．9≤m＜12 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．m≥93.下列说法正确的是 （ A ）A、x =3是2x ＞3一个解 B、x =3是2x ＞3的解集C、x =3是2 x ＞3唯一解 D、x =3不是2x ＞3的解4.若a>b，下列不等式不一定成立的是( C )A．a－5>b－5 B.－5a<－5b C.> D．a＋c>b＋c5．某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式( C )A．150x－100≥5%×100 B．150×10(1)x－100≤5%×100C．150×10(1)x－100≥5%×100 D．150×10(1)x－100＞5%×1506．数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2，1－2x，x＋3，则x可能是( A )A．0 B．－1 C．－2 D．37.不等式组 的解集在数轴上可表示为( A ）8.函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞0的解集是（ B ）x>4 B.x<3 C.x<0 D.x>39.解不等式 ，并把解集表示在数轴上.解：去分母得3(3x-2)≥5(2x+1)-15，去括号得9x-6≥10x+5-15，移项，合并同类项得-x≥-4，化系数为1得x≤4.解不等式组 并将它的解集在数轴上表示出来.解：由（1）得：x≥-2由（2）得：x<4∴不等式组的解集为-2≤x<4能力提升：11.王老师揣着100元现金到新天地文体用品超市购买学生期末考试奖品，他看好了一种笔记本和一种钢笔，每本笔记本5元，每支钢笔7元，王老师计划购买这两种奖品共15份，王老师最少能买笔记本（ B ）A.2本 B.3本 C.4本 D.5本12.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式 10n-5(20-n)＞90 .拓展迁移13.阅读材料并把解答过程补充完整.问题:在关于x,y的二元一次方程组 中,x>1,y<0,求a的取值范围.分析:在关于x,y的二元一次方程组中,用含a的代数式表示x,y,然后根据x>1,y<0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围.解:由 解得x= ,y= ∵x>1,y<0,∴ , 解得02,y<1,求x+2y的取值范围.解:设x+2y=a,构成方程组解得x= y= , ∵x>2,y<1,∴ ，解得2板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.下列说法中正确的是（ D ）A.a不是负数，则a>0 B.b是不大于0的数，则b<0C.m不小于-1，则m>-1 D.a，b是负数，则a+b<02.一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ A ）3.求不等式－3≤5－2x＜3的正整数解是; 2,3,4 。4.设“▲”“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ C ）5.特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式( C )A．150x－100≥5%×100 B．150×x－100≤5%×100C．150×x-100≥5%×100 D．150×x－100＞5%×1506．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了 8 支．7.解不等式： 并把解集表示在数轴上.解：去分母，得 2(2x-1)-(9x+2)≤6，去括号，得 4x-2-9x-2≤6，移项，得 4x-9x≤6+2+2，合并同类项，得 -5x≤10，系数化1，得 x≥-2.不等式的解集在数轴上表示如图所示.8.解下列不等式组 ,并将解集在数轴上表示出来.解不等式①,得x>-4.解不等式②,得x≤2.所以原不等式组的解集为-4教学反思
解法
解集的表示方法
基本性质
不等式
与一次函数的关系
一元一次不等式
不等式(组)
实际应用
①
②
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第二章
课标要求 根据新课标“数与代数”领域中“数量关系”部分的规定，本章的具体要求如下：1.了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质。2.理解一元一次不等式（组）的概念，能够识别一元一次不等式（组）。3.能解数字系数的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。4.能用不等式（组）解决现实生活中的实际问题。
内容分析 不等式是现实世界中不等关系的一种表现形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是以后学习的重要基础。本章教学内容是学生学习了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的基础上研究不等关系，通过前面的学习学生初步体会了生活中量与量的关系是众多而且复杂的但面对大量的同类量最容易使人感到就是他们的大小之分。在此之前学生已初步建立了方程模型和函数思想，对于解决实际问题的数学化积累了一定的经验以此为基础学习不等关系顺理成章。教科书首先通过具体实例建立不等关系，探索不等式基本性质，了解一般不等式的解、解集以及不等式的概念。然后具体研究一元一次不等式的解、解集，解集的数轴表示。一元一次不等式的解法和一元一次不等式的实际运用。通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系。教学过程关注“类比”思想的渗透；强化“数形结合”；关注“实际情景”规范书写。
学情分析 知识储备充足：已熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法；熟悉一次函数的基本概念及其图像特征；掌握实数大小比较方法，了解生活中常见的不等关系（如身高、温度）思维发展阶段：处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期；对直观图形（如数轴）接受度高，适合采用“数形结合”策略辅助教学。八年级学生整体具备学习“不等式与不等式组”的良好起点，教师应抓住其好奇心强、乐于合作的特点，重点突破符号方向变化和解集几何表示两大障碍。建议以“生活问题建模 → 数学化表达 → 图像验证 → 反馈修正”为主线开展教学，帮助学生建立完整的认知链条。
单元目标 （一）教学目标1、理解不等式（组）的概念解；掌握解一元一次不等式（组）的解法；会用会用数轴表示不等式组的解、解集；能够根据具体问题的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题；初步体会一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系。2、经历“一元一次方程”到“一元一次不等式”的类比过程，体会方程与不等式之间的联系；通过数轴来直观表示不等式的解和不等式组的解集，体会数形结合思想；通过经历用一元一次不等式解决实际问题，增强学生的建模意识。3、通过实际问题的分析、抽象的过程，体会不等式和等式都刻画现实生活中的数量关系，发展学生的符号感；感受数型结合思想，培养分析问题解决问题的能力；通过合作学习，培养学生主动参与的意识和勇于探索的精神：（二）教学重点、难点重点：1、不等式的意义和性质；2、解简单的不等式（组）、用数轴表示不等式表示解集；3、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。难点：解简单的一元一次不等式（组），用数轴表示不等式组的表示解集；2、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01认识不等式102不等式的解与解集103不等式的基本性质104解一元一次不等式105一元一次不等式实际运用106一元一次不等式与一次函数（1）107一元一次不等式与一次函数（2）108一元一次不等式组109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识不等式感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念 2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型 3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 1、初步感知不等关系在日常生活中的存在.2、认识不等号3、已知周长分别用含有字母的式子表示正方形和圆的面积。4、比较周长相等的圆面积和正方形面积的大小。5、根据题意用不等式表示数量关系.6、总结归纳不等式的定义.7、自学例题2、3.关注中差生.8、引导学生总结常用不等关系的基本语言的意义。9、学生完成课堂练习10引导学生进行课堂总结环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的解与解集1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索1、回顾知识，完成检测题。2、学生们积极参与到活动中，猜测满足x的值有哪些。3、理解不等式的解、解集和解不等式的含义。4、合作交流不等式的解、解集的联系和区别。5、探究不等式的解集用数轴表示6、总结用数轴表示不等式解集的一般方法。7、学习例题8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：回顾旧知并完成检测题。环节二：问题引入，探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的基本性质学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。学生回顾知识。2、教师引导学生探究不等式性质1、2、3及不等式的传递性。3、学生独立完成4个练习4、自学例题，口述每一步的根据。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置解一元一次不等式1、类比解一元一次方程的的定义，理解解一元一次不等式的定义.2、类比解一元一次方程的方法和步骤，理解一元一次不等式的解法和步骤.并能在数轴上表示其解集。3、通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。1、回顾知识并完成两道解方程习题。2、观察比较得出一元一次不等式的定义。体会一元一次不等式是最基本 最重要的不等式3、根据解方程的步骤自学例题1.2。 强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解 4、交流在探索不等式解题的一般步骤的过程中的心得和体会,不断积累数学活动经验 5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置一元一次不等式的实际运用1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。1、学生回顾旧知。2、理解利润、利润率之间的关系，建立不等关系、解不等式。3、小组合作讨论。学生审题，通过仔细读题，分析题目中的已知条件，圈画出关键字和重点语句，寻找等量关系，列出不等式从而求解。4、教师引导学生分析题目中的不等关系，学生独立或合作完成，帮助学生巩固一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，在练习中巩固、提升。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（1）1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。回顾旧知，完成一次函数图像的作图。先独立思考再互相交流，展示交流成果。先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。4、完成课堂作业。5、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（2）1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，会运用不等式解决函数有关问题。2、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想，体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，训练大家能利用数学知识去解决问题的能力。1、完成课前3个练习。2、探究手机资费问题。3、完成做一做4、探究方案选择问题。5、小组交流方案选择问题的方法，建立数学模型。6、完成课堂作业。7、课堂总结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置一元一次不等式组1、结合具体情景了解一元一次不等式组及其一元一次不等式组解集的意义，能识别一个不等式组的的未知数的个数和次数。2、熟练求解一元一次不等式解集，掌握用数轴来表示不等式组的公共解（解集）方法。3、能运用不等式组解决简单的实际问题，体会数学的应用价值，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。1、根据题意列出符合条件的不等式。2、通过观察得出一元一次不等式组的定义，并判断给出的四个不等式组是否是一元一次不等式组。3、独立完成解不等式并用数轴表示不等式的解。4、类比解一元一次不等式，探究解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集。5、总结一元一次不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集。6、学生独立完成例题1、2，学生尝试批改，老师最终讲评。7、小组合作交流完成例题3，并总结归纳;同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了。8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：情景引入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。1、课前给学生充分的时间把课本知识简单复习，然后梳理总结形成本章的知识结构框架。2、教师引导学生充分思考、练习和交流，同时从典型例题里找出对应的解题策略，数学思想中的分类讨论思想，解题中的代数法和几何法。3、完成课堂作业。环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：作业布置
《不等式与不等式组》单元教学设计
活动一：情景导入
活动二：认识不等式
活动三：列不等式
任务一：认识不等式
活动四：课堂练习
不等式与不等式组
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：课前检测
活动三：探究新知
任务二：不等式的解与解集
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
不等式与不等式组
活动三：典例精析
任务三：不等式的基本性质
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
任务四：解一元一次不等式
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务五：不等式的实际运用
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：一元一次不等式与一次函数（1）
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：课前检测
活动二：探究新知
不等式与不等式组
任务七：一元一次不等式与一次函数（2）
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
活动五：作业布置
活动一：情景引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：一元一次不等式组
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：知识框架
任务九：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动四：课堂练习
活动六：作业布置
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第二章 不等式与不等式组
回顾与思考
01
教学目标
02
知识架构
03
知识梳理
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。
01
通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。
02
用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。
03
02
知识架构
本章知识结构图
实际背景
不等式
一元一次不等式
一元一次不等式组
不等式的基本性质
解不等式
解法
解法
解集
数轴表示
解集
解集
数轴表示
数轴表示
实际应用
03
知识梳理
1.不等号：
表示不等关系的符号称为不等号。一般包括“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”五种。
2.不等式:
用不等号连接起来的式子
03
练一练
1、用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比8小;
(2)y的3倍与1的和大于3;
(3)x除以2的商加上2至多为5;
(4)a与b两数和的平方不大于2.
(5)x与y的差为非正数;
(6)a与4的和不小于2.
2a＜8
3y+1＞3
x÷2+2≤5
（a+b) ≤2
x+y≤0
a+4≥2
03
知识梳理
3.不等到式的基本性质:
性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.
性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
性质 3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
4.不等式的解:使不等式成立的未知数的值.
5.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成了这个不等式的解集.
03
练一练
2.由aA.m>0; B.m<0; C.m≤0; D.m≥0.
3.下列变形中正确的是( )
A.由aC.由a>b,得-2+3a>-2+3b; D.由7x>3x-2,得x<-2.
D
C
03
知识梳理
6.解不等式：求不等式解集的过程。
实质: 把不等式化为“x>a或x≥a或x7.用数轴表示不等式的解集：带等号实心 不带是空心
a
x>a
a
xa
x≥a
a
x≤a
03
练一练
4、-2是不是不等式2x-1>-3的解？4呢？
5、对于不等式3x-5<2x，则下列说法正确的有（ ）个
①5是不等式3x-5<2x的一个解；②0是不等式3x-5<2x的一个解；③x<4也是不等式3x-5<2x的解集；④所有小于4的数都是不等式3x-5<2x的解。
A.1个; B.2个; C.3个; D.4个.
B
2不是不等式2x-1>-3的解，4是不是不等式2x-1>-3的解
03
练一练
6.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如下图所示,则a的取值是( ）
A.0; B.-3; C.-2; D.-1
7.不等式2x-7<5-2x的正整数解有（ ）
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个
D
B
03
知识梳理
8.一元一次不等式：①不等式的左右两边都是整式，②只含有一个未知数，并且③未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
9.一元一次不等式的解法：去分母--去括号---移项---合并同类项--化系数为1
03
知识梳理
10. 方程和函数的图象与一元一次不等式的关系；
一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b=0是一元一次方程,其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b>0,kx+b<0是一元一次不等式.
03
练一练
8、作函数y=x+3的图象,并观察图象,回答下列问题:
x取何值时,x+3=0
x取何值时,x+3>0
(3) x取何值时,x+3<0
(4) x取何值时,x+3>2
x=-3
x>-3
x<-3
x>-1
03
知识梳理
11.利用两个一次函数的图象求一元一次不等式的解集：
对于两个一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2，若比较y1与y2的大小，则为比较k1x+b1与k2x+b2的大小，或求方程k1x+b1=k2x+b2的解.
03
练一练
9.已知y1=x+1,y2=2x，试用两种方法回答下列问题：
（1）当x取何值时，y1=y2
（2）当x取何值时，y1>y2 ？
（3）当x取何值时，y1x=1;
x<1;
x>1;
03
知识梳理
12.一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
13.一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。
03
知识梳理
14.一元一次不等式组的解法：
（1）解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们的解集；
（2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分.
（3）根据公共部分写出不等式组解集.
03
知识梳理
15.一元一次不等式组的解集的取法：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.（2011 恩施州）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是 ．
2.如果不等式3x-m≤0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（ ）
A．9≤m＜12 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．m≥9
3.下列说法正确的是 （ ）
A、x =3是2x ＞3一个解 B、x =3是2x ＞3的解集
C、x =3是2 x ＞3唯一解 D、x =3不是2x ＞3的解
4＜a≤5
A
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.若a>b，下列不等式不一定成立的是( )
A．a－5>b－5 B.－5a<－5b C. > D．a＋c>b＋c
5．某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式( )
A．150x－100≥5%×100 B．150×10(1)x－100≤5%×100
C．150×10(1)x－100≥5%×100 D．150×10(1)x－100＞5%×150
6．数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2，1－2x，x＋3，则x可能是( )
A．0 B．－1 C．－2 D．3
C
C
A
04
课堂练习
7.不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
8.函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，
则关于x的不等式ax+b＞0的解集是（ ）
A.x>4 B.x<3 C.x<0 D.x>3
A
B
【知识技能类作业】必做题：
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
9.解不等式 ，并把解集表示在数轴上.
解：去分母得3(3x-2)≥5(2x+1)-15，
去括号得9x-6≥10x+5-15，
移项，合并同类项得-x≥-4，
化系数为1得x≤4.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
10.解不等式组 并将它的解集在数轴上表示出来.
解：由（1）得：x≥-2
由（2）得：x<4
∴不等式组的解集为-2≤x<4
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
11.王老师揣着100元现金到新天地文体用品超市购买学生期末考试奖品，他看好了一种笔记本和一种钢笔，每本笔记本5元，每支钢笔7元，王老师计划购买这两种奖品共15份，王老师最少能买笔记本（ ）
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
12.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式________________.
B
10n-5(20-n)＞90
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
13.阅读材料并把解答过程补充完整.
问题:在关于x,y的二元一次方程组 中,x>1,y<0,求a的取值范围.
分析:在关于x,y的二元一次方程组中,用含a的代数式表示x,y,然后根据x>1,y<0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围.
解:由 解得x= ,y=
∵x>1,y<0,∴ , 解得0请你按照上述方法,完成下列问题:
已知2x-y=4,x>2,y<1,求x+2y的取值范围.
x-y=2
x+y=a
x-y=2
x+y=a
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解:设x+2y=a,构成方程组
解得x= y= ,
∵x>2,y<1,∴ ，
解得2∴22x-y=4
x+2y=a
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
14.某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元
（利润=销售价格-进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：
解得
答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元
（2）设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：（70-a）台，
则30a+40（70-a）≤2500，解得a≥30，
答：最少需要购进a型号的计算器30台.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.下列说法中正确的是（ ）
A.a不是负数，则a>0 B.b是不大于0的数，则b<0
C.m不小于-1，则m>-1 D.a，b是负数，则a+b<0
2.一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ）
D
A
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.求不等式－3≤5－2x＜3的正整数解是; 。
4.设“▲”“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
2,3,4
C
06
作业布置
5.特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式( )
A．150x－100≥5%×100 B．150× x－100≤5%×100
C．150× x-100≥5%×100 D．150× x－100＞5%×150
6．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了________支．
C
8
06
作业布置
7.解不等式： 并把解集表示在数轴上.
解：去分母，得 2(2x-1)-(9x+2)≤6，
去括号，得 4x-2-9x-2≤6，
移项，得 4x-9x≤6+2+2，
合并同类项，得 -5x≤10，
系数化1，得 x≥-2.
不等式的解集在数轴上表示如图所示.
06
作业布置
8.解下列不等式组 ,并将解集在数轴上表示出来.
解不等式①,得x>-4.
解不等式②,得x≤2.
所以原不等式组的解集为-4在数轴上表示如图所示:
06
作业布置
9.若关于x，y的方程组 的解都是非负数，求a的取值范围．
3x＋y＝50＋a
(x＋y＝30－a
解：解方程组，得
依题意有
解得－10≤a≤10.
x=10+a
y=20-2a
10+a≥0
20-2a≥0
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
10.若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是 。
11.若关于x的不等式组 的解集为x<4，则m的取值范围是____
12.若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1.利用这个不等式，求出满足[x]=2x-1的所有解，其所有解为_______.
①
②
-2＜a≤-1
m≥4
x=0.5或x=1
06
作业布置
13.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点B(12,0)、C(0,6)，且与直线 交于点A.
(1）直接写出关于x的不等式kx+b＞0 的解集是________；
（2）若D是直线OA上的点，且△COD的面积为12，求点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点F，使点C和点A到点F的距离和最短 若存在，请求出点F的坐标.
X＜12
【综合拓展类作业】
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解（2）设 ，∵△COD的面积为12，
解得x=±4
∴综上所述D(4,2)或（-4,2）
（3）先求出点C关于x轴的对称点坐标E（0，-6），设直线AE的关系式是y=mx+n，把点A(6,3)和点E（0，-6）代入y=mx+n，得到 ,n=-6,故关系式为: ,设它与x轴的交点为F(x,0)，代入得
得：x=4,y=0。
故在x轴上存在一点F(4,0)，它到点C和点A的距离和最短.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
14.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格分别相同）.
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得： ，
答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元.
2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31-m<2m，解得 ，∵m是正整数，最小值是11
设购买树苗总费用为 =320
答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
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第二章 不等式与不等式组导学案
回顾与思考
学习目标与重难点
学习目标：
1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。
2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。
3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。
学习重点：
掌握本章所有知识
学习难点：
利用本章知识解决实际问题。
教学过程
知识架构
二、知识梳理
一.不等号：
表示不等关系的符号称为不等号。一般包括 五种。
二.不等式:用不等号连接起来的式子
练一练
1、用适当的符号表示下列关系:
(1)a的2倍比8小; (2)y的3倍与1的和大于3;
(3)x除以2的商加上2至多为5; (4)a与b两数和的平方不大于2.
(5)x与y的差为非正数; (6)a与4的和不小于2
三.不等到式的基本性质:
性质1: .
性质2: .
性质 3: .
四、不等式的解:使不等式成立的未知数的值.
五.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，组成了这个不等式的解集.
练一练
2、由aA.m>0; B.m<0; C.m≤0; D.m≥0.
3、下列变形中正确的是( )
A.由a ; B.由mC.由a>b,得-2+3a>-2+3b; D.由7x>3x-2,得x<-2.
六、解不等式：求不等式解集的过程。
实质: 把不等式化为“x>a或x≥a或x七、用数轴表示不等式的解集：带等号实心 ，不带是空心
练一练
4、-2是不是不等式2x-1>-3的解？4呢？
5、对于不等式3x-5<2x，则下列说法正确的有（ ）个
①5是不等式3x-5<2x的一个解；②0是不等式3x-5<2x的一个解；③x<4也是不等式3x-5<2x的解集；④所有小于4的数都是不等式3x-5<2x的解。
A.1个; B.2个; C.3个; D.4个.
6.关于x的不等式2x-a≤-1的解集如下图所示,则a的取值是( ）
A.0; B.-3; C.-2; D.-1
7.不等式2x-7<5-2x的正整数解有（ ）
A、1个； B、2个； C、3个； D、4个
八、一元一次不等式：①不等式的左右两边都是整式，②只含有一个未知数，并且③未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
九、一元一次不等式的解法：去分母--去括号---移项---合并同类项--化系数为1
十、方程和函数的图象与一元一次不等式的关系；
一次函数y=kx+b的图象是条直线,kx+b=0是一元一次方程,其解为直线与x轴的交点的横坐标.kx+b>0,kx+b<0是一元一次不等式.
练一练
8、作函数y=x+3的图象,并观察图象,回答下列问题:
(1) x取何值时,x+3=0
(2)x取何值时,x+3>0
(3) x取何值时,x+3<0
(4) x取何值时,x+3>2
十一、利用两个一次函数的图象求一元一次不等式的解集：对于两个一次函数y=kx+b和y=kx+b，若比较y与y的大小，则为比较kx+b与kx+b的大小，或求方程k1x+b1=kx+b的解.
练一练
9.已知y=x+1,y=2x，试用两种方法回答下列问题：
（1）当x取何值时，y=y
（2）当x取何值时，y>y ？
（3）当x取何值时，y十二、一元一次不等式组：
一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。
十三、一元一次不等式组的解集：一般地，一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。
十四、一元一次不等式组的解法：
（1）解不等式组中的每一个不等式，分别求出它们的解集；
（2）将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，找出它们的公共部分.
（3）根据公共部分写出不等式组解集.
十五、一元一次不等式组的解集的取法：
大大取 ；小小取 ；大小小大取 ；大大小小 。
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1.（2011 恩施州）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是 ．
2.如果不等式3x-m≤0的正整数解为1，2，3，则m的取值范围是（ ）
A．9≤m＜12 B．9＜m＜12 C．m＜12 D．m≥9
3.下列说法正确的是 （ ）
A、x =3是2x ＞3一个解 B、x =3是2x ＞3的解集
C、x =3是2 x ＞3唯一解 D、x =3不是2x ＞3的解
4.若a>b，下列不等式不一定成立的是( )
A．a－5>b－5 B.－5a<－5b C.> D．a＋c>b＋c
5．某山西特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式( )
A．150x－100≥5%×100 B．150×10(1)x－100≤5%×100
C．150×10(1)x－100≥5%×100 D．150×10(1)x－100＞5%×150
6．数轴上A，B，C三点依次从左向右排列，表示的数分别为－2，1－2x，x＋3，则x可能是( )
A．0 B．－1 C．－2 D．3
7.不等式组 的解集在数轴上可表示为( ）
8.函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞0的解集是（ ）
x>4
B.x<3
C.x<0
D.x>3
9.解不等式 ，并把解集表示在数轴上.
解不等式组 并将它的解集在数轴上表示出来.
能力提升：
11.王老师揣着100元现金到新天地文体用品超市购买学生期末考试奖品，他看好了一种笔记本和一种钢笔，每本笔记本5元，每支钢笔7元，王老师计划购买这两种奖品共15份，王老师最少能买笔记本（ ）
A.2本 B.3本 C.4本 D.5本
12.某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分要超过90分，设她答对了n道题，则根据题意可列不等式 .
拓展迁移
13.阅读材料并把解答过程补充完整.
问题:在关于x,y的二元一次方程组 中,x>1,y<0,求a的取值范围.
分析:在关于x,y的二元一次方程组中,用含a的代数式表示x,y,然后根据x>1,y<0列出关于a的不等式组即可求得a的取值范围.
解:由 解得x= ,y=
∵x>1,y<0,∴ , 解得0请你按照上述方法,完成下列问题:
已知2x-y=4,x>2,y<1,求x+2y的取值范围.
14.某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元.
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元
（利润=销售价格-进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的
五、【作业布置】
1.下列说法中正确的是（ ）
A.a不是负数，则a>0 B.b是不大于0的数，则b<0
C.m不小于-1，则m>-1 D.a，b是负数，则a+b<0
2.一元一次不等式2（x+1）≥4的解在数轴上表示为（ ）
3.求不等式－3≤5－2x＜3的正整数解是; 。
4.设“▲”“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）
5.特产专卖店有一款老陈醋进价为每盒100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不少于5%，最多可以按几折销售？设按x折销售，根据题意可列不等式( )
A．150x－100≥5%×100 B．150×x－100≤5%×100
C．150×x-100≥5%×100 D．150×x－100＞5%×150
6．某班级从文化用品市场购买了签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元．已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元，则其中签字笔购买了 支．
7.解不等式： 并把解集表示在数轴上.
8.解下列不等式组 ,并将解集在数轴上表示出来.
9.若关于x，y的方程组 的解都是非负数，求a的取值范围．
能力提升：
10.若关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是 。
11.若关于x的不等式组 的解集为x<4，则m的取值范围是 。
12.若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]=1，[π]=3，[-2.82]=-3等.[x]+1是大于x的最小整数，对任意的实数x都满足不等式[x]≤x<[x]+1.利用这个不等式，求出满足[x]=2x-1的所有解，其所有解为 .
拓展迁移：
13.如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于点B(12,0)、C(0,6)，且与直线 交于点A.
(1）直接写出关于x的不等式kx+b＞0 的解集是 ；
（2）若D是直线OA上的点，且△COD的面积为12，求点D
的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点F，使点C和点A到点F的距离
和最短 若存在，请求出点F的坐标.
14.某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵.两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格分别相同）.
（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？
（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用.
课堂练习参考答案
4＜a≤5
A
A
C
C
A
A
B
9、解：去分母得3(3x-2)≥5(2x+1)-15，
去括号得9x-6≥10x+5-15，
移项，合并同类项得-x≥-4，
化系数为1得x≤4.
10、解：由（1）得：x≥-2
由（2）得：x<4
∴不等式组的解集为-2≤x<4
B
10n-5(20-n)＞90
13、解:设x+2y=a,构成方程组
解得x= y= ,
∵x>2,y<1,∴ ，
解得2∴214计算器多少台？
解（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：
解得
答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元
设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：（70-a）台，
则30a+40（70-a）≤2500，
解得a≥30，
答：最少需要购进a型号的计算器30台.
课外作业参考答案
D
A
2,3,4
C
C
8
7、解：去分母，得 2(2x-1)-(9x+2)≤6，
去括号，得 4x-2-9x-2≤6，
移项，得 4x-9x≤6+2+2，
合并同类项，得 -5x≤10，
系数化1，得 x≥-2.
不等式的解集在数轴上表示如图所示.
8、解不等式①,得x>-4.
解不等式②,得x≤2.
所以原不等式组的解集为-4在数轴上表示如图所示:
9、解：解方程组，得
依题意有
解得－10≤a≤10.
10、-2＜a≤-1
11、m≥4
12、x=0.5或x=1
13、（1） x＜12
解（2）设 D(x,) ，∵△COD的面积为12，
解得x=±4
∴综上所述D(4,2)或（-4,2）
（3）先求出点C关于x轴的对称点坐标E（0，-6），设直线AE的关系式是y=mx+n，把点A(6,3)和点E（0，-6）代入y=mx+n，得到 ,n=-6,故关系式为: ,设它与x轴的交点为F(x,0)，代入得
得：x=4,y=0。
故在x轴上存在一点F(4,0)，它到点C和点A的距离和最短.
14、解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得： 解得，
答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元.
2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，
∵B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，
∴31-m<2m，解得 ，∵m是正整数，最小值是11
设购买树苗总费用为W=20m+5(31-m)15m+155=320
答：购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元.
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