湖南省长沙市天心区长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·天心月考）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·天心月考）命题“”的否定形式是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·天心月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·天心月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·天心月考）已知，那么是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高一上·天心月考）已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·天心月考）若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·天心月考）已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·天心月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025高一上·天心月考）已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为 D．的最大值为
11．（2025高一上·天心月考）设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为非零函数，则为奇函数
C．若，则
D．若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立
12．（2025高一上·天心月考）已知幂函数的图象经过点，则 .
13．（2025高一上·天心月考）计算： .
14．（2025高一上·天心月考）已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 .
15．（2025高一上·天心月考）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
16．（2025高一上·天心月考）已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
17．（2025高一上·天心月考）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值.
18．（2025高一上·天心月考）已知，且恒成立，当时等号成立，.
（1）证明： ，并说明取等号的条件；
（2）证明，；
（3）已知满足，满足，比较与的大小.
19．（2025高一上·天心月考）给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为.
（1）用解析式表示，并求出的解集；
（2）证明：；
（3）设，若对任意.都有，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，集合，
得.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题“”，
其否定为：.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，从而得出命题“”的否定形式.
3．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，
又因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B和选项C；
又因为，故排除选项D.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性和特殊点对应的函数值，再利用排除法找出函数的大致图象.
4．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，得，
所以函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据对数型函数的真数大于0，从而解一元二次不等式得出函数的定义域.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：对数函数是上单调递增，由，可得，
指数函数在上单调递减，则，即充分性成立；
反正由，可得，不能判断大于0，即必要性不成立，
则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为关于轴对称，
所以关于对称，
又因为函数在是增函数，
所以在是减函数，
由，可得，
由函数的单调性和对称性，
可得，则，
化简可得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由函数的单调性和对称性，从而将不等式化简为，再解不等式即可.
7．【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，，
则，，，，
在同一坐标系中作出函数，，，的图象，
如图：
由图可知：当时，；
当时，；
当时，，
则选项A、选项C和选项D均有可能；选项B不可能成立.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件求出，，的函数关系，再在同一坐标系内作出函数，，，的图象，再利用数形结合比较出x，y，z的大小.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，，
得，则，
得，则，
由，得，，
则，又因为
所以，
令，
得，
由对勾函数，知在上单调递增，
则，
所以，
则或.
故答案为：A.
【分析】由题意将变形为，进一步得到，令，则，再利用对勾函数性质求出右边式子的最大值从而得出实数a的取值范围．
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由，得，故A正确；
对于B，由，得，则，故B错误；
对于C，由，得，则，故C正确；
对于D，由，得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用不等式的基本性质和作差比较大小法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值是，故A正确；
对于B：因为，，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C：因为，
当且仅当时取等号，
又因为，所以，
则的最小值为，故C错误；
对于D：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由和已知条件，从而得出的最大值，则判断出选项A；由消元法化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项B；由“1”的代换和基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；由，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，代入，
得，
因为，所以，故A正确；
对于B，若为非零函数，令，
代入原式，得，，
设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C，若，令，所以，
令，所以，
令，，所以，
则，所以，故C错误；
对于D，若为奇函数且在上单调递增，结合，
当时，；当时，，
令，得，
当时，，故；
当时，，故；
当时，，因此对任意成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件合理进行赋值，则判断出选项A；结合已知条件和函数奇偶性的定义，则判断出选项B；利用已知条件和赋值法，则判断出选项C；利用函数的单调性和奇偶性以及不等式恒成立问题求解方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
12．【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数 ，其中 为常数，
函数图象经过点 ，
因此，解得：，
所以，幂函数为 ，
则.
故答案为：2.
【分析】利用待定系数法设出幂函数的解析式，再利用代入法得出幂函数的解析式，再根据代入法得出函数的值.
13．【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：4.
【分析】根据对数的运算法则和换底公式，从而化简求值.
14．【答案】或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图所示，
令，则，
若原方程有6个不相等的实数根，
则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，
当时，代入，则，
解得，此时关于的方程为，
解得，满足题意；
当，且时，
令，则函数有两个大于的不等零点，
因为函数的图象过点，则，
解得，则；
当时，因为函数的图象过点，
则，无解，
综上所述，实数a的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】先作出分段函数的图象，再令，则，从而得出且关于的方程必有两个不等实根，再分类讨论结合函数与x轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：当时，，，
则，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
当时，显然成立，此时，解得；
当时，此时，解得，
要想，只需，
又因为，
所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，根据一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）由（1）可知，，再根据集合的间的包含关系和分类讨论的方法，再结合补集的运算法则，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，
，或，
，
，
；
（2）由（1）可知，
当时，显然成立，此时，解得，
当时，此时，解得，
要想，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
16．【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
所以，方程的解为，
则，
解得.
（2）解：当时，即当时，恒成立；
当时，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意结合方程的根与对应不等式解集的关系，从而可得方程的解为，再利用韦达定理和判别式法，从而得出实数m的值.
（2）分和两种情况讨论，再结合判别式法，从而得出实数m的取值范围.
（1）因为不等式的解集为，
所以方程的解为，
则，解得；
（2）当，即时，恒成立；
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：依题意，由，
得，
又因为为奇函数，为偶函数，
所以，
由，
解得，
所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为：.
（2）解：由（1）知，
则，
令，当且仅当时取等号，
则，
所以，
当时，函数在上单调递增，
则，
所以；
当时，，
则，
所以实数a的值或.
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据所给定义和奇函数、偶函数的定义，从而列出方程组，进而求解得出双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式.
（2）由（1）的结论求出函数的解析式，再利用换元法结合基本不等式求最值的方法、二次函数单调性求最值的方法按分类讨论求出函数的最小值，再根据已知条件得出实数a的值.
（1）依题意，由，得，而为奇函数，为偶函数，
则，由，解得，
所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为.
（2）由（1）知，则，
令，当且仅当时取等号，，
，
当时，函数在上单调递增，，则；
当时，，则，
所以实数a的值或.
18．【答案】（1）证明：由题意可知恒成立，
利用替换，得，
当时，两边同时取对数，得，当时取等号，
则，当等号成立.
（2）证明：由（1）知，当且仅当时等号成立，
令 ，则；
所以；
则.
（3）解：因为，，
所以；
又因为，，
所以；则；
令，则；
又因为为增函数，所以，
则，代入，得到 ；
又因为，所以.
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由恒成立得到，两边同时取对数得出，从而证出不等式成立.
（2）由，令 ，得，令，再利用累加法和对数的运算法则，从而证出不等式成立.
（3）先根据已知得到和，利用同构得到，再化简得到的值，从而证出不等式成立.
（1）证明：由题可知恒成立，所以利用替换得；
当时，两边同时取对数得，当时取等号，
故，当等号成立.
（2）证明：由（1）知，当且仅当时等号成立，
令 ，则；
所以；
所以得证.
（3）因为，，所以；
又因为，，所以；
即；
令，则；
又因为为增函数，故，即，
代入得到 ；
又因为，所以.
19．【答案】（1）解：由函数和的图象，
可知，
当时，；
当时，，
解得，∴；
当时，，
∴.
（2）证明：当函数时，
则，
∴成立，
当函数时，
则，
∴成立，
∴恒成立.
（3）解：因为，
所以，，
则，，
∴，
由（2）可知，，
当时，在区间上调递增，
所以，
∵，∴，
∵对任意，都有，
即对任意，都有，
∴恒成立，
令函数，
因为函数在上单调递增，且，
∴.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由给定定义和函数图象可知的解析式，再列不等式得出的解集.
（2）由去绝对值结合给定定义证出成立.
（3）由函数的解析式，得函数，再分别由函数单调性求出函数在区间的值域，再根据题意和不等式恒成立问题求解方法和函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
（1）由函数和的图象可知
，
当时，；当时，，解得，
∴；当时，.
∴.
（2）当函数时，
，
∴成立，
当函数时，
，
∴成立，
∴恒成立.
（3），，
即，，
∴，
由（2）可知.
当时，在区间上调递增，所以，
∵，∴，
∵对任意.都有，即对任意.都有，
∴恒成立，
令函数
因为函数在上单调递增，且，
∴.
1 / 1湖南省长沙市天心区长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·天心月考）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由集合，集合，
得.
故答案为：C.
【分析】由已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高一上·天心月考）命题“”的否定形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题“”，
其否定为：.
故答案为：D.
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，从而得出命题“”的否定形式.
3．（2025高一上·天心月考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：因为函数定义域为，
又因为，
所以函数为奇函数，故排除选项B和选项C；
又因为，故排除选项D.
故答案为：A.
【分析】由函数的奇偶性和特殊点对应的函数值，再利用排除法找出函数的大致图象.
4．（2025高一上·天心月考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，得，
所以函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据对数型函数的真数大于0，从而解一元二次不等式得出函数的定义域.
5．（2025高一上·天心月考）已知，那么是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：对数函数是上单调递增，由，可得，
指数函数在上单调递减，则，即充分性成立；
反正由，可得，不能判断大于0，即必要性不成立，
则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，结合充分、必要条件的定义判断即可.
6．（2025高一上·天心月考）已知函数在上是增函数，关于y轴对称，若成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；抽象函数及其应用；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为关于轴对称，
所以关于对称，
又因为函数在是增函数，
所以在是减函数，
由，可得，
由函数的单调性和对称性，
可得，则，
化简可得，解得，
则实数的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由函数的单调性和对称性，从而将不等式化简为，再解不等式即可.
7．（2025高一上·天心月考）若实数，，满足 ，则，，的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象与图象变化；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，，
则，，，，
在同一坐标系中作出函数，，，的图象，
如图：
由图可知：当时，；
当时，；
当时，，
则选项A、选项C和选项D均有可能；选项B不可能成立.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件求出，，的函数关系，再在同一坐标系内作出函数，，，的图象，再利用数形结合比较出x，y，z的大小.
8．（2025高一上·天心月考）已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：当时，，
得，则，
得，则，
由，得，，
则，又因为
所以，
令，
得，
由对勾函数，知在上单调递增，
则，
所以，
则或.
故答案为：A.
【分析】由题意将变形为，进一步得到，令，则，再利用对勾函数性质求出右边式子的最大值从而得出实数a的取值范围．
9．（2025高一上·天心月考）下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由，得，故A正确；
对于B，由，得，则，故B错误；
对于C，由，得，则，故C正确；
对于D，由，得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用不等式的基本性质和作差比较大小法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2025高一上·天心月考）已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】A,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值是，故A正确；
对于B：因为，，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C：因为，
当且仅当时取等号，
又因为，所以，
则的最小值为，故C错误；
对于D：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由和已知条件，从而得出的最大值，则判断出选项A；由消元法化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项B；由“1”的代换和基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；由，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高一上·天心月考）设函数和是定义在上的非常数函数，.且对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为非零函数，则为奇函数
C．若，则
D．若为奇函数且在上单调递增，则对任意成立
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，代入，
得，
因为，所以，故A正确；
对于B，若为非零函数，令，
代入原式，得，，
设，则，所以为奇函数，故B正确；
对于C，若，令，所以，
令，所以，
令，，所以，
则，所以，故C错误；
对于D，若为奇函数且在上单调递增，结合，
当时，；当时，，
令，得，
当时，，故；
当时，，故；
当时，，因此对任意成立，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件合理进行赋值，则判断出选项A；结合已知条件和函数奇偶性的定义，则判断出选项B；利用已知条件和赋值法，则判断出选项C；利用函数的单调性和奇偶性以及不等式恒成立问题求解方法，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项．
12．（2025高一上·天心月考）已知幂函数的图象经过点，则 .
【答案】2
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：设幂函数 ，其中 为常数，
函数图象经过点 ，
因此，解得：，
所以，幂函数为 ，
则.
故答案为：2.
【分析】利用待定系数法设出幂函数的解析式，再利用代入法得出幂函数的解析式，再根据代入法得出函数的值.
13．（2025高一上·天心月考）计算： .
【答案】4
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：原式
.
故答案为：4.
【分析】根据对数的运算法则和换底公式，从而化简求值.
14．（2025高一上·天心月考）已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 .
【答案】或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：作出函数的图象如图所示，
令，则，
若原方程有6个不相等的实数根，
则，且关于的方程必有两个不等实根，设为，
当时，代入，则，
解得，此时关于的方程为，
解得，满足题意；
当，且时，
令，则函数有两个大于的不等零点，
因为函数的图象过点，则，
解得，则；
当时，因为函数的图象过点，
则，无解，
综上所述，实数a的取值范围为或.
故答案为：或.
【分析】先作出分段函数的图象，再令，则，从而得出且关于的方程必有两个不等实根，再分类讨论结合函数与x轴交点的横坐标与方程的根的等价关系，从而得出实数a的取值范围.
15．（2025高一上·天心月考）已知集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
则，
又因为，
所以.
（2）解：由（1）可知，，
当时，显然成立，此时，解得；
当时，此时，解得，
要想，只需，
又因为，
所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，根据一元二次不等式求解方法得出集合B，再利用交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）由（1）可知，，再根据集合的间的包含关系和分类讨论的方法，再结合补集的运算法则，从而得出实数a的取值范围.
（1）当时，，
，或，
，
，
；
（2）由（1）可知，
当时，显然成立，此时，解得，
当时，此时，解得，
要想，只需，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
16．（2025高一上·天心月考）已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为不等式的解集为，
所以，方程的解为，
则，
解得.
（2）解：当时，即当时，恒成立；
当时，
则，
解得，
综上所述，实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由题意结合方程的根与对应不等式解集的关系，从而可得方程的解为，再利用韦达定理和判别式法，从而得出实数m的值.
（2）分和两种情况讨论，再结合判别式法，从而得出实数m的取值范围.
（1）因为不等式的解集为，
所以方程的解为，
则，解得；
（2）当，即时，恒成立；
当时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
17．（2025高一上·天心月考）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为R，且具有如下性质：①为奇函数，为偶函数；② (常数e是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：
（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
（2）设函数，若在R上的最小值为6，求实数a的值.
【答案】（1）解：依题意，由，
得，
又因为为奇函数，为偶函数，
所以，
由，
解得，
所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为：.
（2）解：由（1）知，
则，
令，当且仅当时取等号，
则，
所以，
当时，函数在上单调递增，
则，
所以；
当时，，
则，
所以实数a的值或.
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据所给定义和奇函数、偶函数的定义，从而列出方程组，进而求解得出双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式.
（2）由（1）的结论求出函数的解析式，再利用换元法结合基本不等式求最值的方法、二次函数单调性求最值的方法按分类讨论求出函数的最小值，再根据已知条件得出实数a的值.
（1）依题意，由，得，而为奇函数，为偶函数，
则，由，解得，
所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为.
（2）由（1）知，则，
令，当且仅当时取等号，，
，
当时，函数在上单调递增，，则；
当时，，则，
所以实数a的值或.
18．（2025高一上·天心月考）已知，且恒成立，当时等号成立，.
（1）证明： ，并说明取等号的条件；
（2）证明，；
（3）已知满足，满足，比较与的大小.
【答案】（1）证明：由题意可知恒成立，
利用替换，得，
当时，两边同时取对数，得，当时取等号，
则，当等号成立.
（2）证明：由（1）知，当且仅当时等号成立，
令 ，则；
所以；
则.
（3）解：因为，，
所以；
又因为，，
所以；则；
令，则；
又因为为增函数，所以，
则，代入，得到 ；
又因为，所以.
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由恒成立得到，两边同时取对数得出，从而证出不等式成立.
（2）由，令 ，得，令，再利用累加法和对数的运算法则，从而证出不等式成立.
（3）先根据已知得到和，利用同构得到，再化简得到的值，从而证出不等式成立.
（1）证明：由题可知恒成立，所以利用替换得；
当时，两边同时取对数得，当时取等号，
故，当等号成立.
（2）证明：由（1）知，当且仅当时等号成立，
令 ，则；
所以；
所以得证.
（3）因为，，所以；
又因为，，所以；
即；
令，则；
又因为为增函数，故，即，
代入得到 ；
又因为，所以.
19．（2025高一上·天心月考）给定函数，对于任意.函数表示中的最大者.记为.函数表示中的最小者.记为.
（1）用解析式表示，并求出的解集；
（2）证明：；
（3）设，若对任意.都有，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由函数和的图象，
可知，
当时，；
当时，，
解得，∴；
当时，，
∴.
（2）证明：当函数时，
则，
∴成立，
当函数时，
则，
∴成立，
∴恒成立.
（3）解：因为，
所以，，
则，，
∴，
由（2）可知，，
当时，在区间上调递增，
所以，
∵，∴，
∵对任意，都有，
即对任意，都有，
∴恒成立，
令函数，
因为函数在上单调递增，且，
∴.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）由给定定义和函数图象可知的解析式，再列不等式得出的解集.
（2）由去绝对值结合给定定义证出成立.
（3）由函数的解析式，得函数，再分别由函数单调性求出函数在区间的值域，再根据题意和不等式恒成立问题求解方法和函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
（1）由函数和的图象可知
，
当时，；当时，，解得，
∴；当时，.
∴.
（2）当函数时，
，
∴成立，
当函数时，
，
∴成立，
∴恒成立.
（3），，
即，，
∴，
由（2）可知.
当时，在区间上调递增，所以，
∵，∴，
∵对任意.都有，即对任意.都有，
∴恒成立，
令函数
因为函数在上单调递增，且，
∴.
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