甘肃省陇南市西和县部分学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·西和月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】由一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性得出集合B，再利用交集的运算法则得出集合.
2．（2025高三上·西和月考）设，其中是实数，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
因为，可得，
解得，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据题意和复数相等的充要条件，从而列出方程组得出的值，再结合复数求模公式得出的值.
3．（2025高三上·西和月考）某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示.
体重
频数 15 35 32 15 3
根据表中数据，下列结论正确的是（ ）
A．这100名男员工的体重的中位数大于
B．这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20%
C．这100名男员工的体重的极差介于至之间
D．这100名男员工的体重的平均值介于至之间
【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：若将体重从低到高排，用表示，
则，，
当时，中位数是65.5，故A错误；
在100名男员工中，体重不低于的有18人，占比18%，故B错误；
因为极差，故C错误；
当每组员工体重都取最低值时，平均值为，
当每组员工体重都取最高时，平均值低于，
故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据表格数据结合中位数、频率、极差、平均值求解方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
4．（2025高三上·西和月考）从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知：第一次抽到的卡片编号为3或6的概率为，即，
当第一次抽到3时：第二次可抽4，5，6，7，共4种情况；
当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，即，
则.
故答案为：A.
【分析】利用条件概率公式求解即可.
5．（2025高三上·西和月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，底数，
对数函数单调递减，
又，，
，底数，
指数函数单调递增，
又，，
，底数，
指数函数单调递减，
又，，
.
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合已知条件得出的取值范围，比较出a，b，c的大小．
6．（2025高三上·西和月考）已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：的最小正周期为，，
，
又，
，
，
令，
则，，函数开口向下，对称轴，
函数最大值为：．
故答案为：D．
【分析】先根据已知条件和余弦型函数的最小正周期公式和代入法以及的取值范围，从而求出的值，再结合诱导公式和二倍角公式，从而化简函数，通过换元法转化为二次函数，再根据二次函数的开口方向和对称性，从而得出函数的最大值．
7．（2025高三上·西和月考）已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
由，解得
又因为，所以，
则，
因为函数在区间上是增函数，
当时，，
又因为，所以，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据正弦型函数的图象求出函数，再结合正弦型函数的单调性和，从而得出实数a的取值范围.
8．（2025高三上·西和月考）我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由求导，得，
当时，函数与的图象有一个交点，横坐标可设为，如图：
当时，，
则在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，此时函数在处取极小值，
因为过原点的直线与曲线相切，且切点为，
当时，，此时单调递增，无极小值点，
当时，函数与的图象有两个交点，横坐标可设为，且，如图：
当时，，
则在上单调递增；
当时，，
则在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，此时函数在处取极小值，且，
综上所述，时，函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且为充要条件．
故答案为：A.
【分析】由求导得出，再结合各选项，分，和三种情况，利用极小值点的定义和充要条件的判断方法，从而得出集合M.
9．（2025高三上·西和月考）记等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，可得：，
解得，故选项A正确；
因为，，
所以，故选项D正确；
又因为，，故选项B和选项C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据和等差数列前n项和公式，从而列式求出的值，则可判断选项A；利用等差数列的通项公式、等差数列求前n项和公式，从而求出，则得出的值，则判断出选项D；再利用等差数列的通项公式和通项与数列前n项和的关系式，则判断出选项B和选项C，从而找出正确的选项.
10．（2025高三上·西和月考）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．是的极大值点
B．是的极小值点
C．恰有两个零点
D．当，若，则
【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，
令，解得或，
则函数在和上单调递增；
令，解得，
则函数在上单调递减，
当时，，
则函数在上单调递增，
综上可知：函数在和上单调递增，在上单调递减，
由函数在上单调递增，
则不是函数的极值点，故A错误；
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点，故B正确；
当时，令，解得或；
当时，令，解得（舍去），
则函数恰有两个零点为与，故C正确；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，，，，
则当时，
若，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，再根据导数求函数极值点的方法，则判断出选项A和选项B；利用函数零点求解方法，则判断出选项C；利用函数的单调性和a的取值范围，从而得出函数的值域，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高三上·西和月考）已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．面积的取值范围为
C．
D．若点为上的动点，则的最大值为8
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，可得：，，
设，根据对称性可得，
对于A，因为，
所以椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，因为点到直线的距离，
则，
所以，
因为，
所以面积的取值范围为，故B正确；
对于C，设，则，
则，
因为，
所以，故C错误；
对于D，由题意，可得椭圆的右准线为：，
设到椭圆的右准线的距离为，
所以，则，
所以，
当在椭圆左顶点时，，
所以的最大值为8，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用椭圆的对称性和椭圆离心率公式，则判断出选项A；根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式，从而分别求出和三角形的高，再利用三角形面积公式得出集合的取值范围，则判断出选项B；利用点代入法和两点求斜率公式，从而得出的值，则判断出选项C；由椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，从而可得，再将问题转化为求的最大值.，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2025高三上·西和月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以
可得，
则曲线在点处的切线斜率为3，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
13．（2025高三上·西和月考）已知实数满足 ，若，且，则 .
【答案】3
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
∴，
∴.
故答案为：3.
【分析】由对数的运算法则和换底公式，再利用已知条件得出的值.
14．（2025高三上·西和月考）山城小汤圆是传统小吃的代表之一， 以糯米为皮， 常用红豆、豆沙、芝麻等馅料， 一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个， 其中红豆、豆沙汤圆各 3 个， 芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆， 在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为 .
【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：设事件A：至少选到1个芝麻馅汤圆，事件B：4个汤圆中恰有3种不同馅料，
因为事件A含有的基本事件数为，
又因为事件含有的基本事件数为，
所以4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和组合数公式，从而求出至少选到1个芝麻馅汤圆的事件A和所求概率的事件含有的基本事件数，再利用条件概率公式得出 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率.
15．（2025高三上·西和月考）12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
（2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知，
样本中分数小于60的频率为，
所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.
（2）解：由题意可知，
样本中分数不小于60的学生人数为，
所以样本中分数不小于60的男生人数为，
因为样本中有一半男生的分数不小于60，
所以样本中男生为120人，女生为，
则样本中男生和女生人数的比例为，
根据分层抽样原理，
估计总体中男生和女生人数的比例为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积，从而确定样本中分数小于60的频率，再利用频率估计概率的方法，从而得出分数小于60的概率.
（2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，再结合分层抽样和样本估计总体的方法，从而可得总体中男生人数和女生人数的比例.
（1）根据频率分布直方图可知，
样本中分数小于60的频率为，
所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.
（2）由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为，
所以样本中分数不小于60的男生人数为，
因为样本中有一半男生的分数不小于60，
所以样本中男生为120人，女生为，
所以样本中男生和女生人数的比例为，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为.
16．（2025高三上·西和月考）设数列的前项和.数列是等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值.
【答案】（1）解：因为，
由，
得，
所以，
则，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为；
设的公比为，
因为，
所以，
则数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
所以的前项和为，
则，
所以
，
所以.
由，得，
令，
则，
所以，
因为，
所以，
则满足的最小的的值为11.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由的关系式和分类讨论的方法，从而可得数列的通项公式，再由等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，再令结合，从而判断出数列的单调性，进而得出满足的最小的正整数的值.
（1）因为，所以由得，所以，
所以，
时，，
又时，，所以的通项公式为；
设的公比为，
因为，所以，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，所以的前项和，
所以，
所以
，
所以.
由得，令，则，所以，
因为，所以，
所以满足的最小的的值为11.
17．（2025高三上·西和月考）某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
【答案】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，由题意可知：的可能取值为，
，，，
则的分布列为：
1 2 3
；
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
，，
，．
的分布列为
0 1 2 3
；
（2）由（1），知，，
，，，
，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大，因此甲的实验操作能力较强．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，由题意可知：的可能取值为，利用超几何分布求概率以及分布列即可；设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，利用二项分布求概率，列出分布列，再计算均值即可；
（2）由（1）的分布列，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.
18．（2025高三上·西和月考）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围；
（3）若，是的极值点，求证：．
【答案】（1）解：当时，，
则，
又因为，
所以，
则在处的切线方程为，即．
（2）解：因为在上恰有2个零点，
所以在上恰有2个解，
当时，在上单调递增，不符合题意，则，
所以在上恰有2个解，
可得与的图象有2个不同的交点．
令，
则，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示，
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，
解得，
则实数m的取值范围为．
（3）证明：因为，
所以．
又因为是的极值点，
所以．
要证，
即证．
因为
．
令，
则，
由，解得，
则当时，；当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程.
（2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，数形结合得出参数的取值范围.
（3）对求导，根据题意可得，再由代入化简结合放缩法，从而得到，令，求其最小值为，则，从而证出不等式成立.
（1）当时，，则，
，则，
所以在处的切线方程为，即．
（2）因为在上恰有2个零点，所以在上恰有2个解．
当时，在上单调递增，不符合题意，故，
所以在上恰有2个解，
故可得与的图象有2个不同的交点．
令，则，
所以当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示．
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，解得，
即实数m的取值范围为．
（3）因为，所以．
因为是的极值点，所以．
要证，即证．
因为
．
令，则，由解得，
则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即得证，
故．
19．（2025高三上·西和月考）已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点；
（3）若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：．
（参考公式：，都有成立）
【答案】（1）解：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
因为，所以，
则
所以椭圆的方程为．
（2）证明：解法1：设，则，
联立得，
所以则．
由，得，则，
所以，直线，
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，
得，
所以直线BC过定点．
解法2：设，直线l与x轴的交点为，则，
因为A，B，T三点共线，
所以①，
则直线，
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，
令，得．
由①，得，且，
所以
则，
所以直线BC过定点．
（3）证明：解法1：设，
则，
所以，
由指数平均不等式：，
得，
所以，
又因为
所以
由②，得，即，
由③，得
即，
所以，则，
又因为，所以．
解法2：设，MN的中点，
则，
所以，
由指数平均不等式：，
得，
所以，所以．
又因为，所以，
则，所以，
则，所以．
因为在椭圆内，所以，
则，所以，
则，又因为，
所以．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值，进而得出的值，再根据椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）利用两种方法求解.
解法一：设的坐标，联立直线与椭圆的方程，从而得出两点坐标间的关系式，再结合椭圆的对称性证出直线所过定点.
解法二：由三点共线，从而用A，B坐标表示直线的方程，再结合椭圆的对称性和椭圆的方程，从而证出直线所过定点.
（3）利用两种方法求解.
解法一：设点的坐标，再根据点在曲线上，再利用两点求斜率公式表示出直线的斜率，再将点的坐标代入椭圆方程结合点差法表示斜率，再根据已知条件得出的不等式，从而证出不等式成立.
解法二：设中点坐标，利用已知条件结合所给指数平均不等式以及中点坐标公式，从而得到与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内，则由代入法得出的取值范围，进而证出不等式成立.
（1）因为，当且仅当时，等号成立.
所以，则．
因为，所以，所以
所以椭圆的方程为．
（2）解法1：设，则．
联立得，
所以所以．
由，得，即．
直线．
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，
得，
所以直线BC过定点．
解法2：设，直线l与x轴的交点为，则．
由于A，B，T三点共线，则①．
直线．
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，得．
由①，得，且，
所以，
所以，所以直线BC过定点．
（3）解法1：设，则，
所以．
由指数平均不等式：，得，
所以．
又因为所以
由②，得，即；
由③，得，即，
所以，所以．
又因为，所以．
解法2：设，MN的中点，则，
所以．
由指数平均不等式：，得，
所以，所以．
又因为，所以，
所以，所以，所以，所以．
因为在椭圆内，所以，所以，
所以，所以．
又因为，所以．
1 / 1甘肃省陇南市西和县部分学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·西和月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·西和月考）设，其中是实数，则（ ）
A．2 B． C． D．4
3．（2025高三上·西和月考）某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示.
体重
频数 15 35 32 15 3
根据表中数据，下列结论正确的是（ ）
A．这100名男员工的体重的中位数大于
B．这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20%
C．这100名男员工的体重的极差介于至之间
D．这100名男员工的体重的平均值介于至之间
4．（2025高三上·西和月考）从编号1~7的7张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为3的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字大于第一次抽到的卡片编号数字”，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·西和月考）已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·西和月考）已知函数的最小正周期为T，若，则函数的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2025高三上·西和月考）已知函数（其中）的导函数的部分图象如图所示，若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·西和月考）我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇，记为．若函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且当参数k变化时，由所有的点构成一条曲线，则称函数簇存在包络函数．已知函数簇{，其中k为参数}，若“”是“存在包络函数”的充要条件，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高三上·西和月考）记等差数列的公差为，前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三上·西和月考）已知函数则下列结论正确的有（ ）
A．是的极大值点
B．是的极小值点
C．恰有两个零点
D．当，若，则
11．（2025高三上·西和月考）已知椭圆，右焦点为，直线与椭圆交于两点，为上不同于的一点，记直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．的离心率为
B．面积的取值范围为
C．
D．若点为上的动点，则的最大值为8
12．（2025高三上·西和月考）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
13．（2025高三上·西和月考）已知实数满足 ，若，且，则 .
14．（2025高三上·西和月考）山城小汤圆是传统小吃的代表之一， 以糯米为皮， 常用红豆、豆沙、芝麻等馅料， 一碗手工制作的山城小汤圆共有 8 个， 其中红豆、豆沙汤圆各 3 个， 芝麻馅汤圆 2 个.小胡在碗中随机取出 4 个汤圆， 在至少选到 1 个芝麻馅汤圆的条件下，则 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率为 .
15．（2025高三上·西和月考）12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，，，，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；
（2）若样本中有一半男生的分数不小于60，且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
16．（2025高三上·西和月考）设数列的前项和.数列是等比数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是数列的前项和，求满足的最小的正整数的值.
17．（2025高三上·西和月考）某高校设计了一个实验学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；
（2）试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力．
18．（2025高三上·西和月考）已知函数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若在上恰有2个零点，求m的取值范围；
（3）若，是的极值点，求证：．
19．（2025高三上·西和月考）已知椭圆的左右焦点为，且离心率为，P为椭圆上一点，的最大值为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点A，B，点C与点A关于x轴对称，证明：直线过定点；
（3）若曲线与椭圆交于M，N两点，直线的斜率为k，证明：．
（参考公式：，都有成立）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】由一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性得出集合B，再利用交集的运算法则得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
因为，可得，
解得，所以，
则.
故答案为：B.
【分析】根据题意和复数相等的充要条件，从而列出方程组得出的值，再结合复数求模公式得出的值.
3．【答案】D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：若将体重从低到高排，用表示，
则，，
当时，中位数是65.5，故A错误；
在100名男员工中，体重不低于的有18人，占比18%，故B错误；
因为极差，故C错误；
当每组员工体重都取最低值时，平均值为，
当每组员工体重都取最高时，平均值低于，
故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据表格数据结合中位数、频率、极差、平均值求解方法，从而逐项判断找出结论正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：由题意可知：第一次抽到的卡片编号为3或6的概率为，即，
当第一次抽到3时：第二次可抽4，5，6，7，共4种情况；
当第一次抽到6时，第二次可抽7，共1种情况，即，
则.
故答案为：A.
【分析】利用条件概率公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：，底数，
对数函数单调递减，
又，，
，底数，
指数函数单调递增，
又，，
，底数，
指数函数单调递减，
又，，
.
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的单调性和对数函数的单调性，再结合已知条件得出的取值范围，比较出a，b，c的大小．
6．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：的最小正周期为，，
，
又，
，
，
令，
则，，函数开口向下，对称轴，
函数最大值为：．
故答案为：D．
【分析】先根据已知条件和余弦型函数的最小正周期公式和代入法以及的取值范围，从而求出的值，再结合诱导公式和二倍角公式，从而化简函数，通过换元法转化为二次函数，再根据二次函数的开口方向和对称性，从而得出函数的最大值．
7．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，得，
由，解得
又因为，所以，
则，
因为函数在区间上是增函数，
当时，，
又因为，所以，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据正弦型函数的图象求出函数，再结合正弦型函数的单调性和，从而得出实数a的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：由求导，得，
当时，函数与的图象有一个交点，横坐标可设为，如图：
当时，，
则在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，此时函数在处取极小值，
因为过原点的直线与曲线相切，且切点为，
当时，，此时单调递增，无极小值点，
当时，函数与的图象有两个交点，横坐标可设为，且，如图：
当时，，
则在上单调递增；
当时，，
则在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，此时函数在处取极小值，且，
综上所述，时，函数簇中的每一个函数都存在极小值点，且为充要条件．
故答案为：A.
【分析】由求导得出，再结合各选项，分，和三种情况，利用极小值点的定义和充要条件的判断方法，从而得出集合M.
9．【答案】A,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，可得：，
解得，故选项A正确；
因为，，
所以，故选项D正确；
又因为，，故选项B和选项C错误.
故答案为：AD.
【分析】根据和等差数列前n项和公式，从而列式求出的值，则可判断选项A；利用等差数列的通项公式、等差数列求前n项和公式，从而求出，则得出的值，则判断出选项D；再利用等差数列的通项公式和通项与数列前n项和的关系式，则判断出选项B和选项C，从而找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：当时，，
令，解得或，
则函数在和上单调递增；
令，解得，
则函数在上单调递减，
当时，，
则函数在上单调递增，
综上可知：函数在和上单调递增，在上单调递减，
由函数在上单调递增，
则不是函数的极值点，故A错误；
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则是函数的极小值点，故B正确；
当时，令，解得或；
当时，令，解得（舍去），
则函数恰有两个零点为与，故C正确；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，，，，
则当时，
若，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的单调区间，再根据导数求函数极值点的方法，则判断出选项A和选项B；利用函数零点求解方法，则判断出选项C；利用函数的单调性和a的取值范围，从而得出函数的值域，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，可得：，，
设，根据对称性可得，
对于A，因为，
所以椭圆的离心率为，故A正确；
对于B，因为点到直线的距离，
则，
所以，
因为，
所以面积的取值范围为，故B正确；
对于C，设，则，
则，
因为，
所以，故C错误；
对于D，由题意，可得椭圆的右准线为：，
设到椭圆的右准线的距离为，
所以，则，
所以，
当在椭圆左顶点时，，
所以的最大值为8，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用椭圆的对称性和椭圆离心率公式，则判断出选项A；根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式，从而分别求出和三角形的高，再利用三角形面积公式得出集合的取值范围，则判断出选项B；利用点代入法和两点求斜率公式，从而得出的值，则判断出选项C；由椭圆的右准线为：，设到椭圆的右准线的距离为，从而可得，再将问题转化为求的最大值.，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以
可得，
则曲线在点处的切线斜率为3，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】根据导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式方程得出曲线在点处的切线方程.
13．【答案】3
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则，
∴，
∴.
故答案为：3.
【分析】由对数的运算法则和换底公式，再利用已知条件得出的值.
14．【答案】
【知识点】排列、组合的实际应用；条件概率
【解析】【解答】解：设事件A：至少选到1个芝麻馅汤圆，事件B：4个汤圆中恰有3种不同馅料，
因为事件A含有的基本事件数为，
又因为事件含有的基本事件数为，
所以4个汤圆中恰有3种不同馅料的概率.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和组合数公式，从而求出至少选到1个芝麻馅汤圆的事件A和所求概率的事件含有的基本事件数，再利用条件概率公式得出 4 个汤圆中恰有 3 种不同馅料的概率.
15．【答案】（1）解：根据频率分布直方图可知，
样本中分数小于60的频率为，
所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.
（2）解：由题意可知，
样本中分数不小于60的学生人数为，
所以样本中分数不小于60的男生人数为，
因为样本中有一半男生的分数不小于60，
所以样本中男生为120人，女生为，
则样本中男生和女生人数的比例为，
根据分层抽样原理，
估计总体中男生和女生人数的比例为.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积，从而确定样本中分数小于60的频率，再利用频率估计概率的方法，从而得出分数小于60的概率.
（2）根据频率分布直方图确定样本中分数不小于60的学生人数，再结合分层抽样和样本估计总体的方法，从而可得总体中男生人数和女生人数的比例.
（1）根据频率分布直方图可知，
样本中分数小于60的频率为，
所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.
（2）由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为，
所以样本中分数不小于60的男生人数为，
因为样本中有一半男生的分数不小于60，
所以样本中男生为120人，女生为，
所以样本中男生和女生人数的比例为，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为.
16．【答案】（1）解：因为，
由，
得，
所以，
则，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为；
设的公比为，
因为，
所以，
则数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，
所以的前项和为，
则，
所以
，
所以.
由，得，
令，
则，
所以，
因为，
所以，
则满足的最小的的值为11.
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由的关系式和分类讨论的方法，从而可得数列的通项公式，再由等比数列的通项公式，从而求出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法求出，再令结合，从而判断出数列的单调性，进而得出满足的最小的正整数的值.
（1）因为，所以由得，所以，
所以，
时，，
又时，，所以的通项公式为；
设的公比为，
因为，所以，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，所以的前项和，
所以，
所以
，
所以.
由得，令，则，所以，
因为，所以，
所以满足的最小的的值为11.
17．【答案】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，由题意可知：的可能取值为，
，，，
则的分布列为：
1 2 3
；
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
，，
，．
的分布列为
0 1 2 3
；
（2）由（1），知，，
，，，
，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大，因此甲的实验操作能力较强．
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，由题意可知：的可能取值为，利用超几何分布求概率以及分布列即可；设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，利用二项分布求概率，列出分布列，再计算均值即可；
（2）由（1）的分布列，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.
18．【答案】（1）解：当时，，
则，
又因为，
所以，
则在处的切线方程为，即．
（2）解：因为在上恰有2个零点，
所以在上恰有2个解，
当时，在上单调递增，不符合题意，则，
所以在上恰有2个解，
可得与的图象有2个不同的交点．
令，
则，
当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示，
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，
解得，
则实数m的取值范围为．
（3）证明：因为，
所以．
又因为是的极值点，
所以．
要证，
即证．
因为
．
令，
则，
由，解得，
则当时，；当时，，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，
则．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得出切线斜率，再由代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程.
（2）依题意，将在上恰有2个零点问题转化成与的图象有2个不同的交点问题，数形结合得出参数的取值范围.
（3）对求导，根据题意可得，再由代入化简结合放缩法，从而得到，令，求其最小值为，则，从而证出不等式成立.
（1）当时，，则，
，则，
所以在处的切线方程为，即．
（2）因为在上恰有2个零点，所以在上恰有2个解．
当时，在上单调递增，不符合题意，故，
所以在上恰有2个解，
故可得与的图象有2个不同的交点．
令，则，
所以当时，，可得；
当时，，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
作出的大致图象如图所示．
由图知，函数的图象与直线在上恰有2个不同的交点
等价于，解得，
即实数m的取值范围为．
（3）因为，所以．
因为是的极值点，所以．
要证，即证．
因为
．
令，则，由解得，
则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
则，即得证，
故．
19．【答案】（1）解：因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，则，
因为，所以，
则
所以椭圆的方程为．
（2）证明：解法1：设，则，
联立得，
所以则．
由，得，则，
所以，直线，
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，
得，
所以直线BC过定点．
解法2：设，直线l与x轴的交点为，则，
因为A，B，T三点共线，
所以①，
则直线，
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，
令，得．
由①，得，且，
所以
则，
所以直线BC过定点．
（3）证明：解法1：设，
则，
所以，
由指数平均不等式：，
得，
所以，
又因为
所以
由②，得，即，
由③，得
即，
所以，则，
又因为，所以．
解法2：设，MN的中点，
则，
所以，
由指数平均不等式：，
得，
所以，所以．
又因为，所以，
则，所以，
则，所以．
因为在椭圆内，所以，
则，所以，
则，又因为，
所以．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值，进而得出的值，再根据椭圆的离心率公式和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，进而得出椭圆的标准方程.
（2）利用两种方法求解.
解法一：设的坐标，联立直线与椭圆的方程，从而得出两点坐标间的关系式，再结合椭圆的对称性证出直线所过定点.
解法二：由三点共线，从而用A，B坐标表示直线的方程，再结合椭圆的对称性和椭圆的方程，从而证出直线所过定点.
（3）利用两种方法求解.
解法一：设点的坐标，再根据点在曲线上，再利用两点求斜率公式表示出直线的斜率，再将点的坐标代入椭圆方程结合点差法表示斜率，再根据已知条件得出的不等式，从而证出不等式成立.
解法二：设中点坐标，利用已知条件结合所给指数平均不等式以及中点坐标公式，从而得到与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内，则由代入法得出的取值范围，进而证出不等式成立.
（1）因为，当且仅当时，等号成立.
所以，则．
因为，所以，所以
所以椭圆的方程为．
（2）解法1：设，则．
联立得，
所以所以．
由，得，即．
直线．
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，
得，
所以直线BC过定点．
解法2：设，直线l与x轴的交点为，则．
由于A，B，T三点共线，则①．
直线．
由椭圆的对称性知，定点位于x轴上，令，得．
由①，得，且，
所以，
所以，所以直线BC过定点．
（3）解法1：设，则，
所以．
由指数平均不等式：，得，
所以．
又因为所以
由②，得，即；
由③，得，即，
所以，所以．
又因为，所以．
解法2：设，MN的中点，则，
所以．
由指数平均不等式：，得，
所以，所以．
又因为，所以，
所以，所以，所以，所以．
因为在椭圆内，所以，所以，
所以，所以．
又因为，所以．
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