2.向心力
第1课时 探究向心力大小的表达式
1.知道向心力的定义及作用，知道它是根据力的作用效果命名的。 2.通过实验感受向心力的存在。 3.通过向心力演示器用控制变量法探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系。
知识点一 向心力
情境：如图所示为双人花样滑冰滑在比赛中的情境。男运动员拉着女运动员使其在冰面上做匀速圆周运动。
问题：（1）若不考虑冰面摩擦力，女运动员受到哪些力的作用？
（2）合力指向什么方向？合力方向与速度方向有什么关系？
提示：（1）女运动员受到重力、支持力和男运动员对女运动员的拉力。
（2）合力沿水平方向指向圆心，合力方向与速度方向垂直。
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 圆心 ，这个指向圆心的力叫作 向心力 。
2.方向：始终沿半径指向 圆心 ，且与速度方向垂直，所以向心力是变力。
3.作用效果：只改变速度的方向。
4.效果力：向心力是根据力的 作用效果 来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
【易错辨析】
（1）物体由于做圆周运动而产生了向心力。（ × ）
（2）对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力。（ × ）
（3）当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。（ √ ）
1.向心力的作用效果：改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向始终与物体运动方向垂直，故向心力不改变线速度的大小。
2.向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
3.向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力。
【例1】 如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是（ C ）
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析：由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。而木块在水平面内做匀速圆周运动，由于没有发生相对滑动，所以其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故C正确。
知识点二 感受向心力
1.实验原理
如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋（或其他小物体），另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力。
2.实验步骤
（1）在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验，比较向心力与半径的关系。
（2）在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小物体的角速度进行实验，比较向心力与角速度的关系。
（3）换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，比较向心力与质量的关系。
3.实验结论：半径越大、角速度越大、质量越大，向心力越大。
【例2】 （2025·山东省邹城市高一期末）如图甲所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一个小沙袋在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
（1）下列说法中正确的是 BD （填选项前字母）。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
（2）如图乙所示，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A，80 cm处打一个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：
操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动 半径 有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与 角速度 有关；
操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与 质量 有关。
此种实验方法叫 控制变量 法。
解析：（1）保持质量、绳长不变，增大转速，由ω＝2πn知，角速度变大，绳对手的拉力将增大，故A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将变大，故C错误，D正确。
（2）本实验采取的方法是控制变量法
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力的大小与质量有关。
知识点三 探究向心力大小的表达式
1.实验仪器
2.实验原理及探究方法
（1）实验原理
匀速转动手柄，可以使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。小球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
（2）探究方法——控制变量法
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
3.实验步骤
（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。
（3）换成质量不同的小球，使两小球的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
（4）重复几次以上实验。
4.数据处理
（1）m、r一定：
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
（2）m、ω一定：
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
（3）r、ω一定：
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
（4）分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。
5.实验结论
（1）在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
（2）在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
（3）在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
【例3】 （2025·河北省保定市高一期中）用如图所示的实验装置来探究小球（有钢球和铝球两种）做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。
（1）在一次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右露出的刻度，此时可研究向心力的大小与 角速度大小ω （填“质量m”“半径r”或“角速度大小ω”）的关系。
解析：（1）实验采用控制变量法，因两球的质量和半径相同，所以比较的是向心力的大小和角速度大小ω的关系。
（2）在（1）的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出1格，右边标尺露出4格，则皮带连接的左、右塔轮半径的比值为 2 。
解析：（2）由向心力计算公式F＝mrω2，左边标尺露出1格，右边标尺露出4格，向心力之比1∶4，则角速度之比1∶2，又因皮带连接的左、右塔轮线速度相同，由v＝ωr可知，左右塔轮半径之比2∶1。即皮带连接的左、右塔轮半径的比值为2。
（3）在（1）的实验中，其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则下列符合实验实际的是 B （填选项前字母）。
A.左、右两标尺的示数变大，两标尺示数的比值变小
B.左、右两标尺的示数变大，两标尺示数的比值不变
C.左、右两标尺的示数变小，两标尺示数的比值变小
D.左、右两标尺的示数变大，两标尺示数的比值变大
解析：（3）若增大手柄转动的速度，由F＝mrω2＝mr，可知向心力增大，但比值不变。故选B。
【例4】 如图甲所示为向心力演示仪，某同学探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1，该同学设计了如图乙所示的三种组合方式，变速塔轮自上而下每层左右半径之比分别为1∶1、2∶1和3∶1。
（1）本实验的目的是探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，实验中采用的主要实验方法与下列实验相同的是 C （填正确选项前字母）；
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究平抛运动的特点
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
解析：（1）本实验采用的实验方法是控制变量法。探究两个互成角度的力的合成规律，采用的实验方法是等效替代法，故A错误；探究平抛运动的特点，采用的是等效思想，故B错误；探究加速度与物体受力、物体质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
（2）在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第 一 层塔轮（选填“一”“二”或“三”）；
解析：（2）在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系时，应保持两小球质量m、角速度ω相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
（3）按（2）中正确选择后，两次以不同的转速匀速转动手柄，左、右测力筒露出等分标记如图丙所示。则向心力大小F与小球做圆周运动半径r的关系是 D （填正确选项前字母）。
A.F与r2成反比 B.F与r2成正比
C.F与r成反比 D.F与r成正比
解析：（3）角速度为ω1、ω2时，左、右测力筒露出的格子数之比均为2∶1，左右两标尺露出的格子数之比表示向心力的比值，且B处、C处分别到各自转轴中心距离之比为2∶1，可知F与r成正比。故选D。
【例5】 （2025·安徽省亳州市高一期末）为探究“向心力大小与质量、角速度、半径的关系”，某同学设计了如图甲所示的实验装置，竖直转轴固定在电动机（未画出）上，光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动，在水平直杆的左端套上一带孔滑块P，用轻杆将滑块与固定在转轴上的力传感器连接，当转轴转动时，直杆随转轴一起转动，力传感器可以记录轻杆上的力，在直杆的另一端安装宽度为d的遮光条，在遮光条经过的位置安装一光电门，光电门可以记录遮光条经过光电门的挡光时间。
（1）本实验中用到的物理方法是 B （填选项前序号）。
A.微元法 B.控制变量法 C.类比法
解析：（1）在探究向心力大小与角速度、半径的关系的实验中，需要先控制某些量不变，探究向心力与其中某个物理量的关系，即控制变量法。故选B。
（2）改变电动机的转速，多次测量，得出五组轻杆上作用力F与对应角速度ω的数据如表格所示：
ω/（rad·s－1） 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.40 0.90 1.60 2.50 3.60
请在图乙所给的坐标纸中标出未标注的坐标点，并画出F-ω2图像。
答案：（2）图见解析
解析：（2）根据所给数据描绘F-ω2图像如图所示。
（3）根据图像分析，当滑块的质量m、转动半径r＝0.4 m，轻杆上的作用力F随角速度ω的增大而 增大 （填“增大”“不变”或“减小”），结合所作图像可知m＝ 1 kg。
解析：（3）根据图像可知，随角速度的增大，轻杆作用力增大；
轻杆对滑块的作用力为滑块做圆周运动提供向心力，根据F＝mrω2，图线的斜率
k＝mr＝ kg·m
解得m＝1 kg。
1.〔多选〕关于向心力，下列说法正确的是（ ）
A.做匀速圆周运动的物体一定受到向心力的作用
B.向心力是指向圆心方向的合力，它是根据力的作用效果命名的
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是某个力的分力
D.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
解析：BC 物体做圆周运动就需要有向心力，向心力由指向圆心方向的合力提供，它是根据力的作用效果命名的，向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力来提供，或者是他们的合力来提供，也可以是某个力的分力来提供，对物体受力分析时，不需再分析向心力，故A、D错误，B、C正确。
2.（2025·湖南省长沙市高一期末）在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
（1）如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小Fn与 角速度ω （填“质量m”“角速度ω”或“半径r”）的关系。
（2）通过实验探究得到结论：F∝mω2r，如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔相对应的半径之比为 2∶1 。
解析：（1）由题图可知，A、B都为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小Fn与角速度ω的关系。
（2）实验显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由向心力公式可得
mRA∶mRB＝1∶4，其中RA＝RB
解得ωA∶ωB＝1∶2
由于两塔轮是皮带传动，则两轮边缘的线速度大小相等，则有ωArA∶ωBrB＝1∶1
可得rA∶rB＝2∶1。
3.（2025·四川攀枝花高一期末）某学习小组使用如图所示的实验装置探究向心力大小与半径、角速度、质量之间的关系。若两球分别放在长槽和短槽的挡板内侧，转动手柄，长槽和短槽随变速轮塔匀速转动，两球所受向心力的比值可通过标尺上的等分格显示，当皮带放在皮带盘的第一挡、第二挡和第三挡时，左、右变速轮塔的角速度之比分别为1∶1，1∶2和1∶3。
（1）第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为 3∶1 。
（2）探究向心力大小与质量之间的关系时，把皮带放在皮带盘的第一挡后，应将质量 不同 （选填“相同”或“不同”）的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径 相同 （选填“相同”或“不同”）处挡板内侧。
（3）探究向心力大小与角速度之间的关系时，该小组将两个相同的钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧，改变皮带挡位，记录一系列标尺示数。其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格，则记录该组数据时，皮带位于皮带盘的第 二 挡（选填“一”“二”或“三”）。
解析：（1）皮带传动线速度相等，第三挡变速轮塔的角速度之比为1∶3，根据v ＝ ωr可知，第三挡对应左、右皮带盘的半径之比为3∶1。
（2）探究向心力大小与质量之间的关系时，需要保证两个物体做圆周运动的角速度相等、半径相等，质量不同，所以应将质量不同的铝球和钢球分别放在长、短槽上半径相同处挡板内侧。
（3）根据Fn ＝ mω2r，其中一组数据为左边1.5格、右边6.1格，则角速度平方之比为≈，由于误差存在，角速度之比为，可知皮带位于皮带盘的第二挡。
4.（2025·河南南阳高一期末）用如图所示的实验装置来探究影响向心力大小的因素。长槽横臂的挡板B到转轴的距离是挡板A的2倍，长槽横臂的挡板A和短槽横臂的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对球的压力提供了向心力，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的相对大小。
（1）为探究向心力和质量的关系，应将质量不同的小球分别放在挡板 A和C 处（选“A和B”、“A和C”、“B和C”），将传动皮带套在两塔轮半径 相同 的轮盘上（选“不同”“相同”）。
（2）为探究向心力和角速度的关系，应将质量相同的小球分别放在挡板 A和C 处（选“A和B”、“A和C”、“B和C”）。若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1，则选取的左、右变速塔轮轮盘半径之比为 1∶2 。
（3）在某次实验中，某同学将质量相同的小球分别放在挡板B和C处，传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘半径之比为2∶1，则左、右标尺显示的向心力之比为 1∶2 。
解析：（1）根据Fn＝mω2r可知，探究向心力和质量的关系时，应使两个质量不同的小球分别放在半径r相同的挡板处，即A和C处；而两塔轮的角速度要相等，同一皮带上的线速度大小相等，由v＝ωR可知要将传动皮带套在两塔轮半径相同的轮盘上；
（2）根据Fn＝mω2r可知，为探究向心力和角速度的关系，应将质量相同的小球分别放在半径r相同的挡板处，即A和C处；若在实验中发现左、右标尺显示的向心力之比为4∶1，则左、右塔轮的角速度之比为2∶1，同一皮带上的线速度大小相等，由v＝ωR可知选取的左、右变速塔轮轮盘半径之比为1∶2；
（3）传动皮带所套的左、右变速塔轮轮盘半径R之比为2∶1，则左右变速塔轮的角速度之比为1∶2，质量相同的小球分别放在挡板B和C处，转动半径之比为2∶1，由Fn＝mω2r可知，左、右标尺显示的向心力之比为1∶2。
5.图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体的向心力、轨道半径及线速度大小关系的实验装置，圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度大小v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F与线速度大小v的关系，改变线速度大小v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示。
v/（m·s－1） 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 2.00 3.50 5.50 7.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。
（1）作出F-v2图线；
答案：（1）见解析图
（2）若圆柱体运动半径r＝0.2 m，且已知F＝m，由作出的F-v2 的图线可得圆柱体的质量m＝ 0.18（0.19也可） kg。（结果保留2位有效数字）
解析：（1）作出F-v2图线，如图所示。
（2）根据F＝知，图线的斜率k＝，则有＝，代入数据计算得出m＝0.18 kg。
6.某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂产生圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力。
（1）电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为 。
（2）图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知。曲线①对应的砝码质量 小于 （选填“大于”或“小于”）曲线②对应的砝码质量。
解析：（1）挡光杆转动的线速度v＝
由ω＝
计算得出：ω＝。
（2）向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，由牛顿第二定律可以知道，质量大的物体需要的向心力大，结合图乙可得曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。
1 / 2第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用
1.知道向心力是一种效果力，会分析向心力的来源，并能进行计算。 2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力分析方法。
知识点一 向心力的来源分析和计算
情境：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
问题：（1）物体受几个力的作用？做匀速圆周运动需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
（2）结合实验探究得到的结论Fn＝mω2r，当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
提示：（1）物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用；静摩擦力提供向心力；物体所受摩擦力方向沿半径指向圆心。
（2）当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
1.向心力的大小：Fn＝mω2r＝ m ＝ mr 。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由 合力 提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向 圆心 的分力提供向心力。
1.匀速圆周运动的解题策略
在解决匀速圆周运动相关问题的过程中，要注意以下几个方面：
（1）知道物体做圆周运动的轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
（2）分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的，确定F合＝F向。
（3）根据线速度、角速度的特点，选择合适的向心力表达式。
（4）根据F向＝m＝mω2r＝mωv建立方程，求解有关问题。
2.几种常见的匀速圆周运动实例分析
实例 示意图 向心力
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
实例 示意图 向心力
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN
实例 示意图 向心力
飞机在水平面内做匀速圆周运动 重力和空气的作用力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】 （向心力来源分析）如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩坐在距圆心为r处的P点不动（P未画出），关于小孩的受力，以下说法正确的是（ C ）
A.小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B.小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C.小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D.若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变
解析：由于小孩随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能提供向心力，因此小孩会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力提供向心力，故A、B错误，C正确；静摩擦力提供小孩做圆周运动的向心力，方向始终改变，故D错误。
【例2】 （向心力公式的应用）甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为2∶1，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°。它们所受的合外力之比为（ C ）
A.1∶1 B.4∶3
C.16∶9 D.9∶16
解析：相同时间内甲转过60°角，乙转过45°角，根据角速度定义式ω＝可知ω1∶ω2＝4∶3；由题意有r1∶r2＝2∶1，m1∶m2＝1∶2；根据公式F合＝Fn＝mω2r，可知F1∶F2＝（m1r1）∶（m2r2）＝16∶9，故C正确。
【例3】 （水平面内的圆周运动）〔多选〕如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N（物体M、N可视为质点）。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，不计摩擦，则（ AC ）
A.M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B.M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C.v2与r成正比
D.ω2与r成正比
解析：物体N静止不动，绳子拉力与物体N的重力相等，物体M做匀速圆周运动，绳子拉力完全提供向心力，即T＝mNg＝F向，因此M所需向心力大小等于N所受重力的大小，故A正确，B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝m，则v2与r成正比，故C正确；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F向＝mNg＝mω2r，则ω2与r成反比，故D错误。
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
情境：荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示，小朋友正在由上向下运动。
问题：（1）此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
（2）绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
提示：（1）变速圆周运动。
（2）小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。
1.变速圆周运动的向心力
做变速圆周运动的物体所受的合力一般不等于 向心力 ，根据合力F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：
（1）跟圆周 相切 的分力Ft，此分力只改变物体速度的 大小 ；
（2）指向 圆心 的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，只改变速度的 方向 。
2.一般曲线运动的处理方法
（1）把曲线分割为许多 很短 的小段，质点在每小段的运动都可看作 圆周 运动的一部分。
（2）分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用 圆周 运动的分析方法来处理。
【易错辨析】
（1）做变速圆周运动的物体的向心力不指向圆心。（ × ）
（2）做变速圆周运动的物体的合外力沿切线方向的分力只改变速度的大小。（ √ ）
（3）做变速圆周运动的物体的合外力指向圆心的分力提供向心力。（ √ ）
（4）一般曲线运动不能用圆周运动的分析方法。（ × ）
1.变速圆周运动
（1）受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向的两个作用效果。
（2）某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r＝mr求解。
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力的关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
（1）合力方向与速度方向夹角为锐角时，合力为动力，速率越来越大。
（2）合力方向与速度方向夹角为钝角时，合力为阻力，速率越来越小。
【例4】 （一般曲线运动的受力特点）“歼-20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图中虚曲线是某次“歼-20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是（ C ）
A.沿F1方向 B.沿F2方向
C.沿F3方向 D.沿F4方向
解析：飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有选项C符合题意。
【例5】 （变速圆周运动的理解）如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则（ D ）
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
D.物体的合力方向始终不与其运动方向垂直（最低点除外）
解析：物体做加速曲线运动，所受合力不为零，故A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心O（最低点除外），合力沿半径方向的分力等于向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向的夹角始终为锐角，合力与速度不垂直，故B、C错误，D正确。
【例6】 （变速圆周运动的分析）荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ D ）
A.在B位置时，该同学受到的合力为零
B.在A位置时，该同学对秋千板的压力大于秋千板对该同学的支持力
C.在由A到B的过程中，该同学受到的向心力逐渐增大
D.在由A到B的过程中，该同学受到的向心力逐渐减小
解析：在B位置时，该同学的速度为零，向心力为零，即合力沿绳子方向的分力为零，但合力沿圆弧在B点的切线方向的分力不为零，A错误；根据牛顿第三定律可知，在A位置时，该同学对秋千板的压力大小等于秋千板对该同学的支持力的大小，B错误；在由A到B过程中，该同学的速度逐渐减小，由Fn＝m分析知，该同学受到的向心力逐渐减小，C错误，D正确。
圆周运动中的动力学问题分析方法
分析圆周运动中的动力学问题的基本步骤：
（1）明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
（2）确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
（3）找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
（4）利用牛顿第二定律列方程。
（5）解方程求出待求物理量。
【典例1】 〔多选〕如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受到3个力的作用，则ω可能为（ BC ）
A. B.
C. D.
解析：因为圆环光滑，所以小球受到重力mg、环对球的弹力FN、绳子的拉力FT，因此绳处于伸直状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动FNsin 30°－FTsin 30°－mg＝0，FNcos 30°＋FTcos 30°＝mω2r，根据几何关系r＝Rsin 60°，因此当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，当FT＝0时角速度最小，解得ωmin＝，当绳子拉力达到FT＝2mg时，此时角速度最大，解得ωmax＝，故选B、C。
【典例2】 长为L的细线，拴一质量为m的小球（小球可视为质点），一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示。已知重力加速度为g，当摆线与竖直方向的夹角是α时，求：
（1）细线对小球的拉力的大小；
答案：（1）
解析：以小球为研究对象，小球受重力mg和细线的拉力FT，如图所示。因为小球在水平面内做匀速圆周运动，所以小球受到的合力指向圆心O'，且是沿水平方向。
（1）由平行四边形定则知，细线对小球的拉力大小为FT＝。
（2）小球运动的线速度的大小；
答案：（2）
解析：（2）小球受到的合力大小为F合＝mgtan α
由牛顿第二定律得mgtan α＝m
由几何关系得r＝Lsin α
所以，小球做匀速圆周运动线速度的大小为v＝。
（3）小球运动的角速度及周期。
答案：（3） 2π
解析：（3）小球运动的角速度ω＝＝＝
小球运动的周期T＝＝2π。
1.（一般的曲线运动）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是（ ）
解析：C 汽车在行驶中速度越来越小，所以汽车在轨迹的切线方向做减速运动，切线方向受力如图中的Ft所示。同时汽车做曲线运动，则汽车所受合力方向指向曲线凹侧 ，必有沿半径指向圆心的分力提供向心力，向心力如图中的Fn所示。汽车所受合力F为Ft、Fn的合力，故C正确。
2.（向心力的来源 ）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力（ ）
A.由重力和支持力的合力提供
B.由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C.只由重力提供
D.只由支持力提供
解析：A 圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。故选A。
3.（圆周运动的动力学分析）如图所示，质量相等的两小球A、B用长度相等的两根细线连接着，在光滑的水平面上以相同的角速度绕O点做匀速圆周运动，两细线上的拉力FAB∶FOB为（ ）
A.2∶1 B.2∶3
C.5∶3 D.3∶2
解析：B 设A、B的质量均为m，角速度均为ω，两根细线的长度均为L，对A、B根据牛顿第二定律分别有FAB＝mω2·2L，FOB－FAB＝mω2L，联立以上两式解得两细线上的拉力FAB∶FOB＝2∶3，故选B。
4.（圆周运动的动力学分析）如图所示，在光滑水平面上固定一由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑轨道，两者在点B处平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一质量为m的小球以大小为v0的速度从A点沿该点的切线方向进入圆弧轨道。求：
（1）小球从A点运动到B点的时间；
（2）小球在A、C两点所受轨道的弹力大小之比。
答案：（1）
（2）1∶2
解析：（1）由于水平面和轨道都光滑，所以小球沿轨道运动时的速度大小不变，则小球从A点运动到B点的时间为t＝·＝。
（2）在A、C两点均由轨道的弹力提供向心力，由牛顿第二定律可得FA＝m，FC＝m
小球在A、C两点所受轨道的弹力大小之比为＝。
课堂小结
知识点一 向心力的大小和来源分析
1.（2025·北京昌平高一期末）如图所示，在杂技表演中，杂技演员表演了“球内飞车”的杂技。一个由钢骨架和铁丝网构成的球壳固定在水平地面上，杂技演员骑摩托车在球壳内飞速旋转，惊险而刺激。甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是（ ）
A.重力 B.支持力
C.摩擦力 D.重力与支持力的合力
解析：B 甲演员在图中“赤道”平面做匀速圆周运动，提供向心力的是轨道对摩托车的支持力，故B正确。
2.（2025·宿迁市高一期末）如图所示，一个内壁光滑圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）
A.小球受到重力、弹力和向心力
B.小球受到的弹力大于小球的重力
C.小球受到的合力等于零
D.小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：B 小球受重力、弹力两力的作用，受力如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球的重力，小球受到的弹力大于小球的向心力。故选B。
3.（2025·河南省郑州市高一期中）A、B两物体都做匀速圆周运动，＝，＝，经过1秒钟，A转过圆心角，B转过了圆心角，则A物体的向心力与B物体的向心力之比为（ ）
A.1∶4 B.4∶9
C.9∶16 D.16∶9
解析：B 根据角速度的定义式ω＝可知，＝，根据向心力公式F＝mω2r，可得A物体的向心力与B物体的向心力之比为＝··＝××＝，故A、C、D错误，B正确。
4.（2025·广东东莞高一下期末）如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的转速减小以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力增大
B.物体所受弹力不变，摩擦力减小
C.物体所受弹力减小，摩擦力不变
D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：C 物体所受弹力提供向心力，当圆筒的转速减小以后，物体所需向心力减小，则弹力减小，但在竖直方向上物体所受合力为零，所受摩擦力与重力大小始终相等，所以摩擦力不变。故选C。
5.如图所示，质量为m的鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对鹰作用力的大小等于（重力加速度为g）（ ）
A.m B.m
C.m D.mg
解析：A 对鹰的受力情况进行分析，如图所示。鹰受到重力mg、空气对鹰的作用力F，两力的合力提供向心力Fn，方向沿水平方向指向圆心，故F＝，又Fn＝m，联立解得F＝m，故B、C、D错误，A正确。
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
6.（2025·浙江省温州市高一期中）如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点。小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是（ ）
A.小球在摆动过程中受到的合力都指向圆心O点
B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合力为零
C.小球在最低点C时所受的合力，即为向心力
D.小球在摆动过程中绳子的拉力使其线速度大小发生变化
解析：C 小球摆动过程中，合力沿绳子方向的分力提供向心力，指向圆心O点，故A错误；在最高点A、B，小球的速度为零，小球所受合力的大小不为零，方向与轨迹的方向相切，故B错误；小球在最低点受重力和拉力，两个力的合力竖直向上，指向圆心，合力等于向心力，故C正确；小球在摆动的过程中，由于绳子的拉力与速度方向垂直，拉力不会使小球速率发生变化，故D错误。
7.（2025·河北省张家口高一期末）如图所示，一半径为R的半球形金属壳开口向上，固定在水平面上，质量为m的物块沿金属壳内壁滑下，滑到最低点时速度大小为v，方向如图所示，若物块与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物块在最低点时（重力加速度为g），下列说法正确的是（ ）
A.向心力为m
B.向心力为mg＋m
C.滑动摩擦力为μm
D.滑动摩擦力为μmg＋m
解析：A 依题意，根据向心力公式得Fn＝m，故A正确，B错误；根据合力提供向心力得FN－mg＝m，则有FN＝mg＋m，所以滑动摩擦力为Ff＝μ，故C、D错误。
8.〔多选〕如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方有一钉子C，O、C的距离为，把悬线另一端的小球A拉到跟悬点在同一水平面处无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（ ）
A.线速度突然增大为原来的2倍
B.角速度突然增大为原来的2倍
C.向心力突然增大为原来的2倍
D.向心力突然增大为原来的4倍
解析：BC 悬线碰到钉子前后，悬线的拉力始终与小球的运动方向垂直，小球的线速度大小不变，故A错误；悬线碰到钉子后，小球的运动半径减小为原来的一半，线速度大小不变，由ω＝知角速度变为原来的2倍，由Fn＝m可知向心力变为原来的2倍，故B、C正确，D错误。
9.如图所示，在光滑杆上穿着两个小球质量分别为m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（ ）
A.1∶1 B.1∶4
C.2∶1 D.1∶2
解析：D 两球受到绳子的拉力提供向心力，所以向心力相等，角速度又相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，又有m1＝2m2，由以上两式可得r1∶r2＝1∶2，故D正确。
10.如图所示，光滑固定的水平圆盘中心有一个光滑的小孔，用一细绳穿过小孔连接质量分别为m1、m2的小球A和B，让B球悬挂，A球在光滑的圆盘面上绕圆盘中心做匀速圆周运动，角速度为ω，半径为r，（重力加速度为g）则关于r和ω关系的图像正确的是（ ）
解析：B 根据m2g＝m1rω2，得r＝·，可知r与成正比，与ω2成反比，故A错误，B正确。因为＝ω2，所以与ω2成正比，故C、D错误。
11.（2025·广东省云浮高一统考期末）如图所示，马戏团正在上演飞车节目，杂技演员驾驶摩托车（整体可视为质点）在一个可视为球体的固定铁笼内绕铁笼的竖直直径在水平面内做匀速圆周运动，此时摩托车所在位置与铁笼中心O点的连线与水平方向的夹角θ＝30°。已知铁笼的半径R＝5.4 m，杂技演员与摩托车整体的质量m＝150 kg，不计铁笼与摩托车间的摩擦，重力加速度大小g＝10 m/s2。
（1）请作出演员驾驶摩托车（整体可视为质点）的受力分析图；
（2）求：摩托车对铁笼的压力大小；
（3）求：摩托车此时行驶的速度大小。
答案：（1）见解析
（2）3 000 N
（3）9 m/s
解析：（1）演员驾驶摩托车的受力分析如图。
（2）由受力分析可得FNsin θ＝mg
则铁笼对摩托车的支持力为FN＝＝ N＝3 000 N
根据牛顿第三定律可知摩托车对铁笼的压力大小为FN'＝FN＝3 000 N。
（3）由牛顿第二定律可得FNcos θ＝m
则摩托车此时行驶的速度大小v＝9 m/s。
12.（2025·上海金山高一期末）如图a所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上（细绳能承受足够大的拉力），A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图b所示，则：
（1）两钉子间的距离为绳长的几分之几？
（2）t＝10.5 s时细绳的拉力大小？
（3）t＝12.5 s时细绳的拉力大小？
答案：（1）
（2）6 N
（3）7.5 N
解析：（1）设细绳长为L，由图b可知，在0～6 s时间内细绳拉力大小不变，可知F1＝m
6～10 s时间内细绳拉力大小不变，则有F2＝m
因为F2＝F1
可得L'＝L
Δx＝L－L'＝L－L＝L
即两钉子间的距离为绳长的。
（2）由图b可知，小球在第一个半圈经历时间为6 s，则有＝6 s
小球在第二个半圈经历时间为t'＝＝t＝5 s
在t＝10.5 s时，小球在转第二个半圈，则有细绳的拉力大小为6 N。
（3）小球转第三个半圈的时间t″＝＝t＝4 s
在t＝12.5 s时，小球转动的半径为r＝L
解得细绳的拉力大小为F＝m＝m＝＝F1＝×5 N＝7.5 N。
1 / 2第1课时 探究向心力大小的表达式
1.知道向心力的定义及作用，知道它是根据力的作用效果命名的。 2.通过实验感受向心力的存在。 3.通过向心力演示器用控制变量法探究向心力大小与质量、角速度、半径的关系。
知识点一 向心力
情境：如图所示为双人花样滑冰滑在比赛中的情境。男运动员拉着女运动员使其在冰面上做匀速圆周运动。
问题：（1）若不考虑冰面摩擦力，女运动员受到哪些力的作用？
（2）合力指向什么方向？合力方向与速度方向有什么关系？
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向 ，这个指向圆心的力叫作 。
2.方向：始终沿半径指向 ，且与速度方向垂直，所以向心力是变力。
3.作用效果：只改变速度的方向。
4.效果力：向心力是根据力的 来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供的物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
【易错辨析】
（1）物体由于做圆周运动而产生了向心力。（ ）
（2）对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力。（ ）
（3）当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。（ ）
1.向心力的作用效果：改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向始终与物体运动方向垂直，故向心力不改变线速度的大小。
2.向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
3.向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力为变力。
【例1】 如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是（ ）
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同
尝试解答
知识点二 感受向心力
1.实验原理
如图所示，在绳子的一端拴一个小沙袋（或其他小物体），另一端握在手中，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于手通过绳对沙袋的拉力。
2.实验步骤
（1）在小物体的质量和角速度不变的条件下，改变小物体做圆周运动的半径进行实验，比较向心力与半径的关系。
（2）在小物体的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，改变小物体的角速度进行实验，比较向心力与角速度的关系。
（3）换用不同质量的小物体，在角速度和半径不变的条件下，重复上述操作，比较向心力与质量的关系。
3.实验结论：半径越大、角速度越大、质量越大，向心力越大。
【例2】 （2025·山东省邹城市高一期末）如图甲所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一个小沙袋在空气中甩动，使小沙袋在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
（1）下列说法中正确的是 （填选项前字母）。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
（2）如图乙所示，绳上离小沙袋重心40 cm处打一个绳结A，80 cm处打一个绳结B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据：
操作一：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使小沙袋在水平方向每秒运动2周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向小沙袋中添加少量沙子，使小沙袋在水平方向每秒运动1周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动 有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与 有关；
操作四与一相比较：角速度、半径相同，向心力大小与 有关。
此种实验方法叫 法。
尝试解答
知识点三 探究向心力大小的表达式
1.实验仪器
2.实验原理及探究方法
（1）实验原理
匀速转动手柄，可以使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。挡板对小球的压力提供了小球做匀速圆周运动的向心力。小球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。
（2）探究方法——控制变量法
控制变量 探究内容
m、r相同，改变ω 探究向心力F与角速度ω的关系
m、ω相同，改变r 探究向心力F与半径r的关系
ω、r相同，改变m 探究向心力F与质量m的关系
3.实验步骤
（1）把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不同。探究向心力的大小与角速度的关系。
（2）保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与轨道半径的关系。
（3）换成质量不同的小球，使两小球的转动半径相同。调整变速塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
（4）重复几次以上实验。
4.数据处理
（1）m、r一定：
序号 1 2 3 4 5 6
F向
ω
ω2
（2）m、ω一定：
序号 1 2 3 4 5 6
F向
r
（3）r、ω一定：
序号 1 2 3 4 5 6
F向
m
（4）分别作出F向-ω2、F向-r、F向-m的图像。
5.实验结论
（1）在质量和轨道半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比。
（2）在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与轨道半径成正比。
（3）在轨道半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。
【例3】 （2025·河北省保定市高一期中）用如图所示的实验装置来探究小球（有钢球和铝球两种）做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。
（1）在一次实验中，某同学把两个质量相等的钢球放在A、C位置，A、C到塔轮中心距离相同，将皮带处于左右塔轮的半径不等的层上。转动手柄，观察左右露出的刻度，此时可研究向心力的大小与 （填“质量m”“半径r”或“角速度大小ω”）的关系。
（2）在（1）的实验中，某同学匀速转动手柄时，左边标尺露出1格，右边标尺露出4格，则皮带连接的左、右塔轮半径的比值为 。
（3）在（1）的实验中，其他条件不变，若增大手柄转动的速度，则下列符合实验实际的是 （填选项前字母）。
A.左、右两标尺的示数变大，两标尺示数的比值变小
B.左、右两标尺的示数变大，两标尺示数的比值不变
C.左、右两标尺的示数变小，两标尺示数的比值变小
D.左、右两标尺的示数变大，两标尺示数的比值变大
尝试解答
【例4】 如图甲所示为向心力演示仪，某同学探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1，该同学设计了如图乙所示的三种组合方式，变速塔轮自上而下每层左右半径之比分别为1∶1、2∶1和3∶1。
（1）本实验的目的是探究向心力的大小F与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，实验中采用的主要实验方法与下列实验相同的是 （填正确选项前字母）；
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究平抛运动的特点
C.探究加速度与物体受力、物体质量的关系
（2）在某次实验中，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第 层塔轮（选填“一”“二”或“三”）；
（3）按（2）中正确选择后，两次以不同的转速匀速转动手柄，左、右测力筒露出等分标记如图丙所示。则向心力大小F与小球做圆周运动半径r的关系是 （填正确选项前字母）。
A.F与r2成反比 B.F与r2成正比
C.F与r成反比 D.F与r成正比
尝试解答
【例5】 （2025·安徽省亳州市高一期末）为探究“向心力大小与质量、角速度、半径的关系”，某同学设计了如图甲所示的实验装置，竖直转轴固定在电动机（未画出）上，光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，能随竖直转轴一起转动，在水平直杆的左端套上一带孔滑块P，用轻杆将滑块与固定在转轴上的力传感器连接，当转轴转动时，直杆随转轴一起转动，力传感器可以记录轻杆上的力，在直杆的另一端安装宽度为d的遮光条，在遮光条经过的位置安装一光电门，光电门可以记录遮光条经过光电门的挡光时间。
（1）本实验中用到的物理方法是 （填选项前序号）。
A.微元法 B.控制变量法 C.类比法
（2）改变电动机的转速，多次测量，得出五组轻杆上作用力F与对应角速度ω的数据如表格所示：
ω/（rad·s－1） 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.40 0.90 1.60 2.50 3.60
请在图乙所给的坐标纸中标出未标注的坐标点，并画出F-ω2图像。
（3）根据图像分析，当滑块的质量m、转动半径r＝0.4 m，轻杆上的作用力F随角速度ω的增大而 （填“增大”“不变”或“减小”），结合所作图像可知m＝ kg。
尝试解答
提示：完成课后作业 第六章 2. 第1课时
6 / 6第2课时 向心力的分析和向心力公式的应用
1.知道向心力是一种效果力，会分析向心力的来源，并能进行计算。 2.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力分析方法。
知识点一 向心力的来源分析和计算
情境：如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
问题：（1）物体受几个力的作用？做匀速圆周运动需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
（2）结合实验探究得到的结论Fn＝mω2r，当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
1.向心力的大小：Fn＝mω2r＝ ＝ 。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中，由 提供向心力。在非匀速圆周运动中，物体合力不是始终指向圆心，合力指向 的分力提供向心力。
1.匀速圆周运动的解题策略
在解决匀速圆周运动相关问题的过程中，要注意以下几个方面：
（1）知道物体做圆周运动的轨道所在的平面，明确圆心和半径是解题的一个关键环节。
（2）分析清楚向心力的来源，明确向心力是由什么力提供的，确定F合＝F向。
（3）根据线速度、角速度的特点，选择合适的向心力表达式。
（4）根据F向＝m＝mω2r＝mωv建立方程，求解有关问题。
2.几种常见的匀速圆周运动实例分析
实例 示意图 向心力
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN
飞机在水平面内做匀速圆周运动 重力和空气的作用力的合力提供向心力，F向＝F合
【例1】 （向心力来源分析）如图所示，一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，一个小孩坐在距圆心为r处的P点不动（P未画出），关于小孩的受力，以下说法正确的是（ ）
A.小孩在P点不动，因此不受摩擦力的作用
B.小孩随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力的合力充当向心力
C.小孩随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D.若使圆盘以较小的转速转动，小孩在P点受到的摩擦力不变
尝试解答
【例2】 （向心力公式的应用）甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为2∶1，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°。它们所受的合外力之比为（ ）
A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16
尝试解答
【例3】 （水平面内的圆周运动）〔多选〕如图所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，下端拴物体N（物体M、N可视为质点）。若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小为v，物体N处于静止状态，不计摩擦，则（ ）
A.M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B.M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C.v2与r成正比
D.ω2与r成正比
尝试解答
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
情境：荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，如图所示，小朋友正在由上向下运动。
问题：（1）此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
（2）绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？
1.变速圆周运动的向心力
做变速圆周运动的物体所受的合力一般不等于 ，根据合力F产生的效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：
（1）跟圆周 的分力Ft，此分力只改变物体速度的 ；
（2）指向 的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，只改变速度的 。
2.一般曲线运动的处理方法
（1）把曲线分割为许多 的小段，质点在每小段的运动都可看作 运动的一部分。
（2）分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用 运动的分析方法来处理。
【易错辨析】
（1）做变速圆周运动的物体的向心力不指向圆心。（ ）
（2）做变速圆周运动的物体的合外力沿切线方向的分力只改变速度的大小。（ ）
（3）做变速圆周运动的物体的合外力指向圆心的分力提供向心力。（ ）
（4）一般曲线运动不能用圆周运动的分析方法。（ ）
1.变速圆周运动
（1）受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向的两个作用效果。
（2）某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r＝mr求解。
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力的关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
（1）合力方向与速度方向夹角为锐角时，合力为动力，速率越来越大。
（2）合力方向与速度方向夹角为钝角时，合力为阻力，速率越来越小。
【例4】 （一般曲线运动的受力特点）“歼-20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图中虚曲线是某次“歼-20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是（ ）
A.沿F1方向 B.沿F2方向 C.沿F3方向 D.沿F4方向
尝试解答
【例5】 （变速圆周运动的理解）如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则（ ）
A.物体的合力为零
B.物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C.物体的合力就是向心力
D.物体的合力方向始终不与其运动方向垂直（最低点除外）
尝试解答
【例6】 （变速圆周运动的分析）荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A.在B位置时，该同学受到的合力为零
B.在A位置时，该同学对秋千板的压力大于秋千板对该同学的支持力
C.在由A到B的过程中，该同学受到的向心力逐渐增大
D.在由A到B的过程中，该同学受到的向心力逐渐减小
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圆周运动中的动力学问题分析方法
分析圆周运动中的动力学问题的基本步骤：
（1）明确研究对象，对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。
（2）确定物体做圆周运动的轨道平面、圆心、半径。
（3）找出向心力的来源，利用平行四边形定则或正交分解法，计算出沿半径方向的合力F合。
（4）利用牛顿第二定律列方程。
（5）解方程求出待求物理量。
【典例1】 〔多选〕如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳上的最大拉力为2mg，当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受到3个力的作用，则ω可能为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
【典例2】 长为L的细线，拴一质量为m的小球（小球可视为质点），一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（这种运动通常称为圆锥摆运动），如图所示。已知重力加速度为g，当摆线与竖直方向的夹角是α时，求：
（1）细线对小球的拉力的大小；
（2）小球运动的线速度的大小；
（3）小球运动的角速度及周期。
尝试解答
1.（一般的曲线运动）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图A、B、C、D中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为可能正确的是（ ）
2.（向心力的来源 ）如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力（ ）
A.由重力和支持力的合力提供 B.由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C.只由重力提供 D.只由支持力提供
3.（圆周运动的动力学分析）如图所示，质量相等的两小球A、B用长度相等的两根细线连接着，在光滑的水平面上以相同的角速度绕O点做匀速圆周运动，两细线上的拉力FAB∶FOB为（ ）
A.2∶1 B.2∶3
C.5∶3 D.3∶2
4.（圆周运动的动力学分析）如图所示，在光滑水平面上固定一由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑轨道，两者在点B处平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一质量为m的小球以大小为v0的速度从A点沿该点的切线方向进入圆弧轨道。求：
（1）小球从A点运动到B点的时间；
（2）小球在A、C两点所受轨道的弹力大小之比。
课堂小结
提示：完成课后作业 第六章 2. 第2课时
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