2.万有引力定律
1.了解推导行星与太阳之间引力表达式的方法。 2.掌握万有引力定律的内容、含义及适用条件，会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。 3.了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。 4.在建立万有引力定律的过程中，学习发现问题、提出问题、猜想假设与推理论证的方法。
知识点一 行星与太阳间的引力
1.行星绕太阳的运动可以看作 运动。行星受到一个指向圆心（太阳）的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的 。
2.若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝ ，结合＝k，可知F＝4π2k，即F∝ 。
3.太阳吸引行星，行星也同样吸引太阳，也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全相当，因此，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F∝。写成等式就是F＝ ，式中量G与太阳、行星都没有关系。
【易错辨析】
（1）太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线。（ ）
（2）太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力大小。（ ）
（3）太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与太阳的质量无关。（ ）
【例1】 （太阳与行星间的引力）根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F'∝，其中m太、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是（ ）
A.由F∝和F'∝知F∶F'＝m∶m太
B.太阳的质量大于行星的质量，所以F＞F'
C.F和F'是一对平衡力，大小总是相等的
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动所需的向心力
尝试解答
知识点二 月—地检验
情境：如图甲所示，秋天苹果成熟后会从树上落下来；如图乙所示，月球绕着地球在公转。
问题：（1）苹果从树上脱落后，为什么落向地面而不是飞上天空？月球为什么能够绕地球转动？
（2）从地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到地球的吸引力吗？
（3）苹果和地球之间的作用与月球和地球之间的作用性质相同吗？
1.检验目的：检验地球与太阳间的作用力、月球与地球间的作用力和地球对树上苹果的吸引力是否为 的力。
2.检验方法
（1）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝ ，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝ ＝ 。
（2）假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝ ＝ 。
（3）＝ ，由于r≈60R，所以＝ 。
3.验证：苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2，月球中心到地球中心的距离r＝3.8×108 m，月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s，则a月＝r≈ m/s2（保留2位有效数字），≈ （比例）。
4.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 的规律。
【例2】 （2025·河北省石家庄三中高一检测）通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是（ ）
A.牛顿计算出了地球对月球的引力的数值，从而完成了月—地检验
B.牛顿计算出了月球对月球表面物体的引力的数值，从而完成了月—地检验
C.牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
D.牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
尝试解答
（2025·辽宁省协作校高一下学期期中）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（ ）
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
知识点三 万有引力定律 引力常量
情境：图甲为两个靠近的人，图乙为行星围绕着太阳运行，图丙为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”围绕地球运行。
问题：（1）任意两个物体之间都存在万有引力吗？
（2）为什么通常两个人之间感受不到万有引力，而太阳对行星（地球对人造卫星）的引力可以使行星（人造卫星）围绕太阳（地球）运转？
1.万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都 ，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 成正比、与它们之间距离r的 成反比。
（2）表达式：F＝ ，式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N。G是比例系数，单位为 ，
叫作引力常量。
2.引力常量
（1）大小：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
（2）测定：英国物理学家 在实验室比较精确地测出了G的数值。
【易错辨析】
（1）万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力。（ ）
（2）一般物体间也存在万有引力，只是力太小，受力分析时可忽略不计。（ ）
（3）引力常量是牛顿首先测出的。（ ）
（4）太阳与行星间的引力公式F＝G，其中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。（ ）
1.F＝G的适用条件
（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
2.万有引力的特性
普遍性 宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观性 一般物体之间的万有引力比较小，质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
【例3】 （万有引力定律的理解）关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（ ）
A.我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间没有万有引力的作用
B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
C.由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大
D.引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2
尝试解答
【例4】 （万有引力常量）（2025·陕西西安高一下期中）测量引力常量的实验装置图如图所示，关于该实验说法正确的是（ ）
A.该实验最早由牛顿完成
B.引力常量与物体质量有关
C.实验测得的引力常量是一个没有单位的常量
D.该实验应用了“微小量放大”的实验方法
尝试解答
【例5】 （质点间万有引力大小的计算）（2025·河北高一下阶段练习）木卫三是太阳系中最大的卫星，主要由硅酸盐岩石和冰体构成。木卫三的平均半径约为2 630 km， 是月球半径的1.5倍，质量约为1.5×1023 kg，是月球质量的2倍，假设质量相等的两个飞行器分别落在木卫三和月球的表面，木卫三和月球对各自飞行器的引力大小之比为（ ）
A. B. C. D.
尝试解答
【例6】 （非质点间万有引力大小的计算）（2025·山东省聊城市高一期中）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，球体与质点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（ ）
A.F B.F C.F D.F
尝试解答
方法技巧
填补法计算非质点间万有引力的大小
大球体被挖去小球体后，大球体的密度不再均匀，无法直接利用公式求解大球体对质点产生的万有引力，此时我们可以采取填补法，将被挖部分补回去，完整的大球体密度均匀，此时可以利用万有引力的公式求解完整地大球体对质点的万有引力，再减去挖掉的小球体对质点的万有引力即可。
地球上物体所受万有引力与重力的关系
1.万有引力和重力的关系
设地球的质量为m地，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，如图所示，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为两个分力：
（1）一个分力为Fn，方向垂直于自转轴，为物体随地球自转做圆周运动提供向心力。
（2）另一个分力就是物体的重力mg。
2.重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
（1）赤道上：重力和向心力在一条直线上，有F＝Fn＋mg，即G＝mω2R＋mg，所以mg＝G－mω2R。
（2）地球两极处：向心力为零，所以mg＝G。
（3）其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
3.重力与高度的关系：地球自转的角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
（1）在地面附近：mg＝G。
（2）距离地面h高度处：mgh＝G（R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度）。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
【典例】 〔多选〕（2025·山西晋中高一下期末）万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（ ）
A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
尝试解答
1.（引力常量）（人教版教材必修第二册P53图7.2－3改编）物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是（ ）
A.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的万有引力很小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
2.（万有引力定律的应用）地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为（ ）
A.R B.（－1）R C.R D.3R
3.（万有引力与重力的关系）假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是（ ）
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
4.（万有引力的计算）（2025·江苏淮安高一下期末）两个大小相同的实心匀质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心匀质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A.2F B.4F C.8F D.16F
课堂小结
提示：完成课后作业 第七章 2.
6 / 62.万有引力定律
1.了解推导行星与太阳之间引力表达式的方法。 2.掌握万有引力定律的内容、含义及适用条件，会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。 3.了解引力常量G的测定在科学史上的重大意义。 4.在建立万有引力定律的过程中，学习发现问题、提出问题、猜想假设与推理论证的方法。
知识点一 行星与太阳间的引力
1.行星绕太阳的运动可以看作 匀速圆周 运动。行星受到一个指向圆心（太阳）的引力，这个引力提供行星做匀速圆周运动的 向心力 。
2.若行星的质量为m，行星到太阳的距离为r，行星公转的周期为T，则行星需要的向心力的大小F＝ ，结合＝k，可知F＝4π2k，即F∝ 。
3.太阳吸引行星，行星也同样吸引太阳，也就是说，在引力的存在与性质上，行星和太阳的地位完全相当，因此，行星与太阳的引力也应与太阳的质量m太成正比，即F∝。写成等式就是F＝ G ，式中量G与太阳、行星都没有关系。
【易错辨析】
（1）太阳与行星间引力的方向沿着两者的连线。（ √ ）
（2）太阳对行星的引力大小等于行星对太阳的引力大小。（ √ ）
（3）太阳对行星的引力与行星的质量成正比，与太阳的质量无关。（ × ）
【例1】 （太阳与行星间的引力）根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F∝，行星对太阳的引力F'∝，其中m太、m、r分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与行星间的距离。下列说法正确的是（ D ）
A.由F∝和F'∝知F∶F'＝m∶m太
B.太阳的质量大于行星的质量，所以F＞F'
C.F和F'是一对平衡力，大小总是相等的
D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动所需的向心力
解析：根据牛顿第三定律，太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小相等、方向相反，故A、B错误；太阳对行星的引力的受力物体是行星，行星对太阳的引力的受力物体是太阳，故两个力不是平衡力，故C错误；行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动所需的向心力，故D正确。
知识点二 月—地检验
情境：如图甲所示，秋天苹果成熟后会从树上落下来；如图乙所示，月球绕着地球在公转。
问题：（1）苹果从树上脱落后，为什么落向地面而不是飞上天空？月球为什么能够绕地球转动？
（2）从地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力，那么月球受到地球的吸引力吗？
（3）苹果和地球之间的作用与月球和地球之间的作用性质相同吗？
提示：（1）苹果受到地球的吸引而使苹果落向地面；地球对月球的引力为月球做圆周运动提供向心力。
（2）月球受到地球的吸引力。
（3）性质相同。
1.检验目的：检验地球与太阳间的作用力、月球与地球间的作用力和地球对树上苹果的吸引力是否为 同一种性质 的力。
2.检验方法
（1）假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝ G ，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝ ＝ G 。
（2）假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝ ＝ G 。
（3）＝ ，由于r≈60R，所以＝ 。
3.验证：苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2，月球中心到地球中心的距离r＝3.8×108 m，月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s，则a月＝r≈ 2.7×10－3 m/s2（保留2位有效数字），≈ （比例）。
4.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从 相同 的规律。
【例2】 （2025·河北省石家庄三中高一检测）通过“月—地检验”证明了地球对地面物体的引力与行星对卫星的引力具有相同的性质。当时牛顿掌握的信息有：地球表面的重力加速度为g，月球轨道半径为地球半径的60倍，月球的公转周期约为27.3天。下列关于月—地检验的说法正确的是（ D ）
A.牛顿计算出了地球对月球的引力的数值，从而完成了月—地检验
B.牛顿计算出了月球对月球表面物体的引力的数值，从而完成了月—地检验
C.牛顿计算出了月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
D.牛顿计算出了月球绕地球做圆周运动的加速度约为地球表面重力加速度的，从而完成了月—地检验
解析：因为牛顿当时还没有测量出引力常量G，所以牛顿并没有计算出地球对月球的引力的数值和月球对月球表面物体的引力的数值，故A、B错误；根据题给信息无法求出月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的大小关系，故C错误；设地球质量为m地，地球半径为R，月球轨道半径为60R，月球绕地球做圆周运动的加速度a＝G，地球表面重力加速度g＝G，则＝＝，故D正确。
（2025·辽宁省协作校高一下学期期中）若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证（ ）
A.地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
B.月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
C.自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的
D.苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
解析：B 若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，需要验证月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的，B正确。
知识点三 万有引力定律 引力常量
情境：图甲为两个靠近的人，图乙为行星围绕着太阳运行，图丙为我国的第一颗人造卫星“东方红一号”围绕地球运行。
问题：（1）任意两个物体之间都存在万有引力吗？
（2）为什么通常两个人之间感受不到万有引力，而太阳对行星（地球对人造卫星）的引力可以使行星（人造卫星）围绕太阳（地球）运转？
提示：（1）任意两个物体间都存在着万有引力。
（2）由于人的质量很小，两个人之间的万有引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，对天体的运动起决定作用。
1.万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都 相互吸引 ，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的 乘积 成正比、与它们之间距离r的 二次方 成反比。
（2）表达式：F＝ G ，式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N。G是比例系数，单位为 N·m2/kg2 ，叫作引力常量。
2.引力常量
（1）大小：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
（2）测定：英国物理学家 卡文迪什 在实验室比较精确地测出了G的数值。
【易错辨析】
（1）万有引力只存在于天体之间，常见的普通物体间不存在万有引力。（ × ）
（2）一般物体间也存在万有引力，只是力太小，受力分析时可忽略不计。（ √ ）
（3）引力常量是牛顿首先测出的。（ × ）
（4）太阳与行星间的引力公式F＝G，其中G是比例系数，与太阳、行星都没有关系。（ √ ）
1.F＝G的适用条件
（1）万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
（2）质量分布均匀的球体间的相互作用可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
（3）一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
2.万有引力的特性
普遍性 宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观性 一般物体之间的万有引力比较小，质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
【例3】 （万有引力定律的理解）关于万有引力和万有引力定律理解正确的有（ D ）
A.我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体之间没有万有引力的作用
B.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力
C.由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力无穷大
D.引力常量的大小首先是由卡文迪什测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：我们平常很难觉察到物体之间的万有引力，是因为一般物体的质量很小，所以物体之间万有引力很小，故A错误；两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B错误；两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力定律不再适用，万有引力并不是无穷大，故C错误；引力常量的大小首先是由卡文迪什用扭秤实验测出来的，约等于6.67×10－11 N·m2/kg2，故D正确。
【例4】 （万有引力常量）（2025·陕西西安高一下期中）测量引力常量的实验装置图如图所示，关于该实验说法正确的是（ D ）
A.该实验最早由牛顿完成
B.引力常量与物体质量有关
C.实验测得的引力常量是一个没有单位的常量
D.该实验应用了“微小量放大”的实验方法
解析：卡文迪什通过该装置测出了引力常量G，与物体质量无关，故A、B错误；测得的G是引力常量，根据单位制知公式不但反应物理量数量间的关系也反应物理量单位间的关系，引力常量是有单位的，故C错误；该实验巧妙地利用了“微小量放大”思想，故D正确。
【例5】 （质点间万有引力大小的计算）（2025·河北高一下阶段练习）木卫三是太阳系中最大的卫星，主要由硅酸盐岩石和冰体构成。木卫三的平均半径约为2 630 km， 是月球半径的1.5倍，质量约为1.5×1023 kg，是月球质量的2倍，假设质量相等的两个飞行器分别落在木卫三和月球的表面，木卫三和月球对各自飞行器的引力大小之比为（ D ）
A. B.
C. D.
解析：设飞行器的质量为m， 则在木卫三表面有F1＝G，在月球表面有F2＝G，可得
＝·，由题意有＝，＝2， 故＝2×＝，D正确。
【例6】 （非质点间万有引力大小的计算）（2025·山东省聊城市高一期中）有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，球体与质点间的万有引力大小为F。现从M中挖去半径为R的球体，如图所示，则剩余部分对m的万有引力大小为（ D ）
A.F B.F
C.F D.F
解析：质量为M的球体对质量为m的质点的万有引力F＝G＝，挖去的球体的质量M'＝M＝，质量为M'的球体对质量为m的质点的万有引力F'＝G＝＝F，则剩余部分对质量为m的质点的万有引力F剩＝F－F'＝F，故选D。
方法技巧
填补法计算非质点间万有引力的大小
大球体被挖去小球体后，大球体的密度不再均匀，无法直接利用公式求解大球体对质点产生的万有引力，此时我们可以采取填补法，将被挖部分补回去，完整的大球体密度均匀，此时可以利用万有引力的公式求解完整地大球体对质点的万有引力，再减去挖掉的小球体对质点的万有引力即可。
地球上物体所受万有引力与重力的关系
1.万有引力和重力的关系
设地球的质量为m地，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的引力为F，方向指向地心O，如图所示，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为两个分力：
（1）一个分力为Fn，方向垂直于自转轴，为物体随地球自转做圆周运动提供向心力。
（2）另一个分力就是物体的重力mg。
2.重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
（1）赤道上：重力和向心力在一条直线上，有F＝Fn＋mg，即G＝mω2R＋mg，所以mg＝G－mω2R。
（2）地球两极处：向心力为零，所以mg＝G。
（3）其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
3.重力与高度的关系：地球自转的角速度很小，故地球自转带来的影响很小。
（1）在地面附近：mg＝G。
（2）距离地面h高度处：mgh＝G（R为地球半径，gh为离地面h高度处的重力加速度）。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
【典例】 〔多选〕（2025·山西晋中高一下期末）万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是（ AC ）
A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝G
B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝G
C.在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝G
D.在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝G
解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝G，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜G，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝G，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则弹簧测力计读数F3＜G，故D错误。
1.（引力常量）（人教版教材必修第二册P53图7.2－3改编）物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。下列说法错误的是（ ）
A.引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的万有引力很小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D.引力常量G的大小与两物体质量的乘积成反比，与两物体间距离的平方成正比
解析：D 地面上普通物体的质量很小，所以物体之间的万有引力很小，这个力很难测量，故不易通过万有引力定律公式直接计算G，A正确；引力常量是一个常数，与物体所在的位置及物体的质量、物体间的距离无关，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正确，D错误；地面上普通物体间的万有引力很小，扭矩引起的形变很小，该形变不易被测量，而题图所示装置利用放大原理，提高了测量精度，故C正确。
2.（万有引力定律的应用）地球半径为R，一物体在地球表面受到的万有引力为F，若该物体在地球高空某处受到的万有引力为，则该处距地面的高度为（ ）
A.R B.（－1）R
C.R D.3R
解析：B 设地球质量为M，物体在地球表面，根据万有引力定律有F＝，距地面h处有＝，解得h＝（－1）R，选项B正确。
3.（万有引力与重力的关系）假如地球的自转角速度增大，对于物体的重力，下列说法正确的是（ ）
A.放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变
B.放在两极地面上的物体重力变小
C.放在赤道地面上的物体的重力不变
D.“一昼夜”的时间不变
解析：A 地球的自转角速度增大，由Fn＝mω2R可知赤道地面上物体随地球自转所需的向心力增大。地球的质量和半径都没有变化，由F＝可知，放在赤道地面上的物体所受的万有引力不变，A正确；在两极地面上，物体转动所需的向心力为零，此时物体的重力与所受万有引力相等，故放在两极地面上的物体的重力不变，B错误；根据赤道上万有引力是重力和向心力的合力，地球的自转角速度增大时物体所需向心力增大，万有引力不变，重力将减小，C错误；根据自转周期T＝可知，自转角速度增大，则周期变小，即“一昼夜”的时间变小，故D错误。
4.（万有引力的计算）（2025·江苏淮安高一下期末）两个大小相同的实心匀质小铁球，紧靠在一起时它们之间的万有引力为F；若两个半径为小铁球2倍的实心匀质大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（ ）
A.2F B.4F
C.8F D.16F
解析：D 设小铁球的半径为R，则两小铁球间的万有引力为F＝G＝G＝Gπ2ρ2R4，同理，两大铁球之间的万有引力F'＝G＝Gπ2ρ2·（2R）4＝16F，故选D。
课堂小结
知识点一 行星与太阳间的引力 月—地检验
1.〔多选〕如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是（ ）
A.太阳对行星的引力等于行星绕太阳做匀速圆周运动的向心力
B.太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C.太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D.太阳对行星的引力规律是由开普勒定律、牛顿运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
解析：AD 太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做匀速圆周运动的向心力，它的引力大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，A正确，B错误；太阳对行星的引力规律是由开普勒第三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，C错误，D正确。
2.〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的
C.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到验证的
D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式都是可以在实验室中得到验证的
解析：AB 公式F＝m中的是行星做匀速圆周运动的加速度，这个关系式实际是牛顿第二定律，也是向心力公式，能通过实验验证，A正确；v＝是在匀速圆周运动中，一个周期过程中运动轨迹的弧长与相应时间的比值即线速度，B正确；开普勒第三定律＝k是无法在实验室中得到验证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，C、D错误。
3.在物理学建立、发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步。关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是（ ）
A.卡文迪什仅根据牛顿第三定律推出了行星与太阳间引力大小跟行星与太阳间距离的平方成反比的关系
B.古希腊学者亚里士多德认为物体下落的快慢由它们的重量决定，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中利用逻辑推理，使亚里士多德的理论陷入了困境
C.引力常量G的大小是牛顿根据大量实验数据得出的
D.“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力遵从同样的规律
解析：D 牛顿探究天体间的作用力，得到行星间引力与距离的平方成反比，并进一步扩展为万有引力定律，故A错误；伽利略在他的《两种新科学的对话》中利用逻辑推断，使亚里士多德的理论陷入了困境，故B错误；卡文迪什通过扭秤实验测量出了引力常量G，故C错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故D正确。
4.〔多选〕关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是（ ）
A.由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B.行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C.由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D.行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
解析：BD 由万有引力定律F＝可知，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，故B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，故A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，故C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆形轨道，向心力由太阳对行星的引力提供，故D正确。
知识点二 万有引力定律 引力常量
5.（2025·江苏省扬州市高二学业考试）万有引力定律F＝G，关于引力常量G， 下列说法正确的是（ ）
A.G是比例系数，没有单位
B.G的单位是N
C.G的单位是N·m/kg
D.G的单位是N·m2/kg2
解析：D 由F＝G，可得G＝，可知引力常量G的单位是N·m2/kg2。故选D。
6.如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，引力常量为G，则两球间的万有引力大小为（ ）
A. B.
C. D.
解析：D 两个匀质球体间的万有引力F＝G，r是两球心间的距离，即F＝G，选项D正确。
7.（2025·江苏盐城高二学业考试）要使两质点间的万有引力减小到原来的，下列说法正确的是（ ）
A.使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍
B.使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
C.使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍
D.使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍
解析：D 根据F＝G可知，使两物体的质量各减小一半，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故A错误；根据F＝G可知，使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则两质点间的万有引力不变，故B错误；根据F＝G可知，使其中一个物体的质量减小到原来的，距离变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故C错误；根据F＝G可知，使两物体间的距离增大到原来的4倍，质量均变为原来的2倍，则两质点间的万有引力减小到原来的，故D正确。
8.（2025·浙江省杭州市高二期中）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船在酒泉发射场发射升空。载人飞船在远离地球的过程中，所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是（ ）
解析：B 根据万有引力定律得F＝G，则随h增加，F呈非线性减小，故选B。
9.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（ ）
A.9∶1 B.9∶2
C.36∶1 D.72∶1
解析：B 在忽略星球自转的情况下，星球表面的重力与万有引力相同，而“玉兔”与“祝融”在悬停过程中，所受着陆平台的作用力大小等于其受到的万有引力大小，则有F玉＝G，F祝＝G，可知＝，故B正确。
10.（2025·山西省运城市高一期中）如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上。已知万有引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R，下列说法正确的是（ ）
A.地球对三颗卫星的引力相同
B.地球对一颗卫星的引力大小为
C.两颗卫星对地球引力的合力大小为
D.一颗卫星受另外两颗卫星的引力的合力大小为
解析：C 地球对三颗卫星的引力大小相同，方向不同，故A错误；根据题意，由万有引力定律可得，地球与每一颗卫星之间的引力大小为F＝，故B错误；两颗卫星对地球的引力大小都为，夹角为120°，根据平行四边形定则可知两颗卫星对地球引力的合力大小F合＝2××cos 60°＝，故C正确；如图所示，两颗卫星之间的距离L＝2rcos 30°＝r，所以两颗卫星之间的引力大小为F'＝G＝，一颗卫星受另外两颗卫星引力的合力大小F合'＝2F'cos 30°＝2××＝，故D错误。
11.〔多选〕如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同的纬度上。如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.P、Q所受地球引力大小相等
B.P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C.P、Q做圆周运动的角速度大小相等
D.P、Q两质点的重力大小相等
解析：AC P、Q两质点所受地球引力都是F＝G，故A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据向心力公式Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B错误，C正确；物体的重力为万有引力的一个分力，在赤道处最小，随着纬度的增加而增大，则P的重力小于Q的重力，故D错误。
12.（2025·河南开封高一期末）在利用探测器探测石油的过程中，遇到空腔或者其他物质时，引力会发生变化，引起该区域重力加速度的大小和方向发生微小的变化，以此来探寻石油区域的位置。简化模型如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（ ）
A. B.
C. D.
解析：C 设质点与原球体球心相距l，万有引力为F，则F＝，在球体中央挖去半径为r的一部分球体后，质点与原球体剩余部分之间的万有引力F1＝＝·＝，故选C。
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