4.抛体运动的规律
1.通过运动的分解，会确定平抛运动的速度、位移和运动轨迹。 2.掌握平抛运动的规律，能运用平抛运动的规律解决实际问题。 3.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法。 4.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题。 5.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题。
知识点一 平抛运动的速度
1.平抛运动的处理方法：化曲为直，将其分解为水平方向和竖直方向的两个分运动
初速度 受力情况 运动情况
水平方向 v0
竖直方向 0
2.以初速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）水平方向：vx＝ 。
（2）竖直方向：vy＝ 。
（3）合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝（θ是v与水平方向的夹角，也称为速度偏向角）。
【易错辨析】
（1）做平抛运动的物体的速度、加速度都随时间增大。（ ）
（2）平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向都不断变化。（ ）
（3）做平抛运动的物体的速度方向与竖直方向的夹角越来越小，若足够高，速度方向最终可能竖直向下。（ ）
1.平抛运动的速度特点：初速度v0方向水平；任意时刻的瞬时速度的水平分量都等于初速度v0，竖直分量都等于自由落体运动的速度。
2.平抛运动的速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【例1】 （平抛运动的速度特点）（2025·江苏省淮安市高一期中）一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为（不计空气阻力，重力加速度为g）（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
【例2】 （平抛运动的速度方向）（2025·江苏省盐城市高一期中）物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tan α随时间t变化的图像是下列选项图中的（ ）
尝试解答
知识点二 平抛运动的位移与轨迹
情境：用枪水平地射击一个靶（如图所示，忽略空气阻力），设子弹从枪口水平射出的瞬间，靶从静止开始自由下落。
问题：（1）子弹的运动轨迹是曲线，如何对平抛运动进行研究？
（2）子弹在竖直方向做什么运动？子弹能射中靶吗？为什么？
1.平抛运动的位移
做平抛运动的物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示。
运动时间t后，其水平位移：x＝
竖直位移：y＝
合位移大小：l＝＝
合位移方向：tan α＝＝ （α为位移与水平方向的夹角，也称为位移偏向角）。
2.轨迹方程：y＝ ，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
【易错辨析】
（1）做平抛运动的物体的初速度越大，物体落地时间越短。（ ）
（2）做平抛运动的物体初速度越大，物体的水平位移越大。（ ）
（3）物体做平抛运动落地的时间由抛出点高度决定，与物体做平抛运动的初速度大小无关。（ ）
1.运动时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
2.水平位移：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
3.落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
【例3】 （平抛运动的位移）（2025·贵州黔东南州高一期末）一同学利用无人机玩“投弹”游戏，如图所示，无人机以某一速度v0水平匀速飞行，在某时刻释放一个小球，若小球下落时间为2 s，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则关于小球下落过程的描述正确的是（ ）
A.释放后小球做自由落体运动 B.小球运动的位移为20 m
C.若v0增大，小球在空中运动的时间也增大 D.若小球运动位移为25 m，则v0＝7.5 m/s
尝试解答
【例4】 （平抛运动的方程）（2025·河北唐山高一上期末）如图所示，将某物体以一定的速度从距地面15 m高处水平抛出，落地时物体速度与水平地面的夹角为60°。以物体抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体运动的轨迹方程为（ ）
A.y＝x2 B.y＝x2 C.y＝x2 D.y＝x2
尝试解答
【例5】 （多体平抛运动问题）（2025·四川省眉山市高一期中）如图所示，将甲、乙两个小球分别从图示位置以初速度v甲、v乙水平抛出，结果同时落到P点。不计空气阻力，下列判断中正确的有（ ）
A.它们的初速度关系是v甲＞v乙 B.它们的初速度关系是v甲＜v乙
C.它们一定是同时抛出 D.乙一定先抛出
尝试解答
知识点三 一般的抛体运动
情境：体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等（如图所示），都是沿斜上方抛出的。
问题：以抛出的铅球为例：
（1）铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况有何特点？
（2）铅球初速度有何特点？铅球在最高点的速度是零吗？
1.斜抛运动：物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向 或斜向 。
2.受力情况：做斜抛运动的物体在水平方向不受力，加速度是0，物体在竖直方向只受重力，加速度是g。
3.运动分解：做斜抛运动的物体在水平方向做 直线运动，速度v0x＝ ，在竖直方向做 直线运动，初速度v0y＝ 。（θ为v0与水平方向间的夹角）
【易错辨析】
（1）做斜抛运动和平抛运动的物体在水平方向上都做匀速直线运动。（ ）
（2）做斜抛运动和平抛运动的物体在竖直方向上都做自由落体运动。（ ）
（3）做斜抛运动的物体，抛出后速度先减小后增大。（ ）
1.斜抛运动的规律
（1）速度规律
水平速度：vx＝v0cos θ
竖直速度：vy＝v0sin θ－gt
t时刻的速度大小为v＝。
（2）位移规律
水平位移：x＝vxt＝v0tcos θ
竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
2.射高和射程
（1）斜抛运动的飞行时间：
t＝＝。
（2）射高：h＝＝。
（3）射程：s＝v0cos θ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值smax＝。
【例6】 （斜抛运动规律的应用）〔多选〕（2025·河南省濮阳一中月考）如图所示，小球以v0＝10 m/s的
速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是（取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）（ ）
A.小球到达最高点时的瞬时速度为零
B.小球离地面的最大高度是3.2 m
C.小球在空中的运动时间是1.6 s
D.小球在空中运动过程中，每秒的速度变化量都相同
尝试解答
【例7】 （斜抛运动的对称性的应用）（2025·河南省洛阳市高一期末）如图是小球做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是（不计空气阻力）（ ）
A.该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
B.小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
C.整个运动过程中小球处于失重状态
D.小球从A到C的时间小于从C到B的时间
尝试解答
方法技巧
斜上抛运动问题的分析技巧
（1）斜上抛运动的三个对称性：
①时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。
②速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
③轨迹对称：斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
（2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定。
（3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
平抛运动的两个重要推论
1.推论一：
做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝ ①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝ ②
联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。
2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝ ①
位移偏向角的正切值
tan α＝＝＝ ②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
【典例1】 如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线（ ）
A.交于OA上的同一点
B.交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C.交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D.因为小球的初速度和O、A距离未知，所以无法确定
尝试解答
【典例2】 （2025·南阳市高一期中）如图所示，从倾角为θ的固定斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（ ）
A.当v1＞v2时，α1＞α2 B.当v1＞v2时，α1＜α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2 D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
尝试解答
1.（平抛运动的理解）〔多选〕关于平抛运动，下列说法中正确的是（ ）
A.平抛运动的下落时间由下落高度决定
B.平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
C.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
D.平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化
2.（平抛运动规律的应用）如图为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
3.（斜抛运动）〔多选〕关于物体做斜抛运动时的射高，下列说法中正确的是（ ）
A.物体的初速度越大，射高越大
B.物体的抛射角越大，射高越大
C.物体的初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D.物体的抛射角一定时，初速度越大，射高越大
4.（平抛运动的两个重要推论）（2025·淮北市高一期末）如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M点为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为（ ）
A.1 s B.1.5 s C.2.5 s D.3 s
课堂小结
提示：完成课后作业 第五章 4.
7 / 74.抛体运动的规律
1.通过运动的分解，会确定平抛运动的速度、位移和运动轨迹。 2.掌握平抛运动的规律，能运用平抛运动的规律解决实际问题。 3.知道一般抛体运动的特点并掌握其分析方法。 4.会利用一般抛体运动的规律解决斜上抛问题。 5.掌握平抛运动的两个重要推论，能运用推论解决相关问题。
知识点一 平抛运动的速度
1.平抛运动的处理方法：化曲为直，将其分解为水平方向和竖直方向的两个分运动
初速度 受力情况 运动情况
水平方向 v0 不受力 匀速直线运动
竖直方向 0 只受重力 自由落体运动
2.以初速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
（1）水平方向：vx＝ v0 。
（2）竖直方向：vy＝ gt 。
（3）合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝（θ是v与水平方向的夹角，也称为速度偏向角）。
【易错辨析】
（1）做平抛运动的物体的速度、加速度都随时间增大。（ × ）
（2）平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向都不断变化。（ √ ）
（3）做平抛运动的物体的速度方向与竖直方向的夹角越来越小，若足够高，速度方向最终可能竖直向下。（ × ）
1.平抛运动的速度特点：初速度v0方向水平；任意时刻的瞬时速度的水平分量都等于初速度v0，竖直分量都等于自由落体运动的速度。
2.平抛运动的速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
【例1】 （平抛运动的速度特点）（2025·江苏省淮安市高一期中）一个物体以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为（不计空气阻力，重力加速度为g）（ C ）
A. B.
C. D.
解析：根据速度的矢量关系可以求出落地时物体竖直方向上的速度vy＝，物体在竖直方向上做自由落体运动，所以运动时间为t＝＝，故选C。
【例2】 （平抛运动的速度方向）（2025·江苏省盐城市高一期中）物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角α的正切值tan α随时间t变化的图像是下列选项图中的（ B ）
解析：平抛运动水平方向上的速度不变，为v0，在竖直方向上的速度为vy＝gt，则tan α＝＝，g与v0为定值，所以tan α与t成正比，故选B。
知识点二 平抛运动的位移与轨迹
情境：用枪水平地射击一个靶（如图所示，忽略空气阻力），设子弹从枪口水平射出的瞬间，靶从静止开始自由下落。
问题：（1）子弹的运动轨迹是曲线，如何对平抛运动进行研究？
（2）子弹在竖直方向做什么运动？子弹能射中靶吗？为什么？
提示：（1）将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
（2）子弹竖直方向做自由落体运动，能够射中。由于子弹与靶竖直方向都做自由落体运动，相同时间内与靶下落的高度相同，故能够射中靶。
1.平抛运动的位移
做平抛运动的物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示。
运动时间t后，其水平位移：x＝ v0t
竖直位移：y＝ gt2
合位移大小：l＝＝
合位移方向：tan α＝＝ （α为位移与水平方向的夹角，也称为位移偏向角）。
2.轨迹方程：y＝ x2 ，平抛运动的轨迹是一条抛物线。
【易错辨析】
（1）做平抛运动的物体的初速度越大，物体落地时间越短。（ × ）
（2）做平抛运动的物体初速度越大，物体的水平位移越大。（ × ）
（3）物体做平抛运动落地的时间由抛出点高度决定，与物体做平抛运动的初速度大小无关。（ √ ）
1.运动时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关。
2.水平位移：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定。
3.落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定。
【例3】 （平抛运动的位移）（2025·贵州黔东南州高一期末）一同学利用无人机玩“投弹”游戏，如图所示，无人机以某一速度v0水平匀速飞行，在某时刻释放一个小球，若小球下落时间为2 s，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则关于小球下落过程的描述正确的是（ D ）
A.释放后小球做自由落体运动
B.小球运动的位移为20 m
C.若v0增大，小球在空中运动的时间也增大
D.若小球运动位移为25 m，则v0＝7.5 m/s
解析：释放后，由于惯性，小球有水平方向的初速度，小球做平抛运动，故A错误；根据平抛运动的规律有h＝gt2＝20 m，x0＝v0t，小球的位移x＝＞20 m，故B错误；根据h＝gt2，解得t＝，可知，若v0增大，小球在空中运动的时间不变，故C错误；若小球运动位移为25 m，结合上述有x＝，v0＝，解得v0＝7.5 m/s，故D正确。
【例4】 （平抛运动的方程）（2025·河北唐山高一上期末）如图所示，将某物体以一定的速度从距地面15 m高处水平抛出，落地时物体速度与水平地面的夹角为60°。以物体抛出点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐标系，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体运动的轨迹方程为（ C ）
A.y＝x2 B.y＝x2
C.y＝x2 D.y＝x2
解析：竖直方向为自由落体运动，则由y＝gt2，得t＝ s，落地时竖直方向的速度vy＝gt＝10 m/s，又由落地时物体速度与水平地面的夹角为60°；可得水平方向的初速度v0＝＝10 m/s，则可得水平位移x＝v0t，联立y＝gt2，得y＝x2，故选C。
【例5】 （多体平抛运动问题）（2025·四川省眉山市高一期中）如图所示，将甲、乙两个小球分别从图示位置以初速度v甲、v乙水平抛出，结果同时落到P点。不计空气阻力，下列判断中正确的有（ B ）
A.它们的初速度关系是v甲＞v乙
B.它们的初速度关系是v甲＜v乙
C.它们一定是同时抛出
D.乙一定先抛出
解析：甲球的抛出点竖直高度h更高，则根据h＝gt2可知，甲球运动的时间更长，为使得两球同时落到P点，则需将甲球先抛出，故C、D错误；乙球的水平位移更大，而运动时间短，根据x＝v0t可知，乙球的初速度更大，即它们的初速度关系是v甲＜v乙，故A错误，B正确。
知识点三 一般的抛体运动
情境：体育运动中投掷的链球、铅球、铁饼、标枪等（如图所示），都是沿斜上方抛出的。
问题：以抛出的铅球为例：
（1）铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况有何特点？
（2）铅球初速度有何特点？铅球在最高点的速度是零吗？
提示：（1）不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力。
（2）铅球的初速度不为零，方向斜向上方。在最高点的速度不是零。
1.斜抛运动：物体被抛出时的速度不沿水平方向，而是斜向 上方 或斜向 下方 。
2.受力情况：做斜抛运动的物体在水平方向不受力，加速度是0，物体在竖直方向只受重力，加速度是g。
3.运动分解：做斜抛运动的物体在水平方向做 匀速 直线运动，速度v0x＝ v0cos θ ，在竖直方向做 匀变速 直线运动，初速度v0y＝ v0sin θ 。（θ为v0与水平方向间的夹角）
【易错辨析】
（1）做斜抛运动和平抛运动的物体在水平方向上都做匀速直线运动。（ √ ）
（2）做斜抛运动和平抛运动的物体在竖直方向上都做自由落体运动。（ × ）
（3）做斜抛运动的物体，抛出后速度先减小后增大。（ × ）
1.斜抛运动的规律
（1）速度规律
水平速度：vx＝v0cos θ
竖直速度：vy＝v0sin θ－gt
t时刻的速度大小为v＝。
（2）位移规律
水平位移：x＝vxt＝v0tcos θ
竖直位移：y＝v0tsin θ－gt2。
2.射高和射程
（1）斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
（2）射高：h＝＝。
（3）射程：s＝v0cos θ·t＝＝，对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值smax＝。
【例6】 （斜抛运动规律的应用）〔多选〕（2025·河南省濮阳一中月考）如图所示，小球以v0＝10 m/s的速度从水平地面斜向右上方抛出，速度方向与水平方向的夹角是53°，不计空气阻力，下列说法正确的是（取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6）（ BCD ）
A.小球到达最高点时的瞬时速度为零
B.小球离地面的最大高度是3.2 m
C.小球在空中的运动时间是1.6 s
D.小球在空中运动过程中，每秒的速度变化量都相同
解析：小球做斜抛运动，到达最高点时竖直方向速度为零，水平方向速度不为零，则瞬时速度不为零，故A错误；小球离地面的最大高度为h＝＝ m＝3.2 m，故B正确；小球在空中的运动时间为t＝＝ s＝1.6 s，故C正确；小球在空中运动过程中，加速度为g不变，又每秒的速度变化量Δv＝gt＝g，所以每秒的速度变化量都相同，故D正确。
【例7】 （斜抛运动的对称性的应用）（2025·河南省洛阳市高一期末）如图是小球做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是（不计空气阻力）（ C ）
A.该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
B.小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
C.整个运动过程中小球处于失重状态
D.小球从A到C的时间小于从C到B的时间
解析：该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，故A错误；根据对称性可知，小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等，但方向不同，故B错误；整个运动过程中，小球的加速度为重力加速度，处于失重状态，故C正确；根据对称性可知，小球从A到C的时间等于从C到B的时间，故D错误。
方法技巧
斜上抛运动问题的分析技巧
（1）斜上抛运动的三个对称性：
①时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间。
②速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。
③轨迹对称：斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称。
（2）运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由初速度和抛射角决定。
（3）由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
平抛运动的两个重要推论
1.推论一：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点。如图，即xOB＝xA。
推导：从速度的分解来看，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝ ①
将速度v反向延长，速度偏向角的正切值
tan θ＝＝ ②
联立①②式解得xOB＝v0t＝xA。
2.推论二：做平抛运动的物体在某时刻，设其速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
推导：速度偏向角的正切值tan θ＝ ①
位移偏向角的正切值
tan α＝＝＝ ②
联立①②式可得tan θ＝2tan α。
【典例1】 如图所示，在足够高的竖直墙壁MN的左侧某点O以不同的初速度将小球水平抛出，其中OA沿水平方向，则所有抛出的小球在碰到墙壁前瞬间，其速度的反向延长线（ A ）
A.交于OA上的同一点
B.交于OA上的不同点，初速度越大，交点越靠近O点
C.交于OA上的不同点，初速度越小，交点越靠近O点
D.因为小球的初速度和O、A距离未知，所以无法确定
解析：小球虽然以不同的初速度抛出，但小球碰到墙壁时在水平方向的位移均相等，为O、A间距离，由平抛运动的推论易知，所有小球在碰到墙壁前瞬间其速度的反向延长线必交于水平位移OA的中点，选项A正确。
【典例2】 （2025·南阳市高一期中）如图所示，从倾角为θ的固定斜面上的某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，不计空气阻力，则（ C ）
A.当v1＞v2时，α1＞α2
B.当v1＞v2时，α1＜α2
C.无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2
D.α1、α2的关系与斜面倾角θ有关
解析：小球从斜面上的某点水平抛出后落到斜面上，小球的位移方向与水平方向的夹角等于斜面倾角θ，即tan θ＝＝＝，小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan α＝＝，故可得tan α＝2tan θ，只要小球落到斜面上，位移方向与水平方向的夹角就总是θ，则小球的速度方向与水平方向的夹角也总是α，故速度方向与斜面的夹角总是相等，与v1、v2的关系无关。故选C。
1.（平抛运动的理解）〔多选〕关于平抛运动，下列说法中正确的是（ ）
A.平抛运动的下落时间由下落高度决定
B.平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
C.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
D.平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化
解析：AC 平抛运动的下落时间由下落的高度决定，A正确；平抛运动的轨迹是曲线，它的速度方向沿轨迹的切线方向，方向不断改变，所以平抛运动是变速运动，但由于其加速度为g，保持不变，所以平抛运动是匀变速曲线运动，B错误；平抛运动的速度方向和加速度方向的夹角θ满足tan θ＝＝，随着时间t的增大，tan θ变小，夹角θ变小，C正确；平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向不变，D错误。
2.（平抛运动规律的应用）如图为某公园的喷水装置，若水从喷水口中水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短
B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近
C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近
D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等
解析：D 水从喷水口水平喷出后，做平抛运动，其运动时间由高度决定，所以喷水口高度一定时，水从喷出到落入池中的时间相等，喷水速度越大，水喷得越远，A、B错误，D正确；喷水速度一定，喷水口高度越高，水从喷出到落入池中的时间越长，水喷得越远，C错误。
3.（斜抛运动）〔多选〕关于物体做斜抛运动时的射高，下列说法中正确的是（ ）
A.物体的初速度越大，射高越大
B.物体的抛射角越大，射高越大
C.物体的初速度一定时，抛射角越大，射高越大
D.物体的抛射角一定时，初速度越大，射高越大
解析：CD 做斜抛运动的物体的射高，是由物体的初速度和抛射角共同决定的，初速度一定时，抛射角越大，射高越大；抛射角一定时，初速度越大，射高也越大，故C、D正确。
4.（平抛运动的两个重要推论）（2025·淮北市高一期末）如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以v0＝2 m/s的速度抛出，经过一段时间到达P点，M点为P点在Ox轴上的投影，作小球轨迹在P点的切线并反向延长，与Ox轴相交于Q点，已知QM＝3 m，不计空气阻力，则小球运动的时间为（ ）
A.1 s B.1.5 s
C.2.5 s D.3 s
解析：D 根据平抛运动推论可得，小球在P点速度的反向延长线过其这段时间水平位移的中点，则有x＝2QM＝v0t，解得小球运动的时间为t＝＝ s＝3 s，所以D正确，A、B、C错误。
课堂小结
知识点一 平抛运动的速度
1.〔多选〕物体在做平抛运动的过程中，下列哪些量是不变的（ ）
A.物体运动的加速度
B.物体沿水平方向运动的分速度
C.物体沿竖直方向运动的分速度
D.物体运动的位移方向
解析：AB 做平抛运动的物体只受重力作用，因此运动过程中的加速度大小始终为g，方向始终竖直向下，故A正确；物体做平抛运动时，水平方向不受力，做匀速直线运动，速度不变，则分速度不变，故B正确；物体做平抛运动时，竖直方向做自由落体运动，即v＝gt，速度均匀增加，故C错误；物体做平抛运动时，位移方向时刻变化，故D错误。
2.质点做平抛运动的初速度为v1，3 s末时的速度为v2。下列四个图中能够正确反映抛出1 s末、2 s末、3 s末速度矢量的示意图是（ ）
解析：D 平抛运动水平方向的分运动为匀速直线运动，速度不变；竖直方向为自由落体运动，相同时间内速度变化量相同且竖直向下，故A、B、C错误，D正确。
3.下列速度—时间图像中，图线Ⅰ、Ⅱ分别表示物体以初速度v0做平抛运动时，水平方向和竖直方向的两个分运动速度的情况，其中正确的是（ ）
解析：C 因为做平抛运动的物体，在水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，则两个方向的v-t图线如选项C所示。
知识点二 平抛运动的位移与轨迹
4.如图所示，玩具枪枪管保持水平且与固定靶中心位于同一水平线上，枪口与靶心间距离不变。若不考虑空气阻力，子弹中靶后立即停止运动，则子弹发射速度越大（ ）
A.位移越大 B.在空中飞行时间越短
C.在空中飞行时间越长 D.击中点离靶心越远
解析：B 子弹发射速度越大，即v0越大，由于水平位移不变，根据x＝v0t可知子弹飞行的时间越短；根据y＝gt2可知子弹在竖直方向上的位移越小，击中点离靶心越近，由s＝可知合位移越小，故A、C、D错误，B正确。
5.（2025·宁夏石嘴山市高一期中）如图所示，O点处有一小球以v＝8 m/s的水平初速度做平抛运动，经过2 s小球到达M点（g取10 m/s2），则下列说法正确的是（ ）
A.小球在M点的水平分速度大小为16 m/s
B.小球在M点的竖直分速度大小为10 m/s
C.O、M两点之间的竖直距离为16 m
D.O、M两点之间的水平距离为16 m
解析：D 小球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，所以小球在M点的水平分速度大小为8 m/s，竖直分速度大小为vy＝gt＝20 m/s，O、M两点之间的水平距离x＝v0t＝16 m，竖直距离h＝gt2＝20 m，综上可知，A、B、C错误，D正确。
6.〔多选〕（2025·甘肃省天水市高一期末）以速度v0水平抛出一物体，不计空气阻力，g为重力加速度，当其竖直分位移与水平分位移相等时，此物体的（ ）
A.竖直分速度等于水平分速度
B.瞬时速度为v0
C.运动时间为
D.发生的位移为
解析：BCD 当其竖直分位移与水平分位移相等时，则有gt2＝v0t，可得gt＝2v0，t＝，故C正确；竖直速度为vy＝gt＝2v0，故A错误；瞬时速度为v＝＝v0，故B正确；发生的位移为s＝＝，故D正确。
知识点三 一般的抛体运动
7.某运动员在大跳台比赛中从滑道滑出并在空中翻转时经多次曝光得到的照片如图所示，每次曝光的时间间隔相等。若运动员的重心轨迹与同速度不计阻力的斜抛小球轨迹重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D处于同一水平高度。下列说法正确的是（ ）
A.相邻位置运动员重心的速度变化相同
B.运动员在A、D位置时重心的速度相同
C.运动员从A到B和从C到D的时间相同
D.运动员重心位置的最高点位于B和C中间
解析：A 相邻位置的时间间隔相同，根据Δv＝gΔt，可知相邻位置运动员重心的速度变化相同，故A正确； A和D处于同一水平高度，则运动员在A、D位置时重心的速度大小相等，但是方向不同，故B错误；由题图可知，运动员从A到B的时间为5Δt，从C到D的时间为6Δt，时间不相同，故C错误；由题图知A到C的时间等于C到D的时间，根据斜抛运动的对称性可知运动员重心位置的最高点位于C点，故D错误。
8.（2025·山东省德州市高一期末）如图所示，网球运动员利用竖直训练墙进行训练时，将网球分别自同一高度上的a、b两点斜向上击出后，网球恰能垂直竖直墙壁击中墙壁上的同一点，不计空气阻力，则关于网球从被击出到击中墙壁的运动过程，下列说法正确的是（ ）
A.自a点被击出后在空中运动的时间长
B.自b点被击出后在空中运动的时间长
C.自a点被击出时的初速度大
D.自b点被击出时的初速度大
解析：C 因网球恰能垂直竖直墙壁击中墙壁上的同一点，则可将网球的运动看成反向的平抛运动，网球在竖直方向上运动的高度相同，根据h＝gt2，可知二者被击出后在空中运动的时间相同，A、B错误；将网球的运动看成反向的平抛运动，根据题图可知，a点与墙壁之间的水平距离更大，根据x＝v0t，可知网球自a点被击出的初速度的水平分速度大，根据＝2gh，可知网球自a、b两点被击出的初速度的竖直分速度相等，故网球自a点被击出时的初速度大，C正确，D错误。
9.（2025·江苏省盐城市高一期末）小刚同学在校运动会上参加跳远比赛，其运动轨迹可以简化为如图所示，小刚起跳时速度方向与水平方向夹角为α，跳远成绩为x，在空中距离地面的最大高度为h，若小刚同学可视为质点，不计空气阻力，下列判断正确的是（ ）
A.tan α＝ B.sin α＝
C.tan α＝ D.cos α＝
解析：C 由斜抛运动的对称性可知，小刚从起跳点到最高点的过程中，水平位移为，则此过程中的水平方向有＝v0cos α·t，竖直方向上有h＝·t，解得tan α＝，故选C。
10.（2025·天津市和平区高一期末）流量是指单位时间内通过管道横截面的流体体积，在生活中经常需要测量流量来解决问题。环保人员在检查时发现一根排污管正在向外满口排出大量污水。如图所示。他测出水平管口距落点的竖直高度为h，管口的直径为d，污水落点距管口的水平距离为l，重力加速度为g，d远小于l和h。根据这些测量计算排出污水的流量为（ ）
A.πld2 B.πld2
C.πld2 D.πhd2
解析：A 污水从管口排出做平抛运动，设水流速度为v，根据平抛运动规律，有l＝vt，h＝gt2，可求出v＝l，污水流量为Q＝＝Sv＝πd2l，故选A。
11.〔多选〕（2025·辽宁省锦州市高一期末）如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒被水平抛出的运动轨迹如图乙所示，O为抛出点，A、B为轨迹上两点，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A.谷粒在OA间水平方向的位移大小小于AB间水平方向的位移大小
B.谷粒在B点的速度大小是在A点时的2倍
C.谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶3
D.谷粒在B点与水平方向速度偏角正切值是在A点时的2倍
解析：CD 谷粒在空中做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，谷粒在OA间与AB间运动的时间相等，在水平方向上x＝v0t，可知谷粒在OA间水平方向的位移大小等于AB间水平方向的位移大小，故A错误；谷粒在OA间与AB间运动的时间相等，则vA＝，vB＝，谷粒在B点的速度大小小于在A点时的2倍，故B错误；谷粒在竖直方向做自由落体运动，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等，根据初速度为零的匀加速直线运动的推论可知，谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶3，故C正确；谷粒在A点与水平方向速度偏角的正切值为tan α＝，谷粒在B点与水平方向速度偏角的正切值为tan β＝，可知谷粒在B点与水平方向速度偏角正切值是在A点时的2倍，故D正确。
12.从某一高度处水平抛出一物体，它落地时速度是50 m/s，方向与水平方向成53°角（不计空气阻力，g取10 m/s2，cos 53°＝0.6，sin 53°＝0.8）。求：
（1）抛出点的高度和水平射程；
（2）抛出后3 s末的速度；
（3）抛出后3 s内的位移。
答案：（1）80 m 120 m
（2）30 m/s，与水平方向的夹角为45°
（3）45 m，与水平方向的夹角的正切值为
解析：（1）设落地时竖直方向的速度为vy，水平速度为v0，则有
vy＝vsin 53°＝50×0.8 m/s＝40 m/s
v0＝vcos 53°＝50×0.6 m/s＝30 m/s
抛出点的高度为h＝＝80 m
水平射程x＝v0t＝v0＝30× m＝120 m。
（2）竖直方向的分速度vy3＝gt3＝10×3 m/s＝30 m/s
设抛出后3 s末的速度为v3，则v3＝＝ m/s＝30 m/s
设速度方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝1，故α＝45°。
（3）抛出后3 s内物体的水平位移x3＝v0t3＝30×3 m＝90 m
竖直方向的位移y3＝g＝×10×32 m＝45 m
故抛出后物体在3 s内的位移s＝＝ m＝45 m
设位移方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝。
13.〔多选〕（2025·广东省广州市高一期中）如图所示，甲、乙两名滑板运动员在水平“U”型赛道上比赛，甲、乙先后从赛道边缘上的A点滑出，一段时间后再次滑入赛道，观察发现甲的滞空时间比乙长，运动过程中乙的最小速度比甲的最小速度大。不计空气阻力，可将运动员视为质点，则下列说法正确的是（ ）
A.甲、乙的最大腾空高度相同
B.甲从A点滑出时的初速度一定大于乙的初速度
C.甲、乙从A点滑出时的初速度方向一定不同
D.甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同
解析：CD 竖直方向先做竖直上抛运动，再做自由落体运动，运动时间具有对称性。甲的滞空时间t比乙长，根据h＝g可知，甲的最大腾空高度更大，故A错误；运动员滑出后做斜抛运动，则竖直方向vy＝，说明甲初速度的竖直分速度比乙的大。水平分速度vx即最小速度，乙的最小速度比甲的最小速度大，因为v＝，则无法确定二者初速度大小，故B错误；设滑出的速度与水平方向夹角为θ，则tan θ＝，结合选项B，甲的初速度与水平方向夹角比乙的大，故C正确；水平位移为x＝vtcos θ，结合以上分析知，甲、乙再次滑入赛道的位置可能相同，故D正确。
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