专题强化8 功能关系及其应用
1.掌握常见的功能关系，理解功与能的关系。 2.能够灵活选用功能关系，分析实际问题。 3.会计算两物体间摩擦力做功和因滑动摩擦力做功产生的热量。
强化点一 几种典型的功能关系
1.功能关系：功是能量转化的量度。
2.对功能关系的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化必须通过力做功来实现；不同的力做功，对应不同形式的能的转化。
（2）做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
3.几种常见的功能关系理解
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义
重力做功与重力势能 WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 重力做功是重力势能变化的原因 WG＞0 重力势能减少
WG＜0 重力势能增加
WG＝0 重力势能不变
弹簧弹力做功与弹性势能 W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹力做功是弹性势能变化的原因 W弹＞0 弹性势能减少
W弹＜0 弹性势能增加
W弹＝0 弹性势能不变
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义
合力做功与动能 W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk 合外力做功是物体动能变化的原因 W合＞0 动能 增加
W合＜0 动能 减少
W合＝0 动能 不变
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义
除重力或系统内弹力外其他力做功与机械能 W非G＝ΔE机 除重力或系统内弹力外其他力做功是机械能变化的原因 W非G＞0 机械能增加
W非G＜0 机械能减少
W非G＝0 机械能守恒
【例1】 （功能关系的理解）〔多选〕如图所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有（ BCD ）
A.力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量
B.木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C.力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量
D.力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
解析：木箱上升时受到重力、恒力F和阻力，根据动能定理，有WF－mgh－W阻＝ΔEk，重力势能的增加量等于木箱克服重力做的功，故A错误，B、C正确；除重力外其余力做的功等于机械能的增加量，除重力外，木箱只受力F和阻力，故D正确。
【例2】 （功能关系的应用）〔多选〕如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变。由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的竖直高度差为h，速度为v，则（ AD ）
A.小球在B点的动能小于mgh
B.由A点到B点小球重力势能减少了mv2
C.由A点到B点小球克服弹力做的功为mgh
D.小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－
解析：小球由A点到B点的过程中，重力势能减少了mgh，减少的重力势能转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，所以小球运动到B点时的动能小于mgh，故A正确，B错误；根据动能定理得mgh－W弹＝mv2，所以小球由A点至B点克服弹力做的功为W弹＝mgh－mv2，故C错误；根据弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系，可知小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－mv2，故D正确。
强化点二 摩擦力做功与热量的产生
1.系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，故没有内能产生，只有物体间机械能的转移。
2.作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于滑动过程因摩擦产生的内能，即Q＝F滑x相对，其中F滑必须是滑动摩擦力，x相对必须是两个接触面的相对滑动距离（或相对路程）。
【例3】 （摩擦力做功情况分析）（2025·江苏省无锡市高一期中）某次班级例行换座位，小明开始用与水平面夹角30°斜向上大小为F 的拉力沿直线向前拉动课桌，移动距离x后换用与水平面夹角30°斜向下大小仍为F的推力沿直线向前推动课桌，移动距离也是x，运动过程中接触面粗糙程度不变。以下判断正确的是（ B ）
A.两次摩擦力做功相同
B.两次F做功相同
C.两次摩擦产生热量相同
D.两次课桌动能变化相同
解析：两次拉力F做功相同，均为WF＝Fxcos 30°，故B正确；设课桌与接触面的动摩擦因数为μ，课桌的质量为m，则两次克服摩擦力做的功分别为Wf1＝Ff1x＝μ（mg－Fsin 30°）x，Wf2＝Ff2x＝μ（mg＋Fsin 30°）x，可知两次摩擦力做功不相同，则两次摩擦产生热量不相同，故A、C错误；根据动能定理可得WF－Wf＝ΔEk，由于两次拉力F做功相同，但两次摩擦力做功不相同，所以两次课桌动能变化不相同，故D错误。
【例4】 （滑块—滑板模型中的摩擦热问题）（2025·山东青岛高一下期末）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物体B（可看成质点）以水平速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面。由于A、B间存在摩擦力，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示。下列说法正确的是（g取10 m/s2）（ D ）
A.木板A最终获得的动能为2 J
B.系统产生的内能为4 J
C.木板A的最小长度为2 m
D.A、B间的动摩擦因数为0.1
解析：由题图乙可知，0～1 s内，A、B的加速度大小都为a＝1 m/s2，物体B和木板A水平方向均受滑动摩擦力，根据牛顿第二定律知二者质量相等，则木板最终动能为EkA＝mv2＝1 J，故A错误；系统产生的内能为ΔE＝m－×2mv2＝2 J，故B错误；题图乙可得二者相对位移为1 m，即木板A的最小长度为1 m，故C错误；对B受力分析，根据牛顿第二定律，可得μmg＝ma，解得μ＝0.1，故D正确。
【例5】 （传送带模型中的摩擦热问题）（2025·广西省贺州市高一阶段练习）如图为某建筑工地的传送装置， 传送带倾斜地固定在水平面上， 以恒定的速度v0＝2 m/s向下运动， 质量为m＝1 kg的工件无初速度地放在传送带的顶端P， 经时间t1＝0.2 s，工件的速度达到2 m/s，此后再经过t2＝1.0 s时间工件运动到Q点， 工件运动速度为v＝4 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，工件可视为质点。求：
（1）传送带与工件间的动摩擦因数μ；
答案：（1）0.5
解析：（1）工件在传送带上先加速运动，受到沿斜面向下的摩擦力，设斜面与水平面夹角为θ，有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，v0＝a1t1
速度达到2 m/s后工件继续加速，受到沿斜面向上的摩擦力，有
mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，v＝v0＋a2t2
联立可得cos θ＝，μ＝0.5。
（2）工件由P运动到Q的过程中， 因摩擦而产生的热量Q。
答案：（2）4.8 J
解析：（2）工件两次加速与传送带的相对位移分别为
x1＝v0t1－t1＝0.2 m
x2＝t2－v0t2＝1 m
因摩擦产生的热量Q＝μmgcos θ·＝4.8 J。
1.（2025·宁夏固原市高一期末）关于功能关系，下列说法正确的是（ ）
A.重力做正功，重力势能增加
B.弹力做负功，弹性势能减少
C.系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量
D.摩擦力做的功等于过程中产生的内能
解析：C 由重力做功与重力势能变化的关系可得WG＝－ΔEp，可知重力做正功，重力势能减少，A错误；由弹力做功与弹性势能变化的关系可得W弹＝－ΔEp弹，可知弹力做负功，弹性势能增加，B错误；系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量，C正确；若是滑动摩擦力做的功就可能等于过程中产生的内能和物体动能变化量之和，若是静摩擦力做功，就不会产生内能，D错误。
2.（2025·山东临沂期中）2024年10月19日，泰山盘道上出现了一道独特的爬山身影——身负重物和清运垃圾的机器狗，引发网民关注。关于机器狗运送货物向上爬山的过程中，下列说法正确的是（ ）
A.机器狗对货物的作用力大于货物对机器狗的作用力
B.机器狗对货物的作用力小于货物对机器狗的作用力
C.机器狗消耗的电能等于货物增加的机械能
D.机器狗消耗的电能大于货物增加的机械能
解析：D 机器狗对货物的作用力与货物对机器狗的作用力为一对相互作用力，二者大小是相等的，故A、B错误；机器狗运送货物向上爬山的过程中，根据能量守恒定律，可知机器狗消耗的电能等于货物与机械狗增加的机械能以及该过程中产生的所有内能之和，故C错误，D正确。
3.（2025·四川泸州高二下期末）风能是一种洁净、无污染、可再生的能源，临海括苍山山顶上建有全国第四大风力发电场，如图所示。已知该地区的风速约为6 m/s，空气密度约1.3 kg/m3，已知风力发电机的风叶叶片长度为40 m，且风能的30％可转化为电能，则一台发电机发电功率约为（ ）
A.3.6×103 W B.2.1×105 W
C.1.5×107 W D.3×109 W
解析：B 在1 s内经过叶片的空气体积为V＝Svt＝πR2vt＝3.14×402×6×1 m3＝30 144 m3，空气的质量为m＝ρV＝1.3×30 144 kg＝39 187.2 kg，空气的动能为Ek＝mv2＝×39 187.2×62 J＝705 369.6 J，风能的30％可转化为电能，则E电＝Ek×30％＝705 369.6×0.3 J＝211 610.88 J，1 s的电能就是发电功率，约为2.1×105 W。故选B。
4.〔多选〕（2025·河南周口高一下期末）如图所示，木块静止在光滑的水平面上，一子弹沿水平方向射入木块并留在其中。在此过程中，子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为L，木块对子弹的阻力大小为F。则下列说法正确的是（ ）
A.木块动能的增加量为FL
B.子弹动能的减少量为F（L＋d）
C.系统机械能的减少量为Fd
D.系统机械能的减少量为F（L＋d）
解析：ABC 子弹对木块的作用力大小为F，木块相对于地的位移为L，则子弹对木块做功为FL，根据动能定理得知，木块动能的增加量等于子弹对木块做的功，即为FL，A正确；木块对子弹的阻力做功为－F（L＋d），根据动能定理得知，子弹动能的减少量等于子弹克服阻力做功，大小为F（L＋d），B正确；子弹相对于木块的位移大小为d，则系统克服阻力做功为Fd，根据功能关系可知，系统机械能的减少量为Fd，C正确，D错误。
5.（2025·江苏省连云港市高一期中）一长木板静止于光滑水平面上，一小物块（可视为质点）从左侧以某一速度滑上木板，最终和木板相对静止一起向右做匀速直线运动。在物块从滑上木板到和木板相对静止的过程中，物块的位移是木板位移的4倍，设板块间滑动摩擦力大小不变，则（ ）
A.物块动能的减少量等于木板动能的增加量
B.摩擦力对木板做的功大于木板动能的增加量
C.因摩擦而产生的内能是木板动能增量的3倍
D.因摩擦而产生的内能等于物块克服摩擦力所做的功
解析：C 根据能量守恒定律可知，物块动能减少量等于木板动能增加量与因摩擦产生的内能之和，故A错误；根据动能定理可知，摩擦力对木板做的功等于木板动能的增加量，故B错误；设物块与木板之间的摩擦力为Ff，木板的位移为x，则物块的位移为4x；物块克服摩擦力所做的功为Wf＝Ff·4x，对木板，根据动能定理可得木板动能的增加量为ΔEk＝Ffx，因摩擦产生的内能为Q＝Ffx相＝Ff·3x，可知因摩擦而产生的内能小于物块克服摩擦力所做的功；因摩擦而产生的内能是木板动能增量的3倍，故C正确，D错误。
6.（2025·贵州省毕节市高一期末）如图，静止的水平传送带A、B两端相距8 m，一工件从A端以10 m/s的速度向左滑上传送带，其质量为1 kg，与传送带间的动摩擦因数为0.6，取g＝10 m/s2。则（ ）
A.工件到达B端时速度大小为4 m/s
B.工件从A端运动到B端的过程中产生的内能为48 J
C.若传送带顺时针转动，工件到达B端的时间将增加
D.若传送带逆时针转动，工件在传送带上一定做匀加速直线运动
解析：B 工件在传送带上做匀减速直线运动的加速度大小a＝＝6 m/s2，根据运动学公式可得－＝－2aL，解得工件到达B端时速度大小vB＝＝ m/s＝2 m/s，故A错误；工件从A端运动到B端的过程中产生的内能Q＝μmgL＝0.6×1×10×8 J＝48 J，故B正确；若传送带顺时针转动，工件从A到B仍做加速度大小为6 m/s2的匀减速直线运动，所以工件到达B端的时间不变，故C错误；若传送带逆时针转动，如果传送带速度小于工件速度，则工件在传送带上做匀减速直线运动，故D错误。
7.〔多选〕（2025·福建省厦门市高一阶段练习）如图所示，一固定斜面的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于g（g为重力加速度大小），物块上升的最大高度为H，则此过程中（ ）
A.物块的重力势能减少了mgH
B.物块的动能损失了mgH
C.物块的机械能损失了mgH
D.物块克服摩擦力做功mgH
解析：CD 物块上升，重力势能增大，增大量为mgH，A错误；根据牛顿第二定律可得物块在运动过程中所受力的合力为mg，则合力所做的功为W＝－mg·x＝－mg·＝－2mgH，根据动能定理可得物块动能减少了2mgH，B错误；物块重力势能增加了mgH，动能减少了2mgH，则机械能减小了mgH，C正确；根据功能关系，可得物块机械能的减少量等于克服摩擦力所做的功，即物块克服摩擦力做功mgH，D正确。
8.〔多选〕（2025·广东惠州高一阶段练习）如图所示，质量为m0、长度为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为Ff。经过时间t，小车运动的位移为x，物块刚好滑到小车的最右端（ ）
A.此时物块的动能为
B.这一过程中，物块对小车所做的功为Ff（x＋l）
C.这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fx
D.这一过程中，物块和小车产生的内能为Ffl
解析：AD 对物块分析，物块的位移为x＋l，根据动能定理得＝Ek－0，所以物块到达小车最右端时具有的动能为Ek ＝（F－Ff）（x＋l），故A正确；对小车分析，小车的位移为x，所以物块对小车所做的功为Ffx，故B错误；物块和小车增加的内能Q＝Ffx相对＝Ffl，故D正确；根据功能关系，外力F做的功转化为小车和物块的机械能和摩擦产生的内能，则有F（l＋x）＝ΔE＋Q，则ΔE＝F（l＋x）－Ffl，故C错误。
9.（2025·湖北武汉高二上期末）如图所示，足够长的水平传送带以速率v0＝1 m/s逆时针转动，左端与倾角θ＝37°、长L＝2 m的光滑斜面CD平滑相接，现有质量为m＝2 kg的滑块（视为质点）在传送带右端由静止释放，滑块与传送带共速后自C点处的小圆弧以大小不变的速度进入斜面，斜面底部D点与光滑地面平滑相连，滑块经过D处时速度大小不变，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力。
（1）求滑块在运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（2）求滑块从释放至第一次运动到C点过程中与传送带之间因摩擦而产生的热量。
答案：（1）25 J
（2）1 J
解析：（1）由题意可知，滑块到达C点时的速度为vC＝v0＝1 m/s，由能量守恒定律，滑块从C点到弹簧弹性势能最大时有Ep＝m＋mgLsin θ＝25 J。
（2）设滑块与传送带的滑动摩擦力为Ff，共速时间为t，滑块的位移x1＝v0t，滑块和传送带之间的相对位移x2＝v0t－v0t＝v0t，由动能定理可知，摩擦力对滑块做功Ffx1＝m，整个过程因摩擦产生的热量Q＝Ffx2＝m＝1 J。
10.（2025·福建省泉州市高一期末）如图所示，一质量m＝2 kg的滑块从离传送带高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下，槽的底端B与水平传送带相接，传送带的运行速度恒为v0＝6 m/s，两轮轴心间距L＝5 m，滑块滑到传送带上后做匀加速运动，滑到传送带右端C时，恰好加速到与传送带的速度相同，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）滑块到达B点时的速度大小；
（2）滑块最初与传送带的高度差h；
（3）此过程中，由于摩擦而产生的热量Q。
答案：（1）4 m/s
（2）0.8 m
（3）4 J
解析：（1）滑块在传送带的加速度为a＝＝μg＝2 m/s2
滑块从B点到C点，根据运动学公式－＝2aL
解得滑块到达B点时的速度大小为vB＝4 m/s。
（2）滑块从A点到B点，根据动能定理，有mgh＝m
解得滑块最初与传送带的高度差h＝0.8 m。
（3）滑块从B到C的运动时间为t＝＝1 s
传送带的位移为x＝v0t＝6 m
相对位移为Δx＝x－L＝1 m
由于摩擦而产生的热量为Q＝FfΔx＝μmgΔx＝4 J。
8 / 8专题强化8 功能关系及其应用
1.掌握常见的功能关系，理解功与能的关系。 2.能够灵活选用功能关系，分析实际问题。 3.会计算两物体间摩擦力做功和因滑动摩擦力做功产生的热量。
强化点一 几种典型的功能关系
1.功能关系：功是能量转化的量度。
2.对功能关系的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化必须通过力做功来实现；不同的力做功，对应不同形式的能的转化。
（2）做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
3.几种常见的功能关系理解
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义
重力做功与重力势能 WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 重力做功是重力势能变化的原因 WG＞0 重力势能减少
WG＜0 重力势能增加
WG＝0 重力势能不变
弹簧弹力做功与弹性势能 W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹力做功是弹性势能变化的原因 W弹＞0 弹性势能减少
W弹＜0 弹性势能增加
W弹＝0 弹性势能不变
合力做功与动能 W合＝Ek2－Ek1＝ΔEk 合外力做功是物体动能变化的原因 W合＞0 动能 增加
W合＜0 动能 减少
W合＝0 动能 不变
除重力或系统内弹力外其他力做功与机械能 W非G＝ΔE机 除重力或系统内弹力外其他力做功是机械能变化的原因 W非G＞0 机械能增加
W非G＜0 机械能减少
W非G＝0 机械能守恒
【例1】 （功能关系的理解）〔多选〕如图所示，在抗洪救灾中，
一架直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有（ ）
A.力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能的增量
B.木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C.力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能的增量
D.力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
尝试解答
【例2】 （功能关系的应用）〔多选〕
如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好无形变。由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的竖直高度差为h，速度为v，则（ ）
A.小球在B点的动能小于mgh
B.由A点到B点小球重力势能减少了mv2
C.由A点到B点小球克服弹力做的功为mgh
D.小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－
尝试解答
强化点二 摩擦力做功与热量的产生
1.系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，故没有内能产生，只有物体间机械能的转移。
2.作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于滑动过程因摩擦产生的内能，即Q＝F滑x相对，其中F滑必须是滑动摩擦力，x相对必须是两个接触面的相对滑动距离（或相对路程）。
【例3】 （摩擦力做功情况分析）（2025·江苏省无锡市高一期中）某次班级例行换座位，小明开始用与水平面夹角30°斜向上大小为F 的拉力沿直线向前拉动课桌，移动距离x后换用与水平面夹角30°斜向下大小仍为F的推力沿直线向前推动课桌，移动距离也是x，运动过程中接触面粗糙程度不变。以下判断正确的是（ ）
A.两次摩擦力做功相同
B.两次F做功相同
C.两次摩擦产生热量相同
D.两次课桌动能变化相同
尝试解答
【例4】 （滑块—滑板模型中的摩擦热问题）（2025·山东青岛高一下期末）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物体B（可看成质点）以水平速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面。由于A、B间存在摩擦力，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示。下列说法正确的是（g取10 m/s2）（ ）
A.木板A最终获得的动能为2 J
B.系统产生的内能为4 J
C.木板A的最小长度为2 m
D.A、B间的动摩擦因数为0.1
尝试解答
【例5】 （传送带模型中的摩擦热问题）（2025·广西省贺州市高一阶段练习）如图为某建筑工地的传送装置，
传送带倾斜地固定在水平面上， 以恒定的速度v0＝2 m/s向下运动， 质量为m＝1 kg的工件无初速度地放在传送带的顶端P， 经时间t1＝0.2 s，工件的速度达到2 m/s，此后再经过t2＝1.0 s时间工件运动到Q点， 工件运动速度为v＝4 m/s，重力加速度g＝10 m/s2，工件可视为质点。求：
（1）传送带与工件间的动摩擦因数μ；
（2）工件由P运动到Q的过程中， 因摩擦而产生的热量Q。
尝试解答
提示：完成课后作业 第八章 专题强化8
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