1.3不共线三点确定二次函数的表达式 课件（共26张PPT）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册

(共26张PPT)
湘教版数学9年级下册培优备精做课件1.3不共线三点确定二次函数的表达式第1章二次函数授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.探究新知
一次函数的表达式是 y = kx + b ，只要求出____和____的值， 就可以确定一次函数的表达式.
二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c （a ≠ 0 ），因此，要确定这个表达式，就需要求出___，___，___的值.
k
b
a
b
c
探究归纳
问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
一般式法求二次函数的表达式
解： 设这个二次函数的表达式是
y = ax2+bx+c，把 (-3，0)，(-1，0)，（0，-3）代入 y = ax2+bx+c 得
① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c = -3，
解得
a= -1，
b= -4，
c= -3.
∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
(表达式)
2.代：
(坐标代入)
3.解：
方程(组)
4.还原：
(写解析式)
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为 y = ax2 + bx + c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到 a，b，c 的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
例1 一个二次函数的图象经过 (0， 1)、( 2，4)、( 3，10) 三点，求这个二次函数的表达式.
典例精析
解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 ( 0， 1)，可得 c =1.
又由于其图象经过 ( 2，4)、( 3，10) 两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解得
∴所求的二次函数的表达式是
例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
（1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）；
（2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）.
解 （1）设有二次函数 y = ax2+bx+c，它的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
a + b + c= -5，
a - b+ c = 3，
4a + 2b+c = -3，
解得 a = 2，b = -4，c = -3.
因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点.
(2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M
三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组：
a + b + c = -5，
a - b + c = 3，
4a + 2b + c = -9，
解得 a =0，b = -4，c = -1.
因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点.
这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点.
问题：例 2 说明了什么？
若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.
选取顶点 (-2，1) 和点 (1，-8)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k，
把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得
y = a(x + 2)2 +1，
再把点(1，-8) 代入上式得
a(1+2)2 + 1 = -8，
解得 a = -1.
∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1
或 y = -x2 - 4x -3.
利用顶点式求二次函数的表达式
典例精析
例2 一个二次函数的图象经点 ( 0， 1)，它的顶点坐标为( 8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为( 8，9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.
又由于它的图象经过点(0 ，1)，可得 1 = a(0 -8)2 + 9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
归纳总结
顶点法求二次函数表达式的方法
这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是 y = a(x - h)2 + k；
②先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
解：因为 ( -3，0)、( -1，0) 是抛物线 y = ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是
y = a(x - x1)(x - x2). (其中x1、x2为交点的横坐标)
因此得
y = a(x + 3)( x + 1).
选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
利用交点式求二次函数的表达式
解得 a = -1，
再把点( 0，-3)代入上式得
所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3，
所以所求的二次函数的表达式是
y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是 y = a(x - x1)(x - x2)；
②先把两交点的横坐标 x1，x2 代入，得到关于 a 的一元
一次方程；
③将另一坐标的点代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(1，－1)，(2，－4)，(0，4)三点，那么它的对称轴是直线(　　)
A．x＝－3 B．x＝－1
C．x＝1 D．x＝3
返回
D
2．已知一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x … －4 －2 0 3 5 …
y … －24 －8 0 －3 －15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是(　　)
A．图象的开口向上
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象经过第二、三、四象限
D．图象的对称轴是直线x＝1
返回
B
4. 据科学计算，“长征二号”F运载火箭在点火后第一秒通过的路程为2 km，第二秒时共通过了6 km的路程，第三秒时共通过了12 km的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面240 km的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是(　　)
A．10 s B．13 s C．15 s D．20 s
5. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点A(2，0)，B(－1，0)，且与y轴交于点C.若OC＝2，则y的取值范围是____________．
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6．已知直线y＝－x＋5与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，顶点为P.
(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
(2)若将该二次函数的图象先向右平移m个单位，再向下平移m个单位(m>0)，平移后的抛物线过点C(2，3)，求m的值．
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根据题意，得平移后的抛物线的表达式为
y＝－(x－2－m)2＋9－m，
将点C(2，3)的坐标代入上式，得
－(2－2－m)2＋9－m＝3，解得m1＝－3，m2＝2.
又∵m＞0，∴m＝2.
课堂小结
求二次函数解析式的三种表达式的形式.
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c.
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为 y=a(x-h)2+k.
(3)已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)可设二次函数解析式为 y = a(x-x1)(x-x2).