1.4 二次函数与一元二次方程的联系 课件（共30张PPT）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册

(共30张PPT)
湘教版数学9年级下册培优备精做课件1.4二次函数与一元二次方程的联系第1章二次函数授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.探究新知
画出二次函数 y = x2– 2x – 3 的图象， 你能从图象中看出它与 x 轴的交点吗？二次函数 y = x2– 2x – 3 与一元二次方程 x2– 2x – 3 ＝ 0 有怎样的关系？
y = x2– 2x – 3
二次函数 y = x2- 2x - 3的图象与 x 轴的交点坐标分别是（-1，0），（3，0）.
当 x ＝ -1 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说，x ＝ -1是一元二次方程
x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根.
同理， 当 x ＝ 3 时， y ＝ 0 ， 即 x2 - 2x - 3 ＝ 0 ， 也就是说， x ＝ 3 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 ＝ 0 的一个根.
y = x2– 2x – 3
一般地， 如果二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），那么一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 有两个不相等的实根 x ＝ x1， x ＝ x2.
观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况.
y = x2- 6x + 9
y = x2- 2x + 2
观察二次函数 y = x2- 6x + 9 ， y = x2- 2x + 2 的图象，分别说出一元二次方程 x2- 6x + 9 ＝0 和 x2- 2x + 2＝0 的根的情况.
y = x2- 6x + 9
y = x2- 2x + 2
说一说，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的位置关系有几种？
有两个不同的交点
有两个重合的交点
没有交点
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和 x 轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系
ax2+bx+c = 0 的根
抛物线 y=ax2+bx+c与x轴
△= b2 – 4ac
有两个不同实根
有两个相同实根
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
△ > 0
△ = 0
△ < 0
求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）．
分析 一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根就是抛物线 y ＝ x2 － 2x－ 1 与 x 轴的交点的横坐标． 因此我们可以先画出这条抛物线， 然后从图象上找出它与 x 轴的交点的横坐标． 这种解一元二次方程的方法叫作图象法．
【教材P25页】
求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）．
通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 0.4 或 2.4， 即一元二次方程 x2 - 2x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 0.4， x2 ≈ 2.4．
【教材P25页】
求一元二次方程 x2 － 2x － 1 ＝ 0 的根的近似值（精确到0.1）．
我们还可以借助计算器来分析所求方程的实数根. 将二次函数
y = x2 -2x - 1 在 -1 至 0 范围内的部分 x 值所对应的 y 值列表如下：
【教材P25页】
如图，李东在扔铅球时， 铅球沿抛物线 运行，其中 x 是铅球离初始位置的水平距离， y 是铅球离地面的高度.
（1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？
（2） 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m， 它离初始位置的水平距离是多少？
（3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？
【教材P26页】
（1） 当铅球离地面的高度为 2.1 m 时， 它离初始位置的水平距离是多少？
解（1） 由抛物线的表达式得
即 x2 - 6x + 5 = 0 ，
解得 x1 = 1， x2 = 5.
即当铅球离地面的高度为2.1 m时，
它离初始位置的水平距离是1 m或5 m.
（2） 铅球离地面的高度能否达到 2.5 m， 它离初始位置的水平距离是多少？
（2） 由抛物线的表达式得
即 x2 - 6x + 9 = 0 ，
解得 x1 = x2 = 3.
即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，
它离初始位置的水平距离是 3 m.
（3） 铅球离地面的高度能否达到 3 m？ 为什么？
（3） 由抛物线的表达式得
即 x2 - 6x + 14 = 0 ，
因为 Δ = （-6）2 - 4×1×14
= -20 < 0,
所以方程无实数根.
所以铅球离地面的高度不能达到 3 m.
练习
1.试判断下列抛物线与 x 轴的交点情况：
（1） y ＝ x2 － x － 2 ； （2） y ＝ 9x2 ＋ 12x ＋ 4 ；
（3） y ＝ x2 － 2x ＋ 3 ．
解：（1） x2 － x － 2 = 0，Δ =（-1）2-4×1×（-2）= 9 > 0
与 x 轴有两个不同的交点.
（2） 9x2 +12 x + 4 = 0，Δ =（12）2-4×9×4= 0
与 x 轴有一个交点.
（3） x2 -2 x + 3 = 0，Δ =（-2）2-4×1×3= -8 < 0
与 x 轴没有交点.
【教材P27页】
2. 用图象法求一元二次方程 x2＋ x － 1 ＝ 0 的根的
近似值（精确到 0.1）．
y = x2＋ x － 1
通过观察或测量， 可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－ 1.6 或 0.6， 即一元二次方程 x2 + x - 1 = 0 的实数根为 x1≈ - 1.6， x2 ≈ 0.6．
【教材P27页】
3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程. 如图，已知 刻画了该公司年初以来累积利润 y （万元）与销售时间 x（月份）之间的关系. 试根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）该公司亏损期是几个月？几月末开始赢利？
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；
（3）该公司第 8 月末所获利润是多少？
（1）亏损期数是 4 个月，4月末开始盈利.
（2）10月末累积利润可达到 30 万元.
（3）第 8 月末利润是 16 万元.
【教材P27页】
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B
1．若关于x的一元二次方程a(x＋m)2－2＝0的两个根为x1＝－2，x2＝4，则二次函数y＝2(x＋m－3)2－2的图象的对称轴为(　　)
A．直线x＝－4 B．直线x＝4
C．直线x＝1 D．直线x＝－1
2．下表是二次函数y＝x2－4x＋c的自变量x与函数值y的若干组对应值：
则下面是关于x的方程x2－4x＋c＝0的一个近似根(精确到0.1)的是(　　)
A．3.0　 B．3.1 C．3.2 D．3.3
C
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x … 0.7 0.8 0.9 1.0 …
y … 0.30 0.05 －0.18 －0.39 …
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D
5. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2(x1＜x2)，关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4(x3＜x4)，则x1，x2，x3，x4的大小关系为___________．(用“<”连接)
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x11，0，－1，2
8．已知抛物线y＝x2－(m＋n)x＋4m经过定点(4，8)，且当x取任意实数时，y的值始终为正数，则m 的取值范围为________________．
9. 现定义：对于一个数a，我们把{a}称为a的“邻一数”，若a≥0，则{a}＝a－1；若a＜0，则{a}＝a＋1.例如：{1}＝1－1＝0，{－0.5}＝－0.5＋1＝0.5.已知函数y＝{－x2－3}＋3{|x|＋3}，当直线y＝x＋b与该函数的图象有4个交点时，b的取值范围是(　　)
A．4≤b＜5 B．4＜b＜5
C．4≤b≤5 D．b＞4
10．[2025武汉江夏区月考]已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(－2，0)．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝p(p＜0)有整数解，则p的值有(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．[2025遂宁]如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴的交点坐标是(0，m)，且2课堂小结
抛物线 y = ax2 + bx + c 一元二次方程 ax2 + bx + c=0(a≠0) 根的情况 b2-4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
无公共点
无实数根
b2-4ac<0