1.5.1 抛物线形二次函数 课件（共22张PPT）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 1.5.1 抛物线形二次函数 课件（共22张PPT）--2025-2026学年湘教版九年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
湘教版数学9年级下册培优备精做课件1.5.1抛物线形二次函数第1章二次函数授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：. 白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的拱桥，它的纵截面是抛物线的一部分，跨度是 4.9 m，当水面宽是 4 m 时，拱顶离水面 2 m．现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
你能想出办法来吗？
探究
拱桥问题
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
已知水面宽 4 m 时，
拱顶离水面高 2 米，
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，由此得出
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
如何确定 a 是多少？
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
解得
由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是：
水面宽 3 m 时， 从而
因此拱顶离水面高 1.125 m.
现在你能求出水面宽 3 m时，拱顶离水面高多少吗？
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
典例精析
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A 点坐标为( 0，1.25 )，顶点 B 坐标为( 1，2.25 ).
数学化
● B( 1 , 2.25)
(0,1.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为(2.5，0) ；
同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) .
设抛物线为 y = a( x + h )2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y =－ ( x - 1)2 + 2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
运动中的抛物线及其他实物型抛物线问题
例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
典例精析
解：如图，建立直角坐标系.
则点 A 的坐标是( 1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B ( 0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a = －0.2，
k = 3.5，
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = a(x - 0)2 +k ，
即 y = ax2 + k.而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5时，y = 2.25 .
故该运动员出手时的高度为 2.25 m.
2.25a+k = 3.05，
k=3.5，
x
y
O
练习
如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高150 m， 主塔之间的距离为900 m， 试建立适当的直角坐标系， 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
设二次函数表达式为 y = ax2
A（450,150）
解得
所以 ，-450≤x≤450
【教材P31页】
【点拨】∵AB∥x轴，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝
2 cm，且B，D关于y轴对称，∴点B的坐标为(－1，1)，点D的坐标为(1，1)．∵AB∥x轴，最低点C在x轴上，∴A，B关于直线CH对称．又∵AB＝4 cm，∴易得左边抛物线的顶点C的坐标为(－3，0)．∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3，0)．
返回
【答案】 B
2. 某水利工程公司开挖的池塘，蓄水之后截面呈抛物线形，如图所示，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)．
建立二次实际问题的一般步骤:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
课堂小结
湘教版数学9年级下册培优备精做课件1.5.1抛物线形二次函数第1章二次函数授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：. 白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的拱桥，它的纵截面是抛物线的一部分，跨度是 4.9 m，当水面宽是 4 m 时，拱顶离水面 2 m．现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
你能想出办法来吗？
探究
拱桥问题
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
已知水面宽 4 m 时，
拱顶离水面高 2 米，
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，由此得出
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
如何确定 a 是多少？
因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
解得
由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是：
水面宽 3 m 时， 从而
因此拱顶离水面高 1.125 m.
现在你能求出水面宽 3 m时，拱顶离水面高多少吗？
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
典例精析
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得，A 点坐标为( 0，1.25 )，顶点 B 坐标为( 1，2.25 ).
数学化
● B( 1 , 2.25)
(0,1.25)
●
C
●
D
o
A
x
y
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为(2.5，0) ；
同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) .
设抛物线为 y = a( x + h )2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y =－ ( x - 1)2 + 2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
●
D
o
A
x
y
●
C
运动中的抛物线及其他实物型抛物线问题
例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m(水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
典例精析
解：如图，建立直角坐标系.
则点 A 的坐标是( 1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B ( 0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
解得
a = －0.2，
k = 3.5，
设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = a(x - 0)2 +k ，
即 y = ax2 + k.而点 A，B 在这条抛物线上，所以有
所以该抛物线的表达式为 y =－0.2x2 + 3.5.
当 x = －2.5时，y = 2.25 .
故该运动员出手时的高度为 2.25 m.
2.25a+k = 3.05，
k=3.5，
x
y
O
练习
如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图， 已知悬索桥两端主塔高150 m， 主塔之间的距离为900 m， 试建立适当的直角坐标系， 求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
设二次函数表达式为 y = ax2
A（450,150）
解得
所以 ，-450≤x≤450
【教材P31页】
【点拨】∵AB∥x轴，CH⊥AB且CH＝1 cm，BD＝
2 cm，且B，D关于y轴对称，∴点B的坐标为(－1，1)，点D的坐标为(1，1)．∵AB∥x轴，最低点C在x轴上，∴A，B关于直线CH对称．又∵AB＝4 cm，∴易得左边抛物线的顶点C的坐标为(－3，0)．∴右边抛物线的顶点F的坐标为(3，0)．
返回
【答案】 B
2. 某水利工程公司开挖的池塘，蓄水之后截面呈抛物线形，如图所示，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m)．
建立二次实际问题的一般步骤:
(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.
(2)把已知条件转化为点的坐标.
(3)合理设出函数解析式.
(4)利用待定系数法求出函数解析式.
(5)根据求得的解析式进一步分析,判断并进行有关的计算.
课堂小结