2.3垂径定理 课件（共22张PPT）--2025-2026学年湘教版（新教材）九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 2.3垂径定理 课件（共22张PPT）--2025-2026学年湘教版（新教材）九年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.3垂径定理第2章圆授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.问题引入
问题1 圆是轴对称图形吗？
问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形
其对称轴是直径所在的直线 无数条
问题3：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE， 与 ，
与 分别相等吗？
因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合， ，
分别与 , 重合， 即
AE = BE ， , .
你能试着证明这个结论吗？
连接 OA，OB.
∵ OA = OB，
∴ △OAB 是等腰三角形.
∵ OE ⊥ AB，
∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD.
从而∠AOC =∠BOC.
∴ ，
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧.
如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.
解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）.
∵ CD⊥AB，
由垂径定理得
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得
OA2 ＝ OE2 + AE2.
即 r2 ＝ （r-2）2 + 42.
解得 r ＝ 5 .
∴ CD = 2r = 10 （cm）.
【教材P59页】
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行．
求证：
证明： 作直径 EF⊥ AB，
∴ .
又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ，
∴ EF ⊥ CD.
∴ .
因此 .
即 .
【教材P59页】
即BD= BC
Rt△ABC中，
AB = 10cm，AC = 8cm；
由勾股定理，得：
BC=6cm；
∴ BD= BC=3cm．
如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长.
练习
解 ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OD⊥BC，
∴OD∥AC，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线
【教材P59页】
【教材P60】
水管中心到水面的高度为
水深为 25-15＝10 （cm）.
答：此时水的深度是10cm。
【教材P60】
证明 过点 O 作 OE⊥CD，
则AE＝BE， CE＝DE.
∴ AE-CE＝BE-DE，
即 AC ＝BD.
E
【教材P60】
解 如图，用 表示桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 r，经过圆心 O 作弦 AB 的垂线， D 为垂足，OC 与 相交于点 C， 则 D 是 AB 的中点， CD为拱高.
在 Rt△ADO 中，r2＝18.72 + (r-7.2)2，
解得 r ≈ 27.9（m）.
答：桥拱的半径是27.9m。
【教材P60】
解 如图，过点 O 作 OD⊥AB，连接 OB， OC. 设小圆的半径为 r，大圆的半径为 R，则
在 Rt△ODB 中， OD2 + 22 = r2，
在 Rt△ODC 中， OD2+32= R2，
∴ 圆环面积 S＝πR2-πr2＝π（32-22） ＝ 5π.
【教材P60】
解 连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线， 交 于点 C， 所以 C 点为 的中点.
理由是： 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.
A
B
C
返回
A
1． 下列命题正确的有( )
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；
②垂直于弦的直线平分弦；
③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；
④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；
⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是( )
A．61°
B．63°
C．65°
D．67°
B
返回
返回
D
4. 如图， AB是 ⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OB＝5，OC＝3，则 AP的长可能是______________．(写出一个符合条件的数值即可)
5(答案不唯一)
返回
5．[2025首师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C.若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________．
(8，0)
6. ⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________．
7或1
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:① 过圆心；② 垂直于弦； ③ 平分弦（不是直径）; ④ 平分弦所对的优弧;⑤ 平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）.
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.3垂径定理第2章圆授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.问题引入
问题1 圆是轴对称图形吗？
问题2 它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
圆是轴对称图形
其对称轴是直径所在的直线 无数条
问题3：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE， 与 ，
与 分别相等吗？
因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合， ，
分别与 , 重合， 即
AE = BE ， , .
你能试着证明这个结论吗？
连接 OA，OB.
∵ OA = OB，
∴ △OAB 是等腰三角形.
∵ OE ⊥ AB，
∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD.
从而∠AOC =∠BOC.
∴ ，
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧.
如图，弦AB = 8 cm，CD是⊙O 的直径，CD⊥AB， 垂足为 E，DE ＝ 2 cm，求⊙O 的直径 CD 的长.
解 连接 OA. 设 OA = r cm， 则 OE ＝ r - 2 （cm）.
∵ CD⊥AB，
由垂径定理得
在 Rt△AEO 中， 由勾股定理得
OA2 ＝ OE2 + AE2.
即 r2 ＝ （r-2）2 + 42.
解得 r ＝ 5 .
∴ CD = 2r = 10 （cm）.
【教材P59页】
证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．
已知：如图， 在⊙O 中，弦 AB 与弦 CD 平行．
求证：
证明： 作直径 EF⊥ AB，
∴ .
又∵AB∥CD， EF ⊥ AB ，
∴ EF ⊥ CD.
∴ .
因此 .
即 .
【教材P59页】
即BD= BC
Rt△ABC中，
AB = 10cm，AC = 8cm；
由勾股定理，得：
BC=6cm；
∴ BD= BC=3cm．
如图， AB 是⊙O 的直径， C 是⊙O上一点，AC ＝ 8 cm， AB ＝ 10 cm， OD⊥BC于点 D， 求 BD 的长.
练习
解 ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OD⊥BC，
∴OD∥AC，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线
【教材P59页】
【教材P60】
水管中心到水面的高度为
水深为 25-15＝10 （cm）.
答：此时水的深度是10cm。
【教材P60】
证明 过点 O 作 OE⊥CD，
则AE＝BE， CE＝DE.
∴ AE-CE＝BE-DE，
即 AC ＝BD.
E
【教材P60】
解 如图，用 表示桥拱，设 所在圆的圆心为 O，半径为 r，经过圆心 O 作弦 AB 的垂线， D 为垂足，OC 与 相交于点 C， 则 D 是 AB 的中点， CD为拱高.
在 Rt△ADO 中，r2＝18.72 + (r-7.2)2，
解得 r ≈ 27.9（m）.
答：桥拱的半径是27.9m。
【教材P60】
解 如图，过点 O 作 OD⊥AB，连接 OB， OC. 设小圆的半径为 r，大圆的半径为 R，则
在 Rt△ODB 中， OD2 + 22 = r2，
在 Rt△ODC 中， OD2+32= R2，
∴ 圆环面积 S＝πR2-πr2＝π（32-22） ＝ 5π.
【教材P60】
解 连接 AB，作线段 AB 的垂直平分线， 交 于点 C， 所以 C 点为 的中点.
理由是： 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.
A
B
C
返回
A
1． 下列命题正确的有( )
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；
②垂直于弦的直线平分弦；
③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；
④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；
⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是( )
A．61°
B．63°
C．65°
D．67°
B
返回
返回
D
4. 如图， AB是 ⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OB＝5，OC＝3，则 AP的长可能是______________．(写出一个符合条件的数值即可)
5(答案不唯一)
返回
5．[2025首师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C.若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________．
(8，0)
6. ⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________．
7或1
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:① 过圆心；② 垂直于弦； ③ 平分弦（不是直径）; ④ 平分弦所对的优弧;⑤ 平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）.
垂直于弦的直径平分这条弦,
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造 Rt△ 利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形