2.5.3 切线长定理 课件（共23张PPT）--2025-2026学年湘教版（新教材）九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 2.5.3 切线长定理 课件（共23张PPT）--2025-2026学年湘教版（新教材）九年级数学下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 11.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.5.3切线长定理第2章圆授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.
问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点 P 作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法(如右下图所示)！
直径所对的圆周角是直角.
复习引入
P
O
O.
P
B
A
A
B
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
切线长的定义
如图, 过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的切线 , 回答问题:
（1）可作几条切线？
（2）作切线的依据是什么？
①连 OP.
②以 OP 为直径作圆，交⊙O于点 A、B.
③作直线 PA，PB.
由 OP 为直径,可得 OA⊥PA, OB⊥ PB,由切线判定定理知: PA、PB 为⊙O 的两条切线.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.
线段 PA，PB 的长度是点 P 到⊙O 的切线长.
在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？
点击打开
在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？
把图形沿直线 OP 对折后，线段 PA 与线段 PB 重合，∠APO 与∠BPO 重合.
即 PA＝ PB，
∠APO＝∠BPO.
由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
你能试着证明这个猜测吗？
如图，连接 OA，OB.
∵ PA，PB 是⊙O 的切线，
∴ ∠PAO =∠PBO = 90°，
即△PAO 和△PBO 均为直角三角形.
又∵ OA = OB，
OP = OP，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
切线长定理
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
分析：连接 AB，因为 AD 为直径， 那么 ∠ABD ＝ 90°， 即 BD⊥ AB.
因此要证 CO∥BD，
只要证 CO⊥AB 即可.
如图，AD是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点，CA 和 CB 是⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.
求证：CO∥BD.
【教材P71页】
证明 连接 AB.
∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B 为切点，
∴ CA = CB，∠ACO =∠BCO.
∴ CO⊥AB.
∵ AD 是⊙O 的直径，
∴ ∠ABD ＝ 90°，
即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD.
如图，AD是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点，CA 和 CB 是⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.
求证：CO∥BD.
【教材P71页】
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1. 切线和圆只有一个公共点；
2. 切线和圆心的距离等于圆的半径；
3. 切线垂直于过切点的半径；
4. 经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5. 经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
六个
练习
如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD，AB， BC 相切，切点分别为 D，E，C. 设半圆 O 的半径为2， AB为 5，求四边形 ABCD 的周长.
解：连接EO
∵四边形ABCD的边AD，AB，BC，分别与圆O相切与D，E，C，
∴ AE=AD，BE=BC，
∴ AE+BE=AD+BC=AB=5.
∴ 四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=14.
【教材P72页】
2. 如图，已知 PA，PB 是⊙O 的两条切线，点 A，B
为切点， 若 OP ＝ 4，PA ＝ ，求∠AOB 的度数.
解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴ ∠PAO =∠PBO = 90°，PA=PB，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.
∴ ∠AOP =∠BOP，
∵ OP ＝ 4，PA ＝ ，
∴ AO=2.
∴∠AOP=60°
∴∠AOB=120°
【教材P72页】
1．如图，已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中错误的是( )
A．∠1＝∠2
B．PA＝PB
C．AB⊥OP
D．AB平分OP
返回
D
2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝( )
A．56°
B．60°
C．68°
D．70°
C
返回
3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8
B．12
C．16
D．20
【点拨】 ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED.∴PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋BD＋
PD＝PA＋PB＝8＋8＝16，即△PCD的周长为16.
返回
【答案】 C
4．将刻度尺、含60°角的直角三角尺和量角器如图摆放(无重叠部分)，若三角尺60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5 cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是7 cm，量角器与三角尺的接触点为B.
该量角器的直径长为________cm.
(结果保留根号)
返回
5. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．四面开门，门外纵横各有十字大道……其东南十字道头定为巽地……或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，已知AC＝48步，BC＝90步，AB与⊙O相切于点D，CA，CB分别与⊙O相切于点E，F，求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是________步．
120
切线长
切线长定理
作用
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
内容
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点
之间的线段的长.
湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.5.3切线长定理第2章圆授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.
问题1 通过前面的学习，我们了解到如何过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
问题2 过圆外一点 P 作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法(如右下图所示)！
直径所对的圆周角是直角.
复习引入
P
O
O.
P
B
A
A
B
P
1. 切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
切线长的定义
如图, 过 ⊙O 外一点 P 作 ⊙O 的切线 , 回答问题:
（1）可作几条切线？
（2）作切线的依据是什么？
①连 OP.
②以 OP 为直径作圆，交⊙O于点 A、B.
③作直线 PA，PB.
由 OP 为直径,可得 OA⊥PA, OB⊥ PB,由切线判定定理知: PA、PB 为⊙O 的两条切线.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长.
线段 PA，PB 的长度是点 P 到⊙O 的切线长.
在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？
点击打开
在透明纸上画出下图，设PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 是切点，沿直线 OP 将图形对折，你发现了什么？
把图形沿直线 OP 对折后，线段 PA 与线段 PB 重合，∠APO 与∠BPO 重合.
即 PA＝ PB，
∠APO＝∠BPO.
由此我们猜测：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
你能试着证明这个猜测吗？
如图，连接 OA，OB.
∵ PA，PB 是⊙O 的切线，
∴ ∠PAO =∠PBO = 90°，
即△PAO 和△PBO 均为直角三角形.
又∵ OA = OB，
OP = OP，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
切线长定理
过圆外一点所作的圆的两条切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
分析：连接 AB，因为 AD 为直径， 那么 ∠ABD ＝ 90°， 即 BD⊥ AB.
因此要证 CO∥BD，
只要证 CO⊥AB 即可.
如图，AD是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点，CA 和 CB 是⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.
求证：CO∥BD.
【教材P71页】
证明 连接 AB.
∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B 为切点，
∴ CA = CB，∠ACO =∠BCO.
∴ CO⊥AB.
∵ AD 是⊙O 的直径，
∴ ∠ABD ＝ 90°，
即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD.
如图，AD是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点，CA 和 CB 是⊙O 的切线，A 和 B 是切点，连接 BD.
求证：CO∥BD.
【教材P71页】
我们学过的切线，常有 五个 性质：
1. 切线和圆只有一个公共点；
2. 切线和圆心的距离等于圆的半径；
3. 切线垂直于过切点的半径；
4. 经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5. 经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
六个
练习
如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD，AB， BC 相切，切点分别为 D，E，C. 设半圆 O 的半径为2， AB为 5，求四边形 ABCD 的周长.
解：连接EO
∵四边形ABCD的边AD，AB，BC，分别与圆O相切与D，E，C，
∴ AE=AD，BE=BC，
∴ AE+BE=AD+BC=AB=5.
∴ 四边形ABCD的周长=AD+BC+AB+CD=14.
【教材P72页】
2. 如图，已知 PA，PB 是⊙O 的两条切线，点 A，B
为切点， 若 OP ＝ 4，PA ＝ ，求∠AOB 的度数.
解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴ ∠PAO =∠PBO = 90°，PA=PB，
∴ Rt△PAO≌Rt△PBO.
∴ ∠AOP =∠BOP，
∵ OP ＝ 4，PA ＝ ，
∴ AO=2.
∴∠AOP=60°
∴∠AOB=120°
【教材P72页】
1．如图，已知PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，下列结论中错误的是( )
A．∠1＝∠2
B．PA＝PB
C．AB⊥OP
D．AB平分OP
返回
D
2．如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝( )
A．56°
B．60°
C．68°
D．70°
C
返回
3．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8
B．12
C．16
D．20
【点拨】 ∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED.∴PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋AC＋BD＋
PD＝PA＋PB＝8＋8＝16，即△PCD的周长为16.
返回
【答案】 C
4．将刻度尺、含60°角的直角三角尺和量角器如图摆放(无重叠部分)，若三角尺60°角的顶点A在刻度尺上的读数是5 cm，量角器与刻度尺接触点在刻度尺上的读数是7 cm，量角器与三角尺的接触点为B.
该量角器的直径长为________cm.
(结果保留根号)
返回
5. 我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．四面开门，门外纵横各有十字大道……其东南十字道头定为巽地……或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：
如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，已知AC＝48步，BC＝90步，AB与⊙O相切于点D，CA，CB分别与⊙O相切于点E，F，求⊙O的半径．根据题意，⊙O的半径是________步．
120
切线长
切线长定理
作用
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
内容
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点
之间的线段的长.