2.5.4 三角形的内切圆 课件（共32张PPT）--2025-2026学年湘教版（新教材）九年级数学下册

(共32张PPT)
湘教版（新教材）数学9年级下册培优备精做课件2.5.4三角形的内切圆第2章圆授课教师：Home .班级：九年级（---）班.时间：.情境引入
如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？下面有四种方案，请选择最佳方案.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
方案一
方案二
方案三
方案四
√
合作探究
猜想：方案二中的这个圆应当与三角形的三条边都相________.
A
B
C
方案二
切
∟
∟
∟
O
三角形的内切圆
画一个圆关键是定圆心和半径，如何画一个圆与三角形的三条边都相切？
如果这个圆与△ABC的三条边都相切，那么圆心 O 到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等.
半径
A
B
C
Ｅ
∟
∟
∟
O
Ｄ
Ｆ
到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心 O 是∠A 的__________与∠B的___________的___点.
平分线
平分线
交
A
B
C
Ｅ
∟
∟
∟
O
Ｄ
Ｆ
与三角形的三条边都相切的圆存在吗？ 若存在， 如何画出这样的圆？
如图，已知△ABC.
求作：与△ABC 的各边都相切的圆.
作法：（1）作∠A，∠B 的平分线AD，BE，
它们相交于点 O；
（2）过点 O 作 AB 的垂线，垂足为 M；
（3）以点 O 为圆心，OM 为半径作圆．
⊙O 就是所求作的圆.
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
内切圆的圆心叫作三角形的内心.
这个三角形叫作圆的外切三角形.
设点 O 是△ABC 的内心，由于 AB，BC，CA 都与⊙O 相切，
因此圆心 O 到 AB，BC，CA 的距离都等于圆的半径. 从而圆心 O 在△ABC 的每个内角的平分线上. 由此得出：三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.
如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，∠A = 70°，求∠BOC的度数.
解: ∵ ∠A = 70°，
∴ ∠ABC +∠ACB = 180° -∠A = 110°.
∵ ⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴ BO，CO 分别是∠ABC与∠ACB 的平分线，
即∠1 = ∠ABC， ∠2 = ∠ACB.
∴ ∠BOC = 180°-（∠1 +∠2） = 180°- （∠ABC+∠ACB）
= 180°- × 110°
= 125°.
【教材P74页】
练习
任画一个三角形，求作它的内切圆.
【教材P74页】
2. 如图，△ABC 的内切圆的三个切点分别为D，E，F，
∠A＝ 74°，∠B ＝ 47°，求圆心角∠EOF 的度数．
【教材P74页】
解：∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，
∴ OF⊥AC，OE⊥BC，OD⊥AB，
∴∠OEC=∠OFC=90°.
∵∠A＝ 74°，∠B＝ 47°，
∴∠C=59°，
∴∠EOF = 121°.
3. 已知等边三角形 ABC 的边长为 a， 求它的内切
圆的半径．
【教材P74页】
解：如图，⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，连接OB， OC，则∠OBC＝ ∠B＝30°，∠OCB＝ ∠C＝30°.
设BC 边与⊙O 的切点为D，连接OD，则OD⊥BC，且OD 为内切圆的半径.
在Rt△OBD 与Rt△OCD 中，
∴ BD＝DC， 即 DC＝
即内切圆的半径长为
【教材75】
解 ⊙O 的半径为 5 cm
（1） 两个公共点；
（2） 一个公共点；
（3） 没有公共点
【教材75】
解 ∵ AB 是⊙O 的直径，△ABC 内接于⊙O，
∴∠C = 90°， ∠A+∠CBA = 90°.
又∵ ∠CBM = ∠A，
∴ ∠CBM+∠CBA＝ 90°，即 AB⊥ MN.
又∵ OB 是⊙O 的半径， 直线 MN 经过点 B，
∴ MN是⊙O 的切线.
【教材75】
证明 连接 BC.
∵ OC＝OB， ∠COB=60°，
∴ △OBC 为等边三角形.
∴∠OBC＝∠OCB＝60°， BC＝OC.
又∵ OC＝CA，
∴ BC＝CA. ∴ ∠CBA＝30°.
∴ ∠OBA＝90°， 即 OB⊥BA.
又∵ OB 为⊙O 的半径， 且 AB 经过点 B，
∴ AB 是⊙O 的切线.
【教材75】
解 ∵ BC 与⊙O 相切于点 B，
OB 是半径，
∴ OB⊥BC， 即∠OBC＝90°.
∵∠ABC＝70°，
∴∠OBA＝20°.
又∵ OA＝OB，
∴ ∠A＝∠OBA＝20°.
【教材75】
解 连接 OA，OB.
∵ OA， OB 为⊙O 的半径，PA，PB 为⊙O 的切线，点 A，B 为切点，
∴ OA⊥AP，OB⊥BP，OA＝OB＝3 cm.
在 Rt△OPA 中， sin∠OPA＝ ，
∴ ∠OPA＝30°.
∴ cos30°＝ ，得 PA＝OP·cos30°＝ cm.
同理， ∠OPB＝30°， PB ＝ cm .
【教材75】
解 ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D，E，F，
∴由切线长定理得： AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.
∴ BD + CF ＝ BE + CE ＝ BC，
即 L△ABC＝ 2AF + 2BC ＝ 9+6+5
∴ AF＝4.
【教材75】
已知： 如图，⊙O 是等腰三角形ABC 的内切圆，AB＝AC，⊙O与BC 边相切于点 D，求证：BD=CD.
证明： 连接OB，OC，OD，则OD⊥BC，
由内切圆性质可知OB，OC分别平分∠B， ∠C，
又∠B＝∠C，
∴ ∠OBD＝∠OCD＝α，
【教材76】
解 如图，设⊙O 与△ABC 相切于点 D，E，F，
连接OD，OE，OF，因此OD⊥AB，OE⊥BC，
OF⊥AC，且OD＝OE＝OF＝r.
连接 OA，OB，OC，
则 S△ABC ＝ S△OBC + S△OBA + S△OAC
＝ AB·OD + BC·OE + AC·OF
＝ (AB+BC+AC)·r = lr
证明 作△OAB 底边上的高 OD，D 为垂足，由等腰三角形的性质知 D 也为 AB 的中点，即 AD ＝ 4 cm.
在 Rt△OAD 中，OA＝ 5 cm，AD＝ 4 cm，
∴ OD ＝ 3 cm.
而⊙O 的直径为 6 cm， 即 OD 为⊙O 的半径，
∴ AB 所在的直线与⊙O 相切.
【教材76】
D
【教材76】
（1）如图，已知 l1，l2 是⊙O 的两条平行切线，
设 l1 与⊙O 的切点为 A，连接 AO，并延长交 l2于 B.
∵ OA⊥l1， l1∥l2，
∴ OA⊥l2， 则 OB⊥l2.
又∵ l2与⊙O 相切，由过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则 l2与⊙O 的切点为点 B，因此 AB 为⊙O 的直径.
【教材76】
解 （1） ∵ DC， DA 分别为⊙O 的切线，
∴ DC＝DA. 同理，EC＝EB.
∴ △PDE 的周长= DC +EC +PE +PD =（DA +PD）+（EB+PE）=PA+PB = 8（cm）.
（2） 连接OA， OB， OC.
在四边形 PBOA中，
∠P＝40°，∠A＝∠B＝90°,
∴ ∠BOA = 360°-40°-2×90°＝140°.
易证△OAD ≌△OCD （SSS），
∴ ∠AOD =∠COD. 同理， ∠COE=∠BOE.
∴∠DOE =∠COD+∠COE = ∠AOC + ∠BOC
= ∠AOB = 70°.
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C
1．下列说法错误的是(　　)
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2. 某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，现要在绿地ABC内建一个休息点O，使它到AB，BC，AC三边的距离相等，下列作法正确的是(　　)
D
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3．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为(　　)
A．37°
B．20°　
C．16°
D．14°
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C
5. 我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形的内切圆半径为2，大正方形的面积为169，则小正方形的面积为________．
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只适合于直角三角形
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内切圆
应用
重要结论
内心(三角形三条角平分线的交点)
外切三角形