广东省深圳市盐田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题(含答案)

广东省深圳市盐田区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是我们生活中常用的“空心卷筒纸”，其俯视图为（）
A. B. C. D.
2.用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
3.如图，直线，直线和被所截，，则DF的长为（ ）
A. 5 B. 6 C. 9 D. 14
4.一个不透明的口袋里装有20个不同颜色的小球（除颜色外其余均相同），其中有5个蓝球，个红球，还有个黄球．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，统计每次实验红球出现的频率如图，则的值最可能是（ ）
A. 12 B. 3 C. 10 D. 5
5.如图，矩形的对角线交于点O，若，，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
6.为了测量旗杆的高度，同学们测得阳光下旗杆的影长为，同一时刻长度为的标杆影长为，则旗杆的高度为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，点是反比例函数图象上任意一点，过点且平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则四边形的面积为（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2.5
8.北方的冬天已经迎来了冬雪．为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道（如图阴影部分为通道），保留了3块积雪活动区．已知矩形空地的长为，宽为，通道面积是整个矩形空地面积的．若设通道的宽为，则根据题意可得方程（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.若，则 ．
10.已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ．
11.如图，某小区地下车库入口栏杆短臂AO=1.2m,长臂OB=3.6m,当短臂端点A下降0.6m时，长臂端点B升高 m.
12.在学习了《图形的相似》之后，同学们利用黄金分割原理设计图案．如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段AC的黄金分割点（），以点为直角顶点在内作等腰直角．按此方式继续构造等腰直角三角形，可以设计出如图所示的图案．若的长为，则D，C两点之间的距离为 cm．
13.如图，正方形中，点E为对角线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．过点作，交分别于点G，H，M．若，则的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
14.解下列方程：
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
深圳盐田是深圳东部的一个滨海城区．它以其独特的山海资源、历史文化和多元体验成为热门旅游目的地．周末甲、乙两人从以下四个景区：A．大梅沙海滨公园，B．中英街，C．梧桐山国家森林公园，D．小梅沙海洋世界，随机选取一个景区参观游玩．假设这两人选择哪个风景区参观游玩不受任何因素影响，且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同．
(1) 甲选择到“中英街”参观游玩的概率为 ；
(2) 甲去过“小梅沙海洋世界”，乙去过“梧桐山国家森林公园”，如果各自去过的风景区不再选择，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率．
16.(本小题7分)
如图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，B，C，D均在格点上，在图1、图2中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹．
(1) 在图1中以点为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似；
(2) 在图2中的线段上画一个点，使．
17.(本小题8分)
随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的2个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆，设增加了个工厂．
(1) 一个工厂每季度的最大产能为 万辆（用含的代数式表达）；
(2) 现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
18.(本小题8分)
如图，E，F是正方形的对角线上的两点．
(1) 请从下列条件：①；②；③；④中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程．我选择条件_____________（填序号），证明如下．
(2) 若正方形和菱形的面积分别为10，6，求的值．
19.(本小题12分)
综合与实践
在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为米的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），使得矩形花园的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？
(1) 由简单情形入手，分析问题假设篱笆长为4米，即时，设米，米，根据题意可得，解得 ， ，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”；
(2) 建立函数模型，画出函数图象
设米，米，依题意得，得到与的函数关系式为．再由篱笆长为米，得，即．兴趣小组的思路是用函数与函数来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”．
接下来先画函数的图象：
列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示，
… 0 2 3 4 …
… 4 3 2 …
描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
任务：
①上面表格中，___________，___________；
②请你将下图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来；
(3) 观察函数图象，数形结合解决问题
①一次函数的图象可由直线平移得到．当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，此时交点坐标为，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出的取值范围，并说明理由；
②在直线平移的过程中，直接写出当为时“完美矩形”的长．
20.(本小题12分)
定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”．
如图1，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做四边形的“等分线”，四边形就称为“等分对角四边形”．
问题：
(1) 下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有 ；（填序号）
(2) 四边形是“等分对角四边形”，，求四边形的“等分线”的长；
解：①当为“等分线”时，如图2所示：
……
②当为“等分线”时……
请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程．
(3) 如图，在菱形中，，点分别在边和上，与交于点，点是线段上任意一点，连接，若四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，求线段的最小值．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】4
11.【答案】4.8
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】【小题1】
解：，
，
，
则或，
解得：，；
【小题2】
解：，
，
，
，
，
解得：，．

15.【答案】【小题1】
【小题2】
解：列表如下：
甲乙

由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的结果数有2种，
∴甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为．

16.【答案】【小题1】
解：如图1所示，即为所求；
【小题2】
解：如图2所示，点P即为所求．

17.【答案】【小题1】
【小题2】
解：由题意得：，
解得：，，
∵增加产能同时又节省投入成本，
∴，
∴应该再增加3个工厂．

18.【答案】【小题1】
解：我选择条件①，证明如下：
如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，．
，
，
即．
，
四边形为平行四边形．
又，即，
四边形是菱形；
我选择条件②，证明如下：
如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，，
．
，，
，
．
又，
四边形为平行四边形，
又，即，
四边形是菱形；
我选择条件④，证明如下：
如图，连接交于点，
四边形为正方形，
，，，，，
，，，
，
，
，
即．
又，
四边形为平行四边形．
又，即，
四边形是菱形．
【小题2】
解：如图，连接交于点，
正方形的面积为10，
正方形的边长为，
对角线，
．
菱形的面积为6，
，
，
，
，
．
答：的值为．

19.【答案】【小题1】
2
2
【小题2】
解：①在中，当时，，
当时，，
∴；
②如图所示，即为所求；
【小题3】
解：①，理由如下：
联立得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴或（舍去）；
②当时，则，
解得或，
当时，，
当时，，
∴当为时“完美矩形”的长为4米．

20.【答案】【小题1】
③④
【小题2】
解：①当为“等分线”时，如图2所示：
则，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴在中，，，，
∴；
②当为“等分线”时，如图3所示：
作于点E，则，
∵四边形是“等分对角四边形”，为“等分线”，，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，四边形的“等分线”的长为或．
【小题3】
解：如图，过点A作于点M，
则，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵点是线段上任意一点，连接，
∴当时，此时取得最小值，
此时，
∵，
∴
∴，
即，
∴的最小值为．

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