广东省深圳市龙华区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷(含答案)
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市龙华区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷(含答案) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 975.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
广东省深圳市龙华区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程（x-1）（x-3）=0的两个实数根分别为（ ）
A. x1=1，x2=3 B. x1=-1，x2=-3 C. x1=-1，x2=3 D. x1=1，x2=-3
2.如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（）
A. 一直变短 B. 短一长一短 C. 一直变长 D. 长一短一长
3.为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况：
实验总次数 80 150 300 500 800 1200
有效催化频数 74 131 271 453 727 1093
有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911
由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（ ）
A. 0.87 B. 0.90 C. 0.91 D. 0.93
4.劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他们已在点B，C，D，E，G处打孔．经测量，，，，若要使得安装的层板互相平行，即，则孔F应打在离孔D多远处？（ ）
A. B. C. D.
5.如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（ ）
A. 15 B. 27 C. 48 D. 63
6.在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：h）是充电功率P（单位：kW）的反比例函数，其图象如图所示.若该新能源电动车每次充满电需要2～3h,则充电时的充电功率范围是（ ）
A. 20kW以内 B. 20～30kW C. 30～60kW D. 60kW以上
7.经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件.该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（ ）
A. （30-x）（200+10x）=6250 B. （30+x）（200+10x）=6250
C. （30+x）（200-10x）=6250 D. （30-x）（200-10x）=6250
8.活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法：
①将两根小木棍，垂直摆放；
②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合；
③测量此时树与人之间的水平距离．
若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知，则的值为 ．
10.若关于x的方程x2=a有两个不相等的实数根，则a的值可以为 .
11.如图，，交于点C，，若，则 ．
12.如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ．
13.如图，在边长为2的菱形ABCD中，E是边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE所在直线折叠，得到△FDE.若点F恰好在边BC上，且BE=BF，则BE的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题7分)
解方程：x2+2x-3=0（配方法）．
15.(本小题7分)
第十五届全运会排球项目女子18岁以下组第二阶段比赛在龙华文体中心举行，小明和小亮相约一起去比赛现场为广东队加油．比赛现场的观赛区分为A、B、C三个区域，预约后系统将随机分配观赛区域．
(1) 小明预约后分配在A区域的概率为 ；
(2) 求小明和小亮预约后分配在同一区域的概率．
16.(本小题7分)
每逢传统佳节，某糕饼店都会制作特色“客家糯米糍”礼盒．如图，店主用一根红色丝带在长方体礼盒盒面绑成十字形，寓意“鸿运交织”．已知盒高，丝带总长度为（打结处丝带长忽略不计）．
(1) 当长为时，宽为 ；
(2) 若礼盒的底面面积是，则这款糯米糍礼盒的长和宽各是多少？
17.(本小题8分)
如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上．
(1) 在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2) 在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形．
18.(本小题12分)
综合与实践
素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧．
图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离．
根据以上素材解决如下问题：
(1) 当，时，求y（单位：）关于x（单位：）的函数解析式；
(2) 当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重．提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作．如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则 （填序号）是提起秤纽B时得到的图象；
(3) 甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重．
当时，哪个小组得到的y值误差更大？
甲组的误差计算如下：
记为秤纽A与秤盘之间的水平距离，为秤砣磨损后的质量，与为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得：
，，所以甲组的误差为；
请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论．
19.(本小题8分)
【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形．
【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k．
(1) 【实验初探】如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为 ．
(2) 【实验制作】
如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点．
①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H；
②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长．
20.(本小题12分)
【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形．在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点．
例：如图1，为的角平分线，点C是延长线上一点，连接，，若，则四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形．
(1) 【性质】已知：如图1，四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形．求证：；
(2) 【判定】如图2，在中，点D，C分别在边，上，与相交于点P，若，．求证：四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形；
(3) 【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形中，，，与相交于点P．当是等腰三角形时，求的长．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】 /
10.【答案】1（答案不唯一）
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】解：∵x2+2x=3，
x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，
∴x+1=±2，
∴x1=1，x2=-3．
15.【答案】【小题1】
【小题2】
解：解法一：（列表法）由题意可列表格如下：
小亮小明 A B C
A
B
C
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区域的结果有3种：，，，
所以P（在同一区域）；
解法二：（树状图法）由题意可画树状图如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区域的结果有3种：，，，
所以P（在同一区域）．
16.【答案】【小题1】
1.5
【小题2】
解：设礼盒的长为，则宽为，即，
依题意得，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：这款糯米糍礼盒的长和宽各是，．
17.【答案】【小题1】
解：如图，四边形即为所求；
作，则，
由作图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小题2】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形．
由（1）可知四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
∴，
∴．
∴四边形为矩形．
18.【答案】【小题1】
解：由题意，代入，得，
所以y关于x的函数解析式为；
【小题2】
①
【小题3】
解：记为秤纽B与秤盘之间的水平距离，与为磨损前后平衡时秤纽B与秤砣的水平距离.
依题意可得：，，
所以乙组的误差为；
∵，由反比例函数在第一象限的增减性，
可得，
∴.
∵，
∴，
∴，
即乙组的误差更大．
19.【答案】【小题1】
16
【小题2】
①解：如图，取一个格点正方形，以点C为位似中心，连接并延长交于点H，点H即为所求作正方形的一个顶点，
②解：如图，过点A作于点，交于点J，
∴，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴.
设边长为x，则，，
∴，
解得，
即正方形的边长为．
20.【答案】【小题1】
解：∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形，
∴AC平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，.
∵，
∴，
即，
∴四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形；
【小题3】
由题意，∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴始终成立，
当是等腰三角形时，有以下三种情况：
①当时，，而，
∴矛盾，此情形不成立；
②当时，如图20-1，
此时，
∴，
∴，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图20-2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过C作，
∵，
∴，
过B作，
∵，
∴，
在中，设，则，
∴，
在中，，
即，
解得，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
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一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程（x-1）（x-3）=0的两个实数根分别为（ ）
A. x1=1，x2=3 B. x1=-1，x2=-3 C. x1=-1，x2=3 D. x1=1，x2=-3
2.如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（）
A. 一直变短 B. 短一长一短 C. 一直变长 D. 长一短一长
3.为了估计某种新型催化剂在化学反应中的有效催化概率，兴趣小组通过实验，记录了如下催化情况：
实验总次数 80 150 300 500 800 1200
有效催化频数 74 131 271 453 727 1093
有效催化频率 0.925 0.873 0.903 0.906 0.909 0.911
由此可估计该新型催化剂的有效催化概率约为（ ）
A. 0.87 B. 0.90 C. 0.91 D. 0.93
4.劳动课上，同学们动手制作一个如图所示的置物架，他们已在点B，C，D，E，G处打孔．经测量，，，，若要使得安装的层板互相平行，即，则孔F应打在离孔D多远处？（ ）
A. B. C. D.
5.如图是一个零件的三视图，已知大正方形的边长均为4，小正方形的边长均为1，则该零件的体积为（ ）
A. 15 B. 27 C. 48 D. 63
6.在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：h）是充电功率P（单位：kW）的反比例函数，其图象如图所示.若该新能源电动车每次充满电需要2～3h,则充电时的充电功率范围是（ ）
A. 20kW以内 B. 20～30kW C. 30～60kW D. 60kW以上
7.经调查，某款小商品按每件盈利30元销售时，每天可卖出200件，售价每降低1元，平均每天可以多卖出10件.该款小商品降价多少元时，可使平均每天销售利润达到6250元？设每件小商品降价x元，则可列方程（ ）
A. （30-x）（200+10x）=6250 B. （30+x）（200+10x）=6250
C. （30+x）（200-10x）=6250 D. （30-x）（200-10x）=6250
8.活动课上，创新小组根据“伐木工十字法”设计了如下测高方法：
①将两根小木棍，垂直摆放；
②将水平木棍的端点D放在眼睛H的正下方，移动位置，直到树根F与点B重合，树冠E与点A重合；
③测量此时树与人之间的水平距离．
若测得两根小木棍与的长度比为，的长度为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知，则的值为 ．
10.若关于x的方程x2=a有两个不相等的实数根，则a的值可以为 .
11.如图，，交于点C，，若，则 ．
12.如图，在矩形中，，相交于点O，于E，若，，则的长为 ．
13.如图，在边长为2的菱形ABCD中，E是边AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE所在直线折叠，得到△FDE.若点F恰好在边BC上，且BE=BF，则BE的长为 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题7分)
解方程：x2+2x-3=0（配方法）．
15.(本小题7分)
第十五届全运会排球项目女子18岁以下组第二阶段比赛在龙华文体中心举行，小明和小亮相约一起去比赛现场为广东队加油．比赛现场的观赛区分为A、B、C三个区域，预约后系统将随机分配观赛区域．
(1) 小明预约后分配在A区域的概率为 ；
(2) 求小明和小亮预约后分配在同一区域的概率．
16.(本小题7分)
每逢传统佳节，某糕饼店都会制作特色“客家糯米糍”礼盒．如图，店主用一根红色丝带在长方体礼盒盒面绑成十字形，寓意“鸿运交织”．已知盒高，丝带总长度为（打结处丝带长忽略不计）．
(1) 当长为时，宽为 ；
(2) 若礼盒的底面面积是，则这款糯米糍礼盒的长和宽各是多少？
17.(本小题8分)
如图1，在同一平面内有三条等距的平行线，，，点A在直线上，点B，D在直线上．
(1) 在直线上求作一点C，顺次连接点A，B，C，D，使得四边形为平行四边形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2) 在（1）的条件下，若，如图2所示，连接交直线于点O，在直线上截取，连接，求证：四边形是矩形．
18.(本小题12分)
综合与实践
素材：图1是杆秤构造示意图，秤纽A在秤纽B的左侧．
图2是杆秤称重示意图，当秤杆水平平衡时，根据杠杆平衡条件可得，其中x为秤砣质量，y为秤纽与秤砣之间的水平距离，m为秤盘和物体的总质量，n为秤纽与秤盘之间的水平距离．
根据以上素材解决如下问题：
(1) 当，时，求y（单位：）关于x（单位：）的函数解析式；
(2) 当m为定值时，学习小组选取不同质量的秤砣称重．提起秤纽A，根据选用的x的大小，得到对应的y值，记录这些有序数对，绘制y关于x的函数图象；提起秤纽B，重复上述操作．如图3，将两个函数图象绘制在同一平面直角坐标系中，则 （填序号）是提起秤纽B时得到的图象；
(3) 甲、乙小组分别提起秤纽A，B，选取同一个磨损了的秤砣对同一物体称重．
当时，哪个小组得到的y值误差更大？
甲组的误差计算如下：
记为秤纽A与秤盘之间的水平距离，为秤砣磨损后的质量，与为磨损前后秤纽与秤砣的水平距离，依题意可得：
，，所以甲组的误差为；
请计算乙组的误差，并比较两组误差大小，得出结论．
19.(本小题8分)
【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形．
【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k．
(1) 【实验初探】如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为 ．
(2) 【实验制作】
如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点．
①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H；
②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长．
20.(本小题12分)
【定义】从三角形的一个顶点出发作它的角平分线，在该角平分线的延长线上任取一点与三角形的其余两个顶点相连，得到一个四边形．在这个四边形中，若该角平分线所对的一个内角等于原三角形的一个内角，且这两个角位于该角平分线的两侧，则称这个四边形为自相似四边形，这个顶点叫相似顶点．
例：如图1，为的角平分线，点C是延长线上一点，连接，，若，则四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形．
(1) 【性质】已知：如图1，四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形．求证：；
(2) 【判定】如图2，在中，点D，C分别在边，上，与相交于点P，若，．求证：四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形；
(3) 【应用】在以点A为相似顶点的自相似四边形中，，，与相交于点P．当是等腰三角形时，求的长．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】 /
10.【答案】1（答案不唯一）
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】
14.【答案】解：∵x2+2x=3，
x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4，
∴x+1=±2，
∴x1=1，x2=-3．
15.【答案】【小题1】
【小题2】
解：解法一：（列表法）由题意可列表格如下：
小亮小明 A B C
A
B
C
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区域的结果有3种：，，，
所以P（在同一区域）；
解法二：（树状图法）由题意可画树状图如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而小明与小亮在同一区域的结果有3种：，，，
所以P（在同一区域）．
16.【答案】【小题1】
1.5
【小题2】
解：设礼盒的长为，则宽为，即，
依题意得，
解得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
答：这款糯米糍礼盒的长和宽各是，．
17.【答案】【小题1】
解：如图，四边形即为所求；
作，则，
由作图可知：，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小题2】
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形．
由（1）可知四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
∴，
∴．
∴四边形为矩形．
18.【答案】【小题1】
解：由题意，代入，得，
所以y关于x的函数解析式为；
【小题2】
①
【小题3】
解：记为秤纽B与秤盘之间的水平距离，与为磨损前后平衡时秤纽B与秤砣的水平距离.
依题意可得：，，
所以乙组的误差为；
∵，由反比例函数在第一象限的增减性，
可得，
∴.
∵，
∴，
∴，
即乙组的误差更大．
19.【答案】【小题1】
16
【小题2】
①解：如图，取一个格点正方形，以点C为位似中心，连接并延长交于点H，点H即为所求作正方形的一个顶点，
②解：如图，过点A作于点，交于点J，
∴，
由题意可知，，
∵，
∴，
∴.
设边长为x，则，，
∴，
解得，
即正方形的边长为．
20.【答案】【小题1】
解：∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形，
∴AC平分，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，.
∵，
∴，
即，
∴四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形；
【小题3】
由题意，∵四边形是以点A为相似顶点的自相似四边形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴始终成立，
当是等腰三角形时，有以下三种情况：
①当时，，而，
∴矛盾，此情形不成立；
②当时，如图20-1，
此时，
∴，
∴，，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，如图20-2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
过C作，
∵，
∴，
过B作，
∵，
∴，
在中，设，则，
∴，
在中，，
即，
解得，
∵，
∴，
∴．
综上所述，的长为或．
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