专题强化2 动量守恒定律的应用
学习目标
1.会应用动量守恒定律处理多物体、多过程问题。2.会应用动量守恒定律处理临界问题。
强化点一 应用动量守恒定律处理多物体、多过程问题
对于由多个物体组成的系统，由于物体较多，作用过程较为复杂，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，将系统内的物体按作用关系分成几个小系统，对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别根据动量守恒定律列式求解。
【例1】 甲、乙两个溜冰者质量分别为48 kg和55 kg，甲手里拿着质量为2 kg的球，两人均以2 m/s的速率，在光滑的冰面上沿同一直线相向滑行，甲将球传给乙，乙再将球传给甲，这样抛接几次后，球又回到甲的手里，乙的速度为零，不计空气阻力，求此时甲的速度。
尝试解答
【例2】 如图，质量为m1＝0.45 kg的平板车静止在光滑水平轨道，右端放一质量为m2＝0.2 kg的物块，m0＝0.05 kg的子弹以水平初速度v0＝100 m/s射中小车并留在车中，最终物块以5 m/s速度与小车脱离，求：
（1）子弹刚射入小车时小车速度大小；
（2）物块脱离小车时小车速度大小。
尝试解答
方法技巧
分析多物体、多过程问题时，应注意
（1）正确进行研究对象的选取：有时对整体应用动量守恒定律，有时对部分物体应用动量守恒定律。研究对象的选取一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需要。
（2）正确进行过程的选取和分析：通常进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量。根据所研究问题的需要，列式时有时需分过程多次应用动量守恒定律，有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式。
强化点二 应用动量守恒定律处理临界问题
在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近（或最远），恰好不相撞，弹簧最长（或最短）或物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
【例3】 如图所示，
光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后A瞬间的速度大小。
尝试解答
【例4】 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为10 kg 的木箱，和他一起以初速度v0＝3.5 m/s向右滑行，乙在甲的正前方静止在冰面上，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
尝试解答
方法技巧
动量守恒定律应用中的常见临界情形
光滑水平面上的A物体以速度v向静止的B物体运动，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大
物体A以初速度v0滑到静止在光滑水平面上的小车B（上表面粗糙且长度足够长）上，当物体A在小车B上滑行的距离最远时，物体A、小车B相对静止，物体A、小车B的速度必定相等
质量为M的弧形滑块静止在光滑水平面上，弧形滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球以初速度v0向弧形滑块滚来。设小球不能越过弧形滑块，则小球到达弧形滑块上的最高点（即小球竖直方向上的速度为零）时，两物体的速度一定相等
光滑水平面上的薄板A（上表面粗糙且足够长）与物块C发生碰撞后，再与物块B相互作用，最后不再相撞的临界条件是：三者具有相同的速度
提示：完成课后作业 第一章 专题强化2
2 / 2专题强化2 动量守恒定律的应用
学习目标
1.会应用动量守恒定律处理多物体、多过程问题。2.会应用动量守恒定律处理临界问题。
强化点一 应用动量守恒定律处理多物体、多过程问题
对于由多个物体组成的系统，由于物体较多，作用过程较为复杂，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，将系统内的物体按作用关系分成几个小系统，对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态，分别根据动量守恒定律列式求解。
【例1】 甲、乙两个溜冰者质量分别为48 kg和55 kg，甲手里拿着质量为2 kg的球，两人均以2 m/s的速率，在光滑的冰面上沿同一直线相向滑行，甲将球传给乙，乙再将球传给甲，这样抛接几次后，球又回到甲的手里，乙的速度为零，不计空气阻力，求此时甲的速度。
答案：0.2 m/s，方向与初速度方向相反
解析：以甲、乙及球组成的系统为研究对象，以甲原来的滑行方向为正方向，
根据动量守恒有（m甲＋m球）v甲－m乙v乙＝（m甲＋m球）v甲'＋0
解得v甲'＝－0.2 m/s
故甲的速度大小为0.2 m/s，方向与初速度方向相反。
【例2】 如图，质量为m1＝0.45 kg的平板车静止在光滑水平轨道，右端放一质量为m2＝0.2 kg的物块，m0＝0.05 kg的子弹以水平初速度v0＝100 m/s射中小车并留在车中，最终物块以5 m/s速度与小车脱离，求：
（1）子弹刚射入小车时小车速度大小；
（2）物块脱离小车时小车速度大小。
答案：（1）10 m/s （2）8 m/s
解析：（1）设子弹刚射入小车时小车速度大小为v1，子弹与小车的作用过程内力远大于外力，故子弹与小车组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律有m0v0＝（m1＋m0）v1，解得v1＝10 m/s。
（2）设物块脱离小车时小车速度大小为v2，物块速度为v3＝5 m/s，物块与小车（含子弹）组成的系统所受合外力为零，根据动量守恒定律有（m1＋m0）v1＝（m1＋m0）v2＋m2v3
解得v2＝8 m/s。
方法技巧
分析多物体、多过程问题时，应注意
（1）正确进行研究对象的选取：有时对整体应用动量守恒定律，有时对部分物体应用动量守恒定律。研究对象的选取一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需要。
（2）正确进行过程的选取和分析：通常进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量。根据所研究问题的需要，列式时有时需分过程多次应用动量守恒定律，有时只需针对初、末状态建立动量守恒的关系式。
强化点二 应用动量守恒定律处理临界问题
在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近（或最远），恰好不相撞，弹簧最长（或最短）或物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键。
【例3】 如图所示，光滑水平轨道上放置长木板A（上表面粗糙）和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg，mB＝1 kg，mC＝2 kg。开始时C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞（时间极短）后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞。求A与C发生碰撞后A瞬间的速度大小。
答案：2 m/s
解析：长木板A与滑块C处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，碰撞过程中滑块B与长木板A间的摩擦力可以忽略不计，长木板A与滑块C组成的系统在碰撞过程中动量守恒，取水平向右为正方向
则mAv0＝mAvA＋mCvC
长木板A和滑块B达到共同速度后，恰好不再与滑块C碰撞，即最后三者速度相等，
即vC＝v
（mA＋mB）v0＝（mA＋mB＋mC）v
联立解得vA＝2 m/s。
【例4】 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在光滑水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量为30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg，游戏时甲推着一质量为10 kg 的木箱，和他一起以初速度v0＝3.5 m/s向右滑行，乙在甲的正前方静止在冰面上，为避免碰撞，甲将木箱推给乙，使木箱与乙一起运动，则甲至少以相对地面多大的速度将箱子推出才能避免与乙相撞？
答案：8 m/s
解析：设甲至少以速度v将箱子推出，推出箱子后甲的速度为v甲，乙接到箱子后的速度为v乙。
取向右为正方向，以甲及冰车和箱子为系统，
根据动量守恒得（M甲＋m）v0＝M甲v甲＋mv
以箱子和乙及冰车为系统，根据动量守恒得mv＝（m＋M乙）v乙
当甲与乙恰好不相撞时v甲＝v乙
联立解得v＝8 m/s。
方法技巧
动量守恒定律应用中的常见临界情形
光滑水平面上的A物体以速度v向静止的B物体运动，A、B两物体相距最近时，两物体速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大
物体A以初速度v0滑到静止在光滑水平面上的小车B（上表面粗糙且长度足够长）上，当物体A在小车B上滑行的距离最远时，物体A、小车B相对静止，物体A、小车B的速度必定相等
质量为M的弧形滑块静止在光滑水平面上，弧形滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m的小球以初速度v0向弧形滑块滚来。设小球不能越过弧形滑块，则小球到达弧形滑块上的最高点（即小球竖直方向上的速度为零）时，两物体的速度一定相等
光滑水平面上的薄板A（上表面粗糙且足够长）与物块C发生碰撞后，再与物块B相互作用，最后不再相撞的临界条件是：三者具有相同的速度
1.如图所示，在光滑的水平面上，小明站在平板车上用锤子敲打小车。初始时，人、车、锤都静止。下列说法正确的是（ ）
A.人、车和锤组成的系统水平方向动量守恒 B.人、车和锤组成的系统竖直方向动量守恒
C.不断敲击车的左端，车和人会持续向右运动 D.当人挥动锤子，敲打车之前，车一直保持静止
解析：A 人、车和锤组成的系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，故A正确；人、车和锤组成的系统竖直方向所受合力不为零，竖直方向动量不守恒，故B错误；把人、锤子和车看成一个系统，系统水平方向不受外力，水平方向动量守恒，用锤子连续敲打车的左端，根据水平方向动量守恒可知，系统水平方向的总动量为零，锤子向左运动时，车子向右运动，锤子向右运动时，车子向左运动，所以车左右往复运动，不会持续地向右运动，故C错误；人、车和锤组成的系统水平方向动量守恒，锤子向左运动，小车向右运动，锤子向右运动，小车向左运动，所以敲打车之前，车不会一直保持静止，当锤子停止运动时，人和车也停止运动，故D错误。
2.如图所示，光滑水平面上放置一足够长木板A，其上表面粗糙，两个质量和材料均不同的物块B、C，以不同的水平速度分别从两端滑上长木板A。当B、C在木板A上滑动的过程中，由A、B、C组成的系统（ ）
A.动量守恒，机械能守恒 B.动量守恒，机械能不守恒
C.动量不守恒，机械能守恒 D.动量不守恒，机械能不守恒
解析：B 依题意，因为水平面光滑，所以A、B、C组成的系统所受合力为零，满足动量守恒条件，系统动量守恒，木板A上表面粗糙，物块B、C在其上滑行时，会摩擦生热，系统机械能有损失，则系统机械能不守恒，故A、C、D错误，B正确。
3.如图所示，在光滑的水平地面上有一辆平板车，车的两端分别站着人A和B，A的质量为mA，B的质量为mB，mA＞mB，最初人和车都处于静止状态，现在，两人同时由静止开始相向而行，A和B对地面的速度大小相等，则车（ ）
A.静止不动 B.左右往返运动 C.向右运动 D.向左运动
解析：D 两人与车组成的系统动量守恒，开始时系统动量为零，两人以大小相等的速度相向运动，A的质量大于B的质量，则A的动量大于B的动量，A、B的总动量方向与A的动量方向相同，即向右，要保证系统动量守恒，系统总动量为零，则小车应向左运动。故选D。
4.质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度v0的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度为（ ）
A.v0 B.C. D.
解析：B 由于五个物块组成的系统沿水平方向不受外力作用，故系统在水平方向上动量守恒，由动量守恒定律得mv0＝5mv，得v＝v0，即它们最后的速度为，B正确。
5.《三国演义》中“草船借箭”是经典的故事。若草船的质量为M，每支箭的质量为m，草船以速度v1驶来时，对岸士兵多箭齐发，箭以相同的速度v2水平射中草船。假设此时草船正好停下来，不计水的阻力，则射出的箭的数目为（ ）
A. B.C. D.
解析：C 设射出的箭的数目为n，在草船与箭的作用过程中，系统动量守恒，则有Mv1－nmv2＝0，解得n＝，故选C。
6.如图所示，质量为M的滑块静止在光滑的水平地面上，滑块的光滑弧面底部与地面相切，一个质量为m的小球以初速度v0向滑块滚来，小球不能越过滑块，则小球到达最高点时，小球和滑块的速度大小是（ ）
A. B.C. D.
解析：A 小球沿滑块上滑的过程中，对小球和滑块组成的系统，水平方向不受外力，因而该系统在水平方向上动量守恒，小球到达最高点时和滑块具有相同的对地速度v。由水平方向动量守恒得mv0＝（M＋m）v，所以v＝，故A正确。
7.如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A和B，放在光滑的水平面上，物体A被水平初速度为v0的子弹射中并且子弹嵌在其中。已知物体A的质量是物体B的质量的，子弹的质量是物体B的质量的，则弹簧压缩到最短时B的速度是多少？
答案：
解析：弹簧压缩到最短时，子弹、A及B具有共同的速度v1，且子弹、A及B组成的系统，从子弹开始射入物体A一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系统所受合外力始终为零，故整个过程系统的动量守恒，取子弹水平初速度v0的方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（m＋mA＋mB）v1，又m＝mB，mA＝mB，解得v1＝，即弹簧压缩到最短时B的速度为。
8.如图，A、B两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶2，它们原来静止在平板车C上，A、B两物体间有一根被压缩了的水平轻质弹簧，A、B两物体与平板车C上表面间的动摩擦因数相同，水平地面光滑。当弹簧突然释放后，A、B两物体被弹开（A、B两物体始终不滑出平板车），则有（ ）
A.A、B系统动量守恒
B.A、B、C及弹簧整个系统机械能守恒
C.A、B在平板车C上滑动过程中小车一直处于静止
D.A、B、C组成的系统动量守恒
解析：D 在弹簧释放的过程中，因mA∶mB＝1∶2，由摩擦力公式Ff＝μFN＝μmg，可知A、B两物体所受的摩擦力大小不相等，故A、B两物体组成的系统所受合外力不为零，A、B两物体组成的系统动量不守恒，故A错误；A物体对平板车向左的滑动摩擦力小于B对平板车向右的滑动摩擦力，在A、B两物体相对平板车停止运动之前，平板车所受的合外力向右，平板车将向右运动，因存在摩擦力做负功，最终整个系统将静止，则系统的机械能减为零，系统机械能不守恒，故B、C错误；A、B、C组成的系统所受合外力为零，则系统的动量守恒，故D正确。
9.〔多选〕如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，质量均为M，静止在光滑水平面上。c车上有一静止的质量为m的小孩。现跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上，小孩跳离c车和b车时对地的水平速度均为v，小孩跳到a车上后相对a车保持静止，则（ ）
A.平板小车a、b、c与小孩四者组成的系统水平方向动量守恒
B.b、c两车运动速率相等
C.b的速度为
D.a的速度为v
解析：AD 平板小车a、b、c与小孩四者组成的系统，水平方向所受的外力矢量和为零，水平方向动量守恒，故A正确；对小孩跳离c车的过程，取水平向右为正方向，对小孩和c组成的系统，由水平方向动量守恒有0＝mv＋Mvc，解得c车的速度为vc＝－，负号表示方向向左，对小孩跳上b车再跳离b车的过程，由小孩和b组成的系统水平方向动量守恒有mv＋0＝Mvb＋mv，解得b车最终的速度为vb＝0，故B、C错误；对小孩跳上a车的过程，由动量守恒定律有mv＋0＝（M＋m）va，解得a车的最终速度为va＝v，故D正确。
10.如图所示，水平光滑地面上依次放置着质量m＝0.08 kg的10块完全相同的长直木板。一质量M＝1.0 kg、大小可忽略的小铜块以初速度v0＝6.0 m/s从长木板左侧滑上木板，当铜块滑离第一块木板时，速度大小为v1＝4.0 m/s。铜块最终停在第二块木板上。（取g＝10 m/s2，结果保留两位有效数字）求：
（1）第一块木板的最终速度；
（2）铜块的最终速度。
答案：（1）2.5 m/s，方向与小铜块初速度方向相同 （2）3.4 m/s，方向与小铜块初速度方向相同
解析：（1）铜块和10块长木板水平方向不受外力，所以水平方向系统动量守恒，设铜块刚滑到第二块木板时，木板的速度为v2，由动量守恒定律得
Mv0＝Mv1＋10mv2
解得v2＝2.5 m/s，方向与小铜块初速度方向相同。
（2）由题意可知，铜块最终停在第二块木板上，设小铜块最终速度为v3，由动量守恒定律得
Mv1＋9mv2＝（M＋9m）v3
解得v3≈3.4 m/s，方向与小铜块初速度方向相同。
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