2.简谐运动的描述
学习目标
1.理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。2.知道周期和频率的关系。 3.知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。 4.通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
情境：如图所示，为音箱中的两个扬声器，当扬声器发声时，手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动。
问题：把音响声音调大，感觉纸盆的振动更加剧烈，想想这是为什么？
提示：扬声器发出的声音是由其喇叭的纸盆振动形成的，声音越大，纸盆振动的幅度越大。
1.振幅（A）
（1）定义：振动物体离开平衡位置的 最大距离 。
（2）物理意义
表示 振动幅度 大小的物理量，是 标量 （选填“矢量”或“标量”）。振动物体运动的范围是振幅的 两 倍。
2.全振动
如果从振子向右经过O点时开始计时，则从O→N→O→M→O即完成了一次全振动。
一个 完整 的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 相同 的。
3.周期（T）和频率（f）
（1）周期T：做简谐运动的物体完成一次 全振动 所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒（s）。
（2）频率f：物体完成全振动的 次数 与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。数值等于 单位时间 内完成全振动的次数。
（3）周期T与频率f的关系式：f＝。
（4）圆频率ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，ω＝＝ 2πf 。
（5）T、f、ω均是表示物体振动 快慢 的物理量。
（6）弹簧振子的振动周期与其 振幅 无关。所有简谐运动的周期均与其 振幅 无关。
【易错辨析】
1.周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。（ √ ）
2.振幅就是指振子的位移。（ × ）
3.振幅就是指振子的路程。（ × ）
4.振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。（ √ ）
1.全振动的四个特征
（1）振动特征：一个完整的振动过程。
（2）物理量特征：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。
（3）时间特征：历时一个周期。
（4）路程特征：振幅的4倍。
2.简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与位移 （1）振幅等于位移的最大值； （2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： （1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）； （2）t＝T时，s＝2A； （3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A。 注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为s＝A
振幅与周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
【例1】 （简谐运动的位移、路程）一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，则该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程分别是多少？
答案：4 cm 100 cm
解析：质点的振动周期T＝＝0.4 s，故时间t＝T＝6T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为6×4×4 cm＝100 cm。
【例2】 （简谐运动的各量的计算）如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，由静止释放后，小球在A、B间振动，且AB＝20 cm，小球由A首次运动到B的时间为0.1 s，求：
（1）小球振动的振幅、周期和频率；
（2）小球在5 s内通过的路程及5 s末小球偏离平衡位置的位移大小。
答案：（1）10 cm 0.2 s 5 Hz （2）1 000 cm 10 cm
解析：（1）由题图可知，小球振动的振幅为A＝10 cm
又t＝0.1 s＝，所以周期T＝0.2 s
由f＝得，频率f＝5 Hz。
（2）小球在1个周期内通过的路程为4A，故在5 s＝25T内通过的路程s＝40×25 cm＝1 000 cm，
5 s内小球振动了25个周期，故5 s末小球仍处在A点，所以小球偏离平衡位置的位移大小为10 cm。
知识点二 简谐运动的相位
1.相位：物理学中把 ωt＋φ 叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作 初相位 ，或初相。
2.相位差
（1）定义：两个具有相同 频率 的简谐运动的相位之差。
（2）表达式：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差是Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝ φ1－φ2 。
（3）意义：表示1的相位比2 超前 Δφ，或者说2的相位比1 落后 Δφ。
3.简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝Asin（ωt＋φ）或x＝Asin。 振幅 、 周期 、 初相位 是描述简谐运动特征的物理量。
【易错辨析】
1.相位的单位是弧度。（ √ ）
2.初相φ＝0时，说明物体振动开始计时时处于平衡位置。（ √ ）
3.ωt＋φ＝时振子处于最大位移处。（ √ ）
1.相位
（1）物理意义：用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
（2）特点：相位是一个随时间变化的量，它的值为角度，其单位是弧度（rad）或度（°）。
（3）物体经历一次全振动，相位变化2π。
2.相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
（1）相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
（2）同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
（3）超前和滞后：Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ＜0，表示振动1比振动2滞后。
3.简谐运动两种描述方法的比较
（1）图像法：简谐运动的图像（x-t图像）是直观表示质点振动情况的一种手段，直观地表示了质点的位移x随时间t变化的规律。如图所示，根据振动图像可获知如下信息：
（2）函数法：x＝Asin （ωt＋φ）是用函数表达式的形式反映质点的振动情况的。
（3）两者对同一个简谐运动的描述是一致的，两种表述方法可以相互转换。
【例3】 （简谐运动表达式的理解）（2025·福建泉州月考）有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（ ）
A.x＝8×10－3sinm B.x＝8×10－3sinm
C.x＝8×10－3sinm D.x＝8×10－3sinm
解析：A 由题意知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，则ω＝＝4π rad/s，初始时刻具有负方向的最大加速度，则初始时刻的位移x0＝0.8 cm，初相位φ0＝，所以弹簧振子的振动方程为x＝8×10－3sin m，故A正确，B、C、D错误。
【例4】 （简谐运动的两种描述方法）（2025·内蒙古呼和浩特期中）如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
（1）写出该振子的振幅和周期，写出简谐运动的位移与时间关系的表达式；
（2）求出在t＝19 s时振子相对平衡位置的位移及振子在19 s内的路程。
答案：（1）5 cm 4 s x＝5sincm （2）－5 cm 95 cm
解析：（1）由图可知，该振子的振幅和周期分别为A＝5 cm，T＝4 s
该振子的圆频率和初相分别为ω＝＝rad/s，φ＝0
所以，该振子的简谐运动的位移与时间关系的表达式为x＝5sincm。
（2）将t＝19 s代入振子的简谐运动的位移与时间关系的表达式得x＝－5 cm
因t＝19 s＝4T
所以振子在19 s内的路程是s＝4×4A＝4×4×5 cm＝95 cm。
简谐运动的周期性与对称性
1.简谐运动的周期性
（1）若t2－t1＝nT（n＝1，2，3，…），则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述物体运动状态的各物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T（n＝0，1，2，3，…），则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述物体运动状态的各物理量（x、a、v）均大小相等、方向相反。
2.简谐运动的对称性
（1）物理量的对称性：当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，物体的：
①位移的大小一定相等、方向一定相反；
②加速度的大小一定相等、方向一定相反；
③速度的大小一定相等，方向可能相同、也可能相反。
（2）时间的对称性
①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB；
②振动物体经过关于平衡位置对称且等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB'C'。
【典例1】 〔多选〕一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（ ）
A.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度不一定相等
解析：CD 如图所示，图中的a、b、c三点位移大小相等、方向相同，显然Δt不等于T的整数倍，故选项A错误；图中的a、d两点的位移大小相等、方向相反，Δt＜，故选项B错误；在相隔一个周期T的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必相等，选项C正确；若t时刻，振子不在平衡位置，则相隔的两个时刻，振子的位移大小相等、方向相反，其位置关于平衡位置对称，弹簧分别处于压缩和拉伸状态，弹簧的长度不相等，若t时刻，振子处于平衡位置，则相隔的两时刻弹簧的长度相等，选项D正确。
【典例2】 〔多选〕一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为（ ）
A. s B. s
C.1.4 s D.1.6 s
解析：AC 如图甲所示，O为平衡位置，M点在O点右侧，设OB（OC）代表振幅，若振子开始从平衡位置向M运动，从O点到C点所需时间为，因为简谐运动具有对称性，所以振子从M点到C点所用时间和从C点到M点所用时间相等，故＝0.3 s＋＝0.4 s，解得T＝1.6 s，则振子第三次到达M点还要经过的时间为t＝1.6 s－0.2 s＝1.4 s，故C正确；
如图乙所示，若振子开始从平衡位置背离M向B点运动，T＝0.3 s＋s，振动周期为T＝×4 s＝ s，则弹簧振子第三次通过M点还要经过的时间是t＝ s－0.2 s＝ s，故A正确。
课堂小结
1.（振幅、周期、频率）〔多选〕下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（ ）
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析：BD 振幅是标量，选项A错误；周期与频率互为倒数，即Tf＝1，选项B正确；简谐运动的周期与振幅没有关系，周期的长短由系统本身决定，选项C错误，D正确。
2.（振幅）〔多选〕如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是（ ）
A.小球的最大位移是10 cm
B.只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0
C.无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm
D.从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm
解析：CD 小球位移的起点是O点，小球经过B点或C点时位移最大，最大位移的大小为5 cm，故A错误；小球做简谐运动，振幅不变，由题意知，振幅A＝5 cm，故B错误，C正确；从任意时刻起，一个完整的振动过程内，小球经过的路程都是s＝4A＝4×5 cm＝20 cm，故D正确。
3.（简谐运动的表达式）〔多选〕有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是（ ）
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
解析：BC 它们的振幅分别是4 cm、5 cm，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以它们的周期都是T＝＝ s，选项B正确；由Δφ＝－＝知，相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，则振动步调不一致，选项D错误。
4.（简谐运动的周期性和对称性）〔多选〕物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过时间t后物体第一次以相同速度v通过B点，又经过同样的时间物体紧接着又通过B点，已知物体在这段时间内走过的总路程为18 cm，则该简谐运动的振幅可能是（ ）
A.3 cm B.5 cm
C.7 cm D.9 cm
解析：AD 由物体过A、B两点的速度相等，可知A、B两点一定关于平衡位置O对称，若从A点向右运动，如图甲所示。
根据对称性可知2A＝18 cm，则A＝9 cm，故选项D正确；
若从A点向左运动，如图乙所示。
根据对称性可知2A＋A＋2A＋A＝18 cm，则A＝3 cm，故选项A正确。
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
1.〔多选〕如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C间振动，不考虑摩擦，则（ ）
A.从B→O→C→O→B为一次全振动 B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动 D.B、C两点关于O点对称
解析：ACD O点为平衡位置，B、C为两侧最远点，则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍，为一次全振动，A正确；若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍，超过一次全振动，B错误；若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍，为一次全振动，C正确；因不考虑系统的摩擦，所以它的振幅一定，故B、C两点关于O点对称，D正确。
2.如图，O为平衡位置，小球在a、b间做无摩擦往复运动。若Ob＝5 cm，则小球一次全振动通过的路程s和振幅A分别为（ ）
A.s＝10 cm，A＝5 cm
B.s＝10 cm，A＝10 cm
C.s＝20 cm，A＝5 cm
D.s＝20 cm，A＝10 cm
解析：C 由题意可知，小球的振幅A＝5 cm，小球一次全振动通过的路程s＝4A＝20 cm，故C正确。
3.〔多选〕一弹簧振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点，t＝0时刻，振子的位移x＝－0.1 m；t＝1.2 s时刻，振子刚好第2次经过x＝0.1 m的位置且速度为零。下列有关该振子的运动问题的说法正确的是（ ）
A.振幅为0.1 m
B.周期为1.2 s
C.1.2 s内，振子的路程是0.6 m
D.t＝0.6 s时刻，振子的位移为0.1 m
解析：AC 由题意可知，t＝1.2 s时刻，振子处在正方向最大位移处，则 t＝0时刻，振子在负方向最大位移处，所以振幅为 0.1 m，A正确；由于是第二次到正方向最大位移处，所以1.5T＝1.2 s，可得 T＝0.8 s，B错误；一个周期内经过的路程等于振幅4倍，1.2 s内的路程为6A，即0.6 m，C正确；0.6 s＝T，t＝0.6 s时振子位于平衡位置，位移为零，D错误。
4.〔多选〕如图所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是（ ）
A.物体的振动周期是2×10－2 s
B.第2个10－2 s内，物体的位移是－10 cm
C.物体的振动频率为25 Hz
D.物体的振幅是10 cm
解析：BCD 由题图可知，物体振动的周期为T＝4×10－2 s，A错误；在第2个10－2 s内，即在1×10－2 s到2×10－2 s内，物体由正向的10 cm处到达平衡位置，故位移为x＝0－10 cm＝－10 cm，B正确；频率f＝＝ Hz＝25 Hz，C正确；由题图可知，物体振动的振幅为10 cm，D正确。
知识点二 简谐运动的相位 表达式
5.A、B两个物体做简谐运动的振动图像如图所示，则A的相位比B的相位（ ）
A.超前 B.落后
C.超前π D.落后π
解析：B A、B做简谐运动的周期相同，函数表达式分别为xA＝Asin，xB＝Acos＝Asin （ t＋），相位差Δφ＝－0＝，则A的相位比B的相位落后，B正确。
6.如图所示，小球以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时，小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x＝Asin，则下列说法正确的是（ ）
A.周期T＝0.5 s
B.振幅A＝20 cm
C.φ0＝
D.t＝0.125 s时，小球的位移为5 cm
解析：C 小球运动到B点时开始计时，t＝0.5 s时小球第一次到达C点，历时半个周期，故周期为T＝1 s，故A错误；振幅为小球偏离平衡位置的最大距离，故振幅为A＝10 cm，故B错误；t＝0时刻，x＝A，代入题中位移表达式可得φ0＝，故C正确；位移表达式为x＝10sincm，t＝0.125 s时，代入表达式可得小球的位移为5 cm，故D错误。
7.（2025·重庆合川月考）如图所示，弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于O点，向下运动时开始计时，经过0.5 s首次到达B点。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴Ox，用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距20 cm。
（1）请写出小球的位移x随时间t变化的关系式；
（2）求6 s内小球通过的路程及6 s末小球位移的大小。
答案：（1）x＝10sincm （2）120 cm 0
解析：（1）小球的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin（ωt＋φ）
由题意知
A＝＝10 cm
T＝4×0.5 s＝2 s
ω＝＝π rad/s
φ＝0
将A、ω和φ代入，得x＝10sin（πt）cm。
（2）由于6 s＝3T
一个周期内小球通过的路程为4A，所以，6 s内小球通过的路程为s＝3×4A＝120 cm
6 s末小球回到平衡位置，即位移大小为0。
8.（2025·江苏镇江月考）如图所示，一质点做简谐运动，O点为平衡位置，质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时2 s，质点通过N点后再经过2 s又第2次通过N点，在这4 s内质点通过的总路程为18 cm，则质点的振动周期和振幅分别为（ ）
A.10 s 12 cm B.8 s 9 cm
C.6 s 6 cm D.4 s 3 cm
解析：B 由题意知，质点由O点运动到N点用时1 s，由N点到右侧最大位移处用时1 s，所以质点由O点到右侧最大位移处用时2 s，即周期为8 s；由图可知，O点到右侧最大位移处的距离（即振幅）为9 cm，故选B。
9.心电图仪通过一系列的传感手段，可将与人心跳对应的生物电流情况记录在匀速运动的坐标纸上。医生通过心电图，测量相邻两波峰间隔的时间，便可计算出1 min内人心脏跳动的次数（即心率）。同一台心电图仪正常工作时测得被检者甲、乙的心电图分别如图a、b所示。若医生测量时记下被检者甲每分钟心跳60次，则可推知乙每分钟心跳的次数和这台心电图仪输出坐标纸的走纸速度大小分别为（ ）
A.48次，25 mm/s B.48次，36 mm/s
C.75次，45 mm/s D.75次，25 mm/s
解析：D 设甲、乙心跳的周期分别为T甲、T乙，由题图a、b可知，s甲＝vT甲，s乙＝vT乙，又T甲＝＝1 s，可求得v＝ mm/s＝25 mm/s，T乙＝＝0.8 s，乙每分钟心跳的次数为＝75次，故选项D正确。
10.A、B、C三个物体做简谐运动的振动方程分别是xA＝4sincm，xB＝6sincm，xC＝8sincm，下列说法正确的是（ ）
A.A、B两物体是同相振动 B.A、C两物体是同相振动
C.B、C两物体是同相振动 D.B、C两物体是反相振动
解析：C 因为｜Δφ1｜＝｜φA－φB｜＝，故A、B不是同相振动，A错误；因为＝｜φA－φC｜＝，故A、C不是同相振动，B错误；因为＝｜φB－φC｜＝2π，故B、C是同相振动，C正确，D错误。
11.（2024·福建高考）如图a，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图b所示，则试管（ ）
A.振幅为2.0 cm B.振动频率为2.5 Hz
C.在t＝0.1 s时速度为零 D.在t＝0.2 s时加速度方向竖直向下
解析：B 根据图像b可知，振幅为1.0 cm；周期为T＝0.4 s，则频率为f＝＝ Hz＝2.5 Hz，故A错误，B正确；根据图像b可知，t＝0.1 s时试管处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；根据图像b可知，t＝0.2 s时试管处于负向最大位置处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
12.弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t1＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t2＝0.6 s时，振子速度第二次变为v。B、C之间的距离为20 cm。
（1）求弹簧振子振动周期T；
（2）求振子在4.0 s内通过的路程；
（3）取从O向B为正方向，振子从平衡位置向C运动开始计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像。
答案：（1）0.8 s （2）2.0 m （3）见解析
解析：（1）根据已知条件分析得，振子的运动情况如图甲。
结合运动的对称性可知周期T＝0.6 s＋（0.6 s－0.2 s×2）＝0.8 s。
（2）B、C之间的距离为20 cm，则A＝10 cm ，在4.0 s＝5T的时间内，振子通过的路程s＝5×4A＝200 cm＝2.0 m。
（3）已知振幅为10 cm，规定从O到B为正方向，t＝0时刻振子从平衡位置向C运动，振子的位移为0，运动的方向为负，则弹簧振子位移表达式为x＝－Asin＝－10sin（2.5πt）cm
振动图像如图乙所示。
11 / 112.简谐运动的描述
学习目标
1.理解简谐运动的振幅、周期、频率、相位和初相位的概念。2.知道周期和频率的关系。 3.知道简谐运动的表达式，掌握表达式中各物理量的意义，体会数形结合思想的应用。 4.通过实例观察探究测量物体振动周期的方法。
知识点一 简谐运动的振幅、周期和频率
情境：如图所示，为音箱中的两个扬声器，当扬声器发声时，手摸喇叭的发音纸盆会感觉到它在振动。
问题：把音响声音调大，感觉纸盆的振动更加剧烈，想想这是为什么？
1.振幅（A）
（1）定义：振动物体离开平衡位置的 。
（2）物理意义
表示 大小的物理量，是 （选填“矢量”或“标量”）。振动物体运动的范围是振幅的 倍。
2.全振动
如果从振子向右经过O点时开始计时，则从O→N→O→M→O即完成了一次全振动。
一个 的振动过程，称为一次全振动。不管从哪儿作为开始研究的起点，做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是 的。
3.周期（T）和频率（f）
（1）周期T：做简谐运动的物体完成一次 所需要的时间，叫作振动的周期。单位：秒（s）。
（2）频率f：物体完成全振动的 与所用时间之比叫作振动的频率。单位：赫兹，简称赫，符号是Hz。数值等于 内完成全振动的次数。
（3）周期T与频率f的关系式：f＝。
（4）圆频率ω：一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”，ω＝＝ 。
（5）T、f、ω均是表示物体振动 的物理量。
（6）弹簧振子的振动周期与其 无关。所有简谐运动的周期均与其 无关。
【易错辨析】
1.周期、频率是表征物体做简谐运动振动快慢的物理量。（ ）
2.振幅就是指振子的位移。（ ）
3.振幅就是指振子的路程。（ ）
4.振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过程。（ ）
1.全振动的四个特征
（1）振动特征：一个完整的振动过程。
（2）物理量特征：位移（x）、加速度（a）、速度（v）三者第一次同时与初始状态相同。
（3）时间特征：历时一个周期。
（4）路程特征：振幅的4倍。
2.简谐运动中振幅与位移、路程、周期的关系
振幅与 位移 （1）振幅等于位移的最大值； （2）同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化
振幅与 路程 振动中的路程是随时间不断增大的，不同时间内路程与振幅的对应关系： （1）t＝T时，s＝4A，（t＝nT时，s＝n·4A）； （2）t＝T时，s＝2A； （3）t＝T时，可能有s＝A、s＞A、s＜A。 注意：只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才为s＝A
振幅与 周期 在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）是固定的，与振幅无关
【例1】 （简谐运动的位移、路程）一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，则该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程分别是多少？
尝试解答
【例2】 （简谐运动的各量的计算）如图所示，将弹簧振子从平衡位置下拉一段距离Δx，由静止释放后，小球在A、B间振动，且AB＝20 cm，小球由A首次运动到B的时间为0.1 s，求：
（1）小球振动的振幅、周期和频率；
（2）小球在5 s内通过的路程及5 s末小球偏离平衡位置的位移大小。
尝试解答
知识点二 简谐运动的相位
1.相位：物理学中把 叫作相位。φ是t＝0时的相位，称作 ，或初相。
2.相位差
（1）定义：两个具有相同 的简谐运动的相位之差。
（2）表达式：两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1＞φ2时，它们的相位差是Δφ＝（ωt＋φ1）－（ωt＋φ2）＝ 。
（3）意义：表示1的相位比2 Δφ，或者说2的相位比1 Δφ。
3.简谐运动的位移表达式
简谐运动的表达式可以写成x＝Asin（ωt＋φ）或x＝Asin。 、 、 是描述简谐运动特征的物理量。
【易错辨析】
1.相位的单位是弧度。（ ）
2.初相φ＝0时，说明物体振动开始计时时处于平衡位置。（ ）
3.ωt＋φ＝时振子处于最大位移处。（ ）
1.相位
（1）物理意义：用来描述做简谐运动的物体在各个时刻所处的不同状态。
（2）特点：相位是一个随时间变化的量，它的值为角度，其单位是弧度（rad）或度（°）。
（3）物体经历一次全振动，相位变化2π。
2.相位差的取值范围、同相和反相、超前和滞后
（1）相位差的取值范围：－π≤Δφ≤π。
（2）同相和反相：Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相；Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相。
（3）超前和滞后：Δφ＞0，表示振动1比振动2超前；Δφ＜0，表示振动1比振动2滞后。
3.简谐运动两种描述方法的比较
（1）图像法：简谐运动的图像（x-t图像）是直观表示质点振动情况的一种手段，直观地表示了质点的位移x随时间t变化的规律。如图所示，根据振动图像可获知如下信息：
（2）函数法：x＝Asin （ωt＋φ）是用函数表达式的形式反映质点的振动情况的。
（3）两者对同一个简谐运动的描述是一致的，两种表述方法可以相互转换。
【例3】 （简谐运动表达式的理解）（2025·福建泉州月考）有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是（ ）
A.x＝8×10－3sinm
B.x＝8×10－3sinm
C.x＝8×10－3sinm
D.x＝8×10－3sinm
尝试解答
【例4】 （简谐运动的两种描述方法）（2025·内蒙古呼和浩特期中）如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题：
（1）写出该振子的振幅和周期，写出简谐运动的位移与时间关系的表达式；
（2）求出在t＝19 s时振子相对平衡位置的位移及振子在19 s内的路程。
尝试解答
简谐运动的周期性与对称性
1.简谐运动的周期性
（1）若t2－t1＝nT（n＝1，2，3，…），则t1、t2两时刻振动物体一定在同一位置，描述物体运动状态的各物理量（x、a、v）均相同。
（2）若t2－t1＝nT＋T（n＝0，1，2，3，…），则t1、t2两时刻振动物体的位置一定关于平衡位置对称，描述物体运动状态的各物理量（x、a、v）均大小相等、方向相反。
2.简谐运动的对称性
（1）物理量的对称性：当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时，物体的：
①位移的大小一定相等、方向一定相反；
②加速度的大小一定相等、方向一定相反；
③速度的大小一定相等，方向可能相同、也可能相反。
（2）时间的对称性
①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等，如图所示，tBC＝tCB；
②振动物体经过关于平衡位置对称且等长的两线段的时间一定相等，如图所示，tBC＝tB'C'。
【典例1】 〔多选〕一水平弹簧振子做简谐运动，周期为T，则（ ）
A.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B.若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相反，则Δt一定等于的整数倍
C.若Δt＝T，则在t时刻和（t＋Δt）时刻振子振动的加速度一定相等
D.若Δt＝，则在t时刻和（t＋Δt）时刻弹簧的长度不一定相等
尝试解答
【典例2】 〔多选〕一弹簧振子做简谐运动，O点为平衡位置，当它经过O点时开始计时，经过0.3 s第一次到达M点，再经过0.2 s第二次到达M点，则弹簧振子第三次到达M点还要经过的时间可能为（ ）
A. s B. s C.1.4 s D.1.6 s
尝试解答
课堂小结
1.（振幅、周期、频率）〔多选〕下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是（ ）
A.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B.周期和频率的乘积是一个常数
C.振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D.做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
2.（振幅）〔多选〕如图所示，小球在B、C之间做简谐运动，O为BC的中点，B、C间的距离为10 cm，则下列说法正确的是（ ）
A.小球的最大位移是10 cm
B.只有在B、C两点时，小球的振幅是5 cm，在O点时，小球的振幅是0
C.无论小球在哪个位置，它的振幅都是5 cm
D.从任意时刻起，一个完整的振动过程内小球经过的路程都是20 cm
3.（简谐运动的表达式）〔多选〕有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sin（ 100πt＋）cm，x2＝5sincm，下列说法正确的是 （ ）
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
4.（简谐运动的周期性和对称性）〔多选〕物体做简谐运动，通过A点时的速度为v，经过时间t后物体第一次以相同速度v通过B点，又经过同样的时间物体紧接着又通过B点，已知物体在这段时间内走过的总路程为18 cm，则该简谐运动的振幅可能是（ ）
A.3 cm B.5 cm
C.7 cm D.9 cm
提示：完成课后作业 第二章 2.
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