3.简谐运动的回复力和能量
学习目标
1.会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。 2.认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 3.会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中系统的机械能守恒。
知识点一 简谐运动的回复力
情境：如图为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
问题：（1）当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
（2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
提示：（1）弹簧的弹力使振子回到平衡位置。
（2）弹簧弹力与位移大小成正比，方向与位移方向相反。
1.回复力
（1）定义：振动质点受到的总能使其回到 平衡位置 的力。
（2）方向：指向 平衡位置 。
（3）表达式：F＝ －kx 。
2.简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 正比 ，并且总是指向 平衡位置 ，物体的运动就是简谐运动。
【易错辨析】
1.简谐运动的回复力可以是恒力。（ × ）
2.回复力的方向总是跟位移的方向相反。（ √ ）
3.通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。（ √ ）
1.回复力概念的理解
（1）作用效果：使振动物体回到平衡位置。
（2）来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
（3）回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2.简谐运动的回复力的特点
（1）表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
（2）表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
【例1】 （回复力的理解）（2025·江苏南京月考）关于简谐运动，以下说法正确的是（ ）
A.回复力就是物体受到的合外力
B.回复力是根据力的作用效果命名的
C.振动中位移的方向是不变的
D.物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
解析：B 回复力不一定是物体受到的合外力，也可以是某个力的分力，故A错误；回复力是根据力的作用效果命名的，故B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置的有向线段，其方向是变化的，故C错误；物体运动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，故D错误。
【例2】 （简谐运动的判断）一质量为m、某一面的面积为S的正方体木块，放在水面上静止（平衡），如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
（1）试分析木块上下振动的回复力的来源；
（2）试证明该木块的振动是简谐运动。
答案：（1）（2）见解析
解析：（1）木块上下振动的回复力由重力和浮力的合力提供。
（2）证明：以木块为研究对象，取竖直向下为正方向，设静止时木块浸入水中的深度为Δx，当木块又被压入水中的深度为x时，撤去外力瞬间木块的受力如图所示，则F合＝mg－F浮 ①，又F浮＝ρgS（Δx＋x） ②，联立①②式可得F合＝mg－ρgS（Δx＋x）＝mg－ρgSΔx－ρgSx，又木块静止时有mg＝ρgSΔx，所以F合＝－ρgSx，即F合＝－kx（k＝ρgS），所以木块的振动是简谐运动。
方法技巧
物体是否做简谐运动的判断方法
知识点二 简谐运动的能量
情境：如图为水平弹簧振子，O点为平衡位置，B、C点为两个最大位移处。
问题：请分析振子经历B→O、O→C的过程中：
（1）振子在振动过程中动能、弹性势能怎样变化？
（2）振子在振动过程中系统的机械能变化？
提示：（1）B→O（即衡位置）的过程中：弹簧的弹力做正功，振子的动能增大，弹性势能减小；
O→C（即远离平衡位置）的过程中：弹簧的弹力做负功，振子的动能减小，弹性势能增大。
（2）振子在振动过程中只有弹簧的弹力做功，动能与弹性势能相互转化，系统的机械能守恒。
1.水平弹簧振子运动的过程就是 动能 和 势能 互相转化的过程。
（1）在最大位移处， 势能 最大， 动能 为零。
（2）在平衡位置处， 动能 最大， 势能 为零。
2.简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能 守恒 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 理想化 的模型。
【易错辨析】
1.在简谐运动中，任意时刻的动能与势能之和保持不变。（ √ ）
2.做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。（ √ ）
3.做简谐运动的物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故系统总机械能减小。（ × ）
1.简谐运动的能量的理解
决定 因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的 转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化 条件 （1）力的角度：简谐运动不考虑阻力。 （2）能量的角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功而带来的能量损耗
2.简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，
振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 向右 向右 向左 向左
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
【例3】 （弹簧振子振动过程中的能量分析）（2025·河南驻马店期末）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最大
B.小球在A、B位置时，动能为零，加速度也为零
C.小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D.小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
解析：C 振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置时，动能最大，回复力为零，加速度为零；在A、B位置时，速度为零，动能最小，位移最大，回复力最大，加速度最大，故A、B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，振子的动能和弹簧的弹性势能相互转化，且总量保持不变，即系统振动的能量保持不变，故C正确，D错误。
【例4】 （利用振动图像分析各物理量的变化）（2025·江苏无锡期末）一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.小球的位移随时间变化的关系式为x＝5sin（πt）cm B.该小球在0～5 s内的位移为0，路程为25 cm
C.在1～2 s内，小球的动能增加，弹簧的弹性势能减少 D.在2～3 s内，小球的动能增加，弹簧的弹性势能减少
解析：C 由图可知，简谐运动的周期为T＝4 s，则角速度为ω＝＝ rad/s，故小球位移随时间变化的关系式为x＝Asin（ωt）＝5sincm，故A错误；由图可知，该小球在0～5 s内的位移为5 cm，路程为25 cm，故B错误；由图可知，在1～2 s内，小球的位移减小，动能增加，弹簧的弹性势能减少，故C正确；由图可知，在2～3 s内，小球的位移增大，动能减小，弹簧的弹性势能增大，故D错误。
方法技巧
分析简谐运动中各物理量变化的技巧
（1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
（2）分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
简谐运动的“对称性”在动力学问题中的应用
1.简谐运动加速度的对称性：物体做简谐运动，通过关于平衡位置对称的两点时，加速度大小相等，方向相反。
2.动力学问题分析：分析对称点物体的受力情况，应用牛顿第二定律列方程，注意选取指向平衡位置的方向为正方向。
【典例】 （2025·湖北鄂州月考）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为m，弹簧劲度系数为k，底座质量为0.5m。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为g，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（ ）
A.公仔头部做简谐运动的振幅为
B.公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为g
C.公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长
D.公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为2.5mg
解析：A 公仔头部在最高点时，对底座受力分析，由平衡条件得弹簧弹力大小F弹1＝0.5mg，对公仔头部分析可知，此时回复力为最大值F回max＝F弹1＋mg＝mg，解得此时的加速度大小为a＝＝g，又因为回复力最大值F回max＝kA，联立解得振幅A＝，故A正确，B错误；公仔头部有最大速度时，回复力为0，即弹簧的弹力和公仔头部的重力等大反向，弹簧处于压缩状态，故C错误；根据简谐运动的对称性，当公仔头部运动到最低点时，回复力有最大值，即F回max＝mg＝F弹2－mg，解得此时弹簧弹力大小为F弹2＝mg，故底座对桌面的压力大小为F压＝0.5mg＋F弹2＝3mg，根据牛顿第三定律可知，桌面对底座支持力的大小为3mg，故D错误。
课堂小结
1.（简谐运动的回复力）下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（ ）
A.回复力是指使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移的方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
解析：B 回复力是做简谐运动的物体所受到的指向平衡位置的力，可以是合力，也可以是物体所受到的某一个力的分力，故A错误，B正确；回复力的方向总是指向平衡位置，跟物体离开平衡位置的位移方向相反，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，可能跟物体的速度方向相反，也可能跟物体的速度方向相同，故D错误。
2.（简谐运动的能量）〔多选〕（2025·山东潍坊月考）如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（ ）
A.振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B.振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D.振子在运动过程中，系统的机械能守恒
解析：CD 振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，A错误；振子由最低点向最高点运动过程中，弹力一定是先做正功，但过了平衡位置后，弹簧可能处于压缩状态，此时弹簧的弹力做负功，也可能一直是拉伸状态，此时弹簧的弹力做正功，B错误；振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中系统的机械能守恒，C、D正确。
3.（简谐运动的判断）〔多选〕如图所示，物块系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动物块，然后释放，物块在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（ ）
A.物块做简谐运动，OC＝OB B.物块做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx D.回复力F＝－3kx
解析：AD 以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物块在O点右方x处时所受合力F＝－（k1x＋k2x）＝－3kx，因此物块做简谐运动，由对称性可知，OC＝OB，故A、D正确，B、C错误。
4.（简谐运动中各物理量的变化规律）（2025·山东济宁月考）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，下列说法中正确的是（ ）
A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度不同
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的加速运动
D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的位移
解析：B t＝0.2 s时，弹簧振子到达正向位移最大位置，此时速度为零，加速度为负向最大，A错误；t＝0.1 s时，弹簧振子的速度沿正方向，t＝0.3 s与t＝0.1 s，弹簧振子经过同一位置，两个时刻的速度大小相等，方向相反，二者的速度不同，B正确；t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子逐渐远离平衡位置，弹簧振子的速度减小，加速度增大，故弹簧振子做加速度增大的减速运动，C错误；t＝0.6 s时，弹簧振子具有负向最大位移，D错误。
知识点一 简谐运动的回复力
1.〔多选〕如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，O为平衡位置，下列说法正确的是（ ）
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.振子由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.振子由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
解析：AD 回复力是根据效果命名的力，不是做简谐运动的物体受到的某种性质的力，它是由物体受到的某种性质的力所提供的，弹簧振子在运动过程中就受到重力、支持力和弹簧弹力，弹簧的弹力充当回复力，回复力方向总是指向平衡位置，故A、D正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移的大小在减小，故此过程中回复力逐渐减小，故C错误。
2.（2025·江苏南京月考）小南同学为研究浮漂在水中的振动情况，设计了如图甲所示的实验装置。浮漂下方绕上铁丝后放在静水中，浮漂静止后，将其向下缓慢按压后放手，浮漂上下振动，其运动近似为竖直方向的简谐振动。以竖直向上为正方向，从某时刻开始计时，浮漂振动图像如图乙所示，则（ ）
A.浮漂的回复力仅由浮力提供 B.浮漂的振幅为8 cm
C.振动频率与按压的深度有关 D.0.1～0.2 s内，浮漂的加速度大小增加
解析：D 浮漂的回复力由重力和浮力的合力提供，A错误；由图乙可知，浮漂的振幅为4 cm，B错误；由于浮漂做简谐运动，与弹簧振子的振动相似，结合简谐运动的特点可知，其振动频率与振幅无关，即振动频率与按压的深度无关，C错误；由图乙可知0.1～0.2 s内，浮漂的位移增大，根据a＝－可知，加速度增大，D正确。
知识点二 简谐运动的能量
3.在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是（ ）
A.速度、加速度和动能
B.加速度、动能、回复力和位移
C.加速度、速度、动能和位移
D.位移、动能、速度和回复力
解析：B 振子每次经过同一位置时，其加速度、动能、回复力和位移总相同，速度可能反向，故选B。
4.〔多选〕（2025·辽宁锦州阶段练习）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子做简谐运动，取小球平衡位置为x轴原点O，竖直向下为x轴正方向，一个周期内的振动图像如图乙所示，已知小球质量m＝4 kg，t＝0.1π s时弹簧弹力为0，重力加速度取g＝10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.弹簧劲度系数为100 N/m
B.弹簧劲度系数为200 N/m
C.0.1π～0.3π s时间内，小球动能与重力势能之和增大
D.0.1π～0.3π s时间内，小球动能与重力势能之和减小
解析：AD t＝0.1π s时弹簧处于原长，t＝0时刻，小球经过平衡位置，故弹簧劲度系数k＝＝100 N/m，故A正确，B错误；0.1π～0.3π s时间内，小球从最高点弹簧原长处下降到最低点，弹性势能不断变大，小球动能与重力势能之和不断减小，故C错误，D正确。
5.如图所示是竖直方向的弹簧振子在0～0.4 s内做简谐运动的图像，由图像可知（ ）
A.在0.25～0.3 s内，弹簧振子的回复力越来越小
B.t＝0.7 s时刻，弹簧振子的速度最大
C.系统的动能和势能相互转化的周期为0.4 s
D.系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s
解析：D 在0.25～0.3 s内，弹簧振子的位移越来越大，则回复力也越来越大，A错误；振动的周期为0.4 s，弹簧振子在0.7 s 时刻的位移最大，速度为零，B错误；动能与势能都是标量，它们变化的周期等于简谐运动的周期的一半，所以系统的动能和势能相互转化的周期为0.2 s，C错误，D正确。
6.〔多选〕光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E＝kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是（ ）
A.振子的最大加速度为8 m/s2
B.振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C.若振子在最大位移处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的动能增大
D.若振子在最大位移处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度减小
解析：AD 弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有kA2＝（0.06＋0.02）J＝0.08 J，所以该振子的振幅为A＝0.08 m，由牛顿第二定律可知，振子的最大加速度的大小为a＝＝8 m/s2，故A正确；振子经过平衡位置时，弹性势能为零，则系统机械能表现为动能，即mv2＝0.08 J，所以速度为v＝0.8 m/s，故B错误；振子在最大位移处时，速度为零，动能为零，所以质量突变为0.4 kg，不影响系统的总机械能，当振子运动到平衡位置时，势能为零，动能不变，由m'v'2＝0.08 J可知，质量增加，速度减小，故C错误，D正确。
7.如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于（ ）
A.0 B.kx
C.kx D.kx
解析：D 当物体离开平衡位置的位移为x时，弹簧弹力的大小为kx，以整体为研究对象，此时A与B具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得kx＝（m＋M）a，则a＝。以A为研究对象，使A产生加速度的力即为B对A的静摩擦力Ff，由牛顿第二定律可得Ff＝ma＝kx，故D正确。
8.（2025·内蒙古呼和浩特期中）如图甲所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在M、N两点之间做简谐运动。取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（ ）
A.0.8 s到1.2 s内，振子的加速度逐渐增大
B.t＝0.1 s和t＝0.7 s时，振子的速度相同
C.t＝0.8 s时，振子的回复力最大
D.0.4 s到1.2 s内，振子的动能先减小后增大
解析：A 0.8 s到1.2 s内，振子由平衡位置向负向最大位移处运动，其加速度逐渐增大，故A正确；t＝0.1 s和t＝0.7 s时，振子经过同一位置，速度大小相等，但速度方向相反，所以振子的速度不同，故B错误；t＝0.8 s时，振子位于平衡位置，回复力为零，故C错误；0.4 s到1.2 s内，振子由正向最大位移处向负向最大位移处运动，其动能先增大后减小，故D错误。
9.（2025·江苏无锡期中）如图所示，质量为M、倾角为α的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为μ，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时，将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g。
（1）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动。
答案：（1）L＋ （2）见解析
解析：（1）设物块在斜面上处于平衡状态时，弹簧伸长量为ΔL，根据平衡条件可得mgsin α＝kΔL
解得ΔL＝
此时弹簧的长度为L1＝L＋。
（2）当物块的位移为x时，弹簧的伸长量为x＋ΔL，物块所受合力F合＝mgsin α－k（x＋ΔL）
联立可得F合＝－kx
可知物块做简谐运动。
10.如图所示，将质量为mA＝100 g的平台A连接在劲度系数k＝200 N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地面C上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置mB＝mA的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5 cm。A的厚度可忽略不计，g取10 m/s2。求：
（1）当系统做小振幅简谐运动时，A的平衡位置离地面C多高？
（2）当振幅为0.5 cm时，B对A的最大压力有多大？
答案：（1）4 cm （2）1.5 N
解析：（1）振幅很小时，A、B不会分离，将A、B看作整体，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得kΔx0＝（mA＋mB）g，
解得弹簧的形变量Δx0＝1 cm。
平衡位置距地面高度
h＝l0－Δx0＝4 cm。
（2）当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A，最大加速度
am＝＝＝5 m/s2，
以B为研究对象，有FN－mBg＝mBam，
得A对B的支持力为
FN＝mB（g＋am）＝1.5 N，
由牛顿第三定律知，B对A的最大压力大小为1.5 N。
10 / 113.简谐运动的回复力和能量
学习目标
1.会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。 2.认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。 3.会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中系统的机械能守恒。
知识点一 简谐运动的回复力
情境：如图为水平方向的弹簧振子的振动过程示意图。
问题：（1）当振子离开O点后，是什么力使其回到平衡位置？
（2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向有何关系？
1.回复力
（1）定义：振动质点受到的总能使其回到 的力。
（2）方向：指向 。
（3）表达式：F＝ 。
2.简谐运动的动力学特征
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成 ，并且总是指向 ，物体的运动就是简谐运动。
【易错辨析】
1.简谐运动的回复力可以是恒力。（ ）
2.回复力的方向总是跟位移的方向相反。（ ）
3.通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。（ ）
1.回复力概念的理解
（1）作用效果：使振动物体回到平衡位置。
（2）来源：回复力可能由某一个力提供，也可能由几个力的合力提供，还可能由某一个力的分力提供。归纳起来，回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
（3）回复力是效果力：受力分析时只能分析物体所受的性质力，不能再“额外添加”回复力。
2.简谐运动的回复力的特点
（1）表达式：F＝－kx。
①大小：与振子的位移大小成正比；
②方向：“－”表示与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
（2）表达式F＝－kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数。
【例1】 （回复力的理解）（2025·江苏南京月考）关于简谐运动，以下说法正确的是（ ）
A.回复力就是物体受到的合外力 B.回复力是根据力的作用效果命名的
C.振动中位移的方向是不变的 D.物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零
尝试解答
【例2】 （简谐运动的判断）一质量为m、某一面的面积为S的正方体木块，放在水面上静止（平衡），如图所示，现用力向下将其压入水中一段深度后撤掉外力，木块在水中上下振动，不计空气阻力。
（1）试分析木块上下振动的回复力的来源；
（2）试证明该木块的振动是简谐运动。
尝试解答
方法技巧
物体是否做简谐运动的判断方法
知识点二 简谐运动的能量
情境：如图为水平弹簧振子，O点为平衡位置，B、C点为两个最大位移处。
问题：请分析振子经历B→O、O→C的过程中：
（1）振子在振动过程中动能、弹性势能怎样变化？
（2）振子在振动过程中系统的机械能变化？
1.水平弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程。
（1）在最大位移处， 最大， 为零。
（2）在平衡位置处， 最大， 为零。
2.简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能 ，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种 的模型。
【易错辨析】
1.在简谐运动中，任意时刻的动能与势能之和保持不变。（ ）
2.做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。（ ）
3.做简谐运动的物体在向平衡位置运动时，由于物体振幅减小，故系统总机械能减小。（ ）
1.简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定：对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，系统的机械能越大；振幅越小，振动越弱，系统的机械能越小
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化条件 （1）力的角度：简谐运动不考虑阻力。 （2）能量的角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功而带来的能量损耗
2.简谐运动中各物理量的变化规律
如图所示，振子以O点为平衡位置在A、B之间做简谐运动，各物理量的变化规律为：
物理量 运动过程
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向左 向右 向右 向左
回复力、加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 向右 向左 向左 向右
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 向右 向右 向左 向左
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
【例3】 （弹簧振子振动过程中的能量分析）（2025·河南驻马店期末）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.小球在O位置时，动能最大，加速度最大
B.小球在A、B位置时，动能为零，加速度也为零
C.小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功
D.小球从B到O的过程中，振动的能量不断增加
尝试解答
【例4】 （利用振动图像分析各物理量的变化）（2025·江苏无锡期末）一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.小球的位移随时间变化的关系式为x＝5sin（πt）cm
B.该小球在0～5 s内的位移为0，路程为25 cm
C.在1～2 s内，小球的动能增加，弹簧的弹性势能减少
D.在2～3 s内，小球的动能增加，弹簧的弹性势能减少
尝试解答
方法技巧
分析简谐运动中各物理量变化的技巧
（1）分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各矢量均在其值为零时改变方向。
（2）分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。
简谐运动的“对称性”在动力学问题中的应用
1.简谐运动加速度的对称性：物体做简谐运动，通过关于平衡位置对称的两点时，加速度大小相等，方向相反。
2.动力学问题分析：分析对称点物体的受力情况，应用牛顿第二定律列方程，注意选取指向平衡位置的方向为正方向。
【典例】 （2025·湖北鄂州月考）如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为m，弹簧劲度系数为k，底座质量为0.5m。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为g，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为零，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是（ ）
A.公仔头部做简谐运动的振幅为
B.公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为g
C.公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长
D.公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为2.5mg
尝试解答
课堂小结
1.（简谐运动的回复力）下列关于简谐运动回复力的说法正确的是（ ）
A.回复力是指使物体回到平衡位置的力，它只能由物体受到的合外力来提供
B.回复力可以是物体所受到的某一个力的分力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移的方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.（简谐运动的能量）〔多选〕（2025·山东潍坊月考）如图所示，当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是（ ）
A.振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相等，弹性势能相等
B.振子从最低点向最高点运动的过程中，弹簧弹力始终做正功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D.振子在运动过程中，系统的机械能守恒
3.（简谐运动的判断）〔多选〕如图所示，物块系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1＝k，k2＝2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动物块，然后释放，物块在B、C间振动（不计阻力），O为平衡位置，则下列判断正确的是（ ）
A.物块做简谐运动，OC＝OB B.物块做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F＝－kx D.回复力F＝－3kx
4.（简谐运动中各物理量的变化规律）（2025·山东济宁月考）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，下列说法中正确的是（ ）
A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度不同
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的加速运动
D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的位移
提示：完成课后作业 第二章 3.
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