6.受迫振动 共振
学习目标
1.知道什么是阻尼振动和受迫振动，会用能量观点分析阻尼振动的振幅变化和受迫振动的共振现象。 2.通过实验认识固有频率、驱动力频率与振动频率之间的区别和联系。 3.了解产生共振的条件，认识共振是受迫振动的一种特殊情况。 4.能够根据实际生活中的振动特点，应用振动的规律解释与解决相关问题。
知识点一 振动中的能量损失
情境：如图所示，一位大人推着小朋友荡秋千。如果大人开始时只推了小朋友一次，使小朋友荡起秋千。
问题：（1）观察较长一段时间，你发现秋千的振动有什么变化？
（2）为什么会出现这种现象？
提示：（1）秋千在振动的过程中振幅逐渐减小，最后停止振动。
（2）因为秋千在振动过程中受到空气阻力作用，振动的能量逐渐减少。
1.固有振动和固有频率
如果振动系统在没有 外力 干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定，这种振动叫作固有振动，其振动频率称为 固有频率 。
2.阻尼振动
（1）阻尼振动 振幅 随时间逐渐减小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
（2）振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到 摩擦 阻力作用，机械能逐渐转化为 内能 。
②振动系统引起邻近介质中各 质点 的振动，能量向外辐射出去。
【易错辨析】
1.单摆在空气中的摆动属于阻尼振动。（ √ ）
2.水平杆上的弹簧振子振动一段时间后停了下来，系统的机械能逐渐减小，转化为系统内能。（ √ ）
1.简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
2.阻尼振动考虑阻力的影响，是更接近实际的一种运动。
3.对阻尼振动的理解
（1）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻力的大小有关。阻力越大，振幅减小得越快。
（2）物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由系统自身的结构特点决定，并不会随振幅的减小而变化。
【例1】 （阻尼振动的理解）（2025·浙江杭州期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（ ）
A.在t1时刻，木筷处于超重状态 B.在t2时刻，木筷向下运动
C.在t2时刻，木筷所受合力不为零 D.运动过程中，机械能一直减小
解析：D 在t1时刻，木筷处于正的最大位移处，加速度方向竖直向下，木筷处于失重状态，故A错误；在t2时刻，木筷处于平衡位置，加速度为零，所受合力为零，且向上运动，故B、C错误；由于木筷做阻尼振动，所以运动过程中，机械能一直减小，故D正确。
知识点二 受迫振动
情境：如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。（实际动手做一下）
问题：（1）如果手柄不动而用手拉动一下振子，会看到什么现象？这种振动属于什么振动？
（2）用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动快慢也不相同，手柄转动越快，振子振动也越快，这能说明什么问题？
提示：（1）振子的振幅逐渐减小，属于阻尼振动。
（2）手柄转动越快，弹簧振子振动得越快，说明弹簧振子振动的周期和频率与手柄转速有关。
1.驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的 外力作用 ，外力对系统 做功 ， 补偿 系统的能量损耗，这种 周期性 的外力叫作驱动力。
2.受迫振动
（1）定义：系统在 驱动力 作用下的振动，叫作受迫振动。
（2）受迫振动的频率（周期）：
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于 驱动力 的频率，与物体的 固有频率 无关。
【易错辨析】
1.受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。（ × ）
2.受迫振动的频率等于驱动力的频率。（ √ ）
3.物体做受迫振动时，振幅可能是不变的。（ √ ）
简谐运动、阻尼振动和受迫振动的比较
振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力 作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动图像 形状不确定
振动能量 振动系统的机械能不变 振动系统的机械能逐渐减小 驱动力对振动系统做功，补偿系统的能量损耗
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因为振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
【例2】 （受迫振动的理解）下列振动中属于受迫振动的是（ ）
A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B.电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C.小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D.不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
解析：B 受到敲击后的钟不再受驱动力作用，其振动是自由振动；电磁打点计时器接通电源后，振针的振动受电源的驱动，属于受迫振动；小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动属于自由振动；不受外力的弹簧振子在竖直方向上上下振动，属于自由振动，故B正确。
【例3】 （受迫振动的周期）如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为（ ）
A.0.5 s B.0.25 s C.2 s D.4 s
解析：B 匀速转动摇把后，振子将做受迫振动，驱动力的周期跟摇把转动的周期是相同的，振子做受迫振动的周期又等于驱动力的周期，其频率也等于驱动力的频率，与振子自由上下振动的频率无关。摇把匀速转动时的转速为240 r/min＝4 r/s，故f＝4 Hz，所以驱动力的周期T＝＝ s＝0.25 s，故B正确。
知识点三 共振现象及其应用
情境：如图甲所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒些清水在其中：
问题：（1）用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，同时会溅起一些水花，如图乙所示。“洗”的振动属于什么振动？
（2）随着手掌摩擦盆耳的节奏逐渐加快，发出嗡嗡声逐渐增大，同时溅起水花逐渐增多，到一定节奏时发出嗡嗡声达到最大，会溅起层层水花，如图丙所示。“洗”的振动现象说明了什么？
提示：（1）受迫振动。 （2）“洗”的振动幅度与手掌摩擦盆耳的节奏有关，并且振幅存在一个最大值。
1.共振
（1）定义：当驱动力的频率 等于 固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到 最大值 的现象。
（2）条件：驱动力频率 等于 物体的固有频率。
（3）特征：共振时受迫振动的 振幅 最大。
（4）共振曲线：如图所示。表示受迫振动的 振幅A 与 驱动力频率f 的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
2.共振的应用和防止
（1）共振的应用
在应用共振时，应使驱动力频率 接近 或 等于 振动系统的固有频率。
（2）共振的防止
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差 越大 越好。
【易错辨析】
1.发生共振的物体所做的振动必定是受迫振动，其振动频率等于驱动力的频率。（ √ ）
2.生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。（ × ）
3.当驱动力的频率增大时，振动的振幅也一定增大。（ × ）
1.对共振条件的理解
（1）从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（2）从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2.对共振曲线的理解
（1）两坐标轴的意义
纵轴：受迫振动的振幅。
横轴：驱动力频率。
（2）f0的意义：表示固有频率。
（3）认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或 f＜f0，振幅较小，f与f0相差越大，振幅越小。
（4）结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
【例4】 （共振现象的理解）洗衣机在把衣服脱水完毕关掉电源后，电动机还要转动一会儿才能停下来，在关掉电源后，发现洗衣机先振动得比较小，然后有一段时间振动得很剧烈，然后振动又慢慢减小直至停下来，其间振动剧烈的原因是（ ）
A.洗衣机没有放平衡
B.电动机有一阵子转快了
C.电动机转动的频率和洗衣机的固有频率相近或相等
D.这只是一种偶然现象
解析：C 洗衣机脱水时，电动机转速很快，频率很大，远大于洗衣机的固有频率，因此不会发生共振现象。当脱水终止后，随着电动机转速的减小，频率也在不断减小，这期间肯定有一段时间频率接近或等于洗衣机的固有频率，从而发生共振现象，使洗衣机剧烈振动，故只有选项C正确。
【例5】 （共振的应用与防止）为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速。如果某路面上的减速带的间距为2.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（ ）
A.当汽车以8 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz B.汽车速度越大，颠簸就越厉害
C.当汽车以5 m/s的速度行驶时颠簸最厉害 D.当汽车以5 m/s的速度行驶时最不颠簸
解析：C 当汽车以8 m/s的速度行驶时，汽车的频率为f＝＝＝ Hz＝3.2 Hz，故A错误；当汽车以5 m/s 的速度行驶时，驱动力的频率为f＝＝＝ Hz＝2 Hz，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体发生共振，振幅最大，显然此时驱动力的频率和汽车的固有频率相同，所以此时汽车颠簸最厉害，故B、D错误，C正确。
【例6】 （共振曲线）图a为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆动起来，观察单摆P（图中未标出）能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图b中，用光滑曲线连接各点得到如图b所示曲线。取重力加速度g≈π2 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.单摆P的固有频率约为1 Hz
B.装置a中只有一个单摆的摆长约为1.0 m
C.当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为0.25 m
D.单摆P的振动周期总为2 s
解析：C 图b为单摆P的共振曲线，振幅最大时对应的频率为0.5 Hz，此频率接近或等于其固有频率，故A错误；单摆P振幅最大时，先振动的单摆与P的固有周期相近或相同，P的固有周期约为2.0 s，由T＝2π可求得，其摆长约为1.0 m，说明装置中至少有两个单摆的摆长约为1.0 m，故B错误；当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆的固有频率也为1.0 Hz，由T＝2π，可得摆长约0.25 m，故C正确；单摆P做受迫振动的周期与先振动的单摆周期相同，故D错误。
课堂小结
1.（阻尼振动）〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.阻尼振动必定有机械能损失
B.物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小
C.物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变
D.做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定
解析：ACD 做阻尼振动的物体，其振幅不断减小，所以其机械能也在不断减小，即必定有机械能损失，但其频率由自身结构特点决定，与振幅无关，所以其频率不变。故A、C、D正确，B错误。
2.（阻尼振动的图像）〔多选〕（2025·湖南衡阳高二开学考试）如图所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图像，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是（ ）
A.振子在A时刻的动能等于在B时刻的动能
B.振子在A时刻的势能等于在B时刻的势能
C.振子在A时刻的机械能大于在B时刻的机械能
D.从A时刻到B时刻振子的振动频率越来越小
解析：BC 由于弹簧振子做阻尼振动，所以振子在A时刻的机械能大于在B时刻的机械能，C正确；振子的势能与振子的位移有关，A、B时刻振子的位移相同，势能相同，B正确；振子在A、B两时刻的势能相同，而在A时刻的机械能更大，则振子在A时刻的动能大于在B时刻的动能，A错误；阻尼振动的振幅不断减小，但频率不变，D错误。
3.（共振）（2025·福建厦门月考）如图所示，一根张紧的水平绳上用细线挂了4个小球，摆长 lB＜lA＝lC＜lD，开始4个小球均处于静止状态，将A拉开一个小角度后由静止释放，其他三个小球随之振动。经过一小段时间后，B、C、D三个小球中（ ）
A.B球的周期最大 B.D球的周期最大
C.C球的振幅最大 D.D球的振幅最大
解析：C B、C、D三个小球都做受迫振动，其振动周期都与A球振动周期相同，故A、B错误；根据f＝，T＝2π可知，C球的固有频率与A球的振动频率相同，所以只有C球发生共振现象，C球的振幅最大，故C正确，D错误。
4.（共振曲线）（鲁科版选择性必修第一册·P60·T4）〔多选〕一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.假如让振子自由振动，它的频率为f2
B.驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
C.驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
D.振子做自由振动时，频率可能为f1、f2和f3
解析：ABC 由共振曲线可知，当驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态，可得弹簧振子的固有频率为f2，故振子自由振动时的频率为f2，故A、B正确，D错误；由受迫振动的频率等于驱动力的频率可知，驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3，故C正确。
知识点一 振动中的能量损失
1.小朋友玩秋千时，秋千自由摆动的振幅越来越小，下列说法正确的是（ ）
A.机械能守恒 B.能量正在消失
C.总能量守恒，机械能减小 D.只有动能和势能的相互转化
解析：C 自由摆动的秋千，振幅越来越小，则振动系统中的能量转化不只是系统内部动能和势能的相互转化，振动系统是一个开放系统，与外界时刻进行着能量交换，但总能量守恒，系统由于受到阻力作用，消耗系统机械能，从而使振动的机械能不断减小，故C正确。
2.（2025·江苏徐州月考）下列说法正确的是（ ）
A.阻尼振动可能是简谐运动
B.弹簧振子的振动周期与弹簧振子的振幅有关
C.当驱动力的频率等于固有频率时，物体会发生共振现象
D.受迫振动的振幅由驱动力的大小决定，与系统的固有频率无关
解析：C 阻尼振动是振幅不断减小的振动，所以阻尼振动中机械能也不断减小，阻尼振动一定不是简谐运动，故A错误；弹簧振子的周期公式为T＝2π，可知弹簧振子的振动周期与弹簧振子的振幅无关，故B错误；当驱动力的频率等于固有频率时，物体振动的振幅最大，发生共振现象，故C正确；做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，由驱动力的频率决定，与物体固有频率无关，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体的振幅最大，发生共振，故D错误。
3.如图所示，物体静止于水平面上的O点，这时弹簧恰为原长l0，物体的质量为m，与水平面间的动摩擦因数为μ，现将物体向右拉一段距离后自由释放，使之沿水平面振动，下列结论正确的是（ ）
A.物体通过O点时所受的合外力为零
B.物体将做阻尼振动
C.物体最终只能停止在O点
D.物体停止运动后所受的摩擦力为μmg
解析：B 物体通过O点时，弹簧的弹力为零，但摩擦力不为零，故合外力不为零，选项A错误；物体振动时要克服摩擦力做功，机械能减少，振幅减小，做阻尼振动，选项B正确；物体最终停止的位置可能在O点也可能不在O点，选项C错误；若停在O点摩擦力为零，若不在O点，摩擦力和弹簧的弹力平衡，停止运动时物体所受的摩擦力不一定为μmg，选项D错误。
知识点二 受迫振动和共振
4.〔多选〕如图所示，两个质量不同的小球M和m，悬挂在同一根水平细线上，当M在垂直于水平细线的平面内摆动时，下列说法正确的是（ ）
A.两摆的振动周期是相同的
B.当两摆的摆长相等时，m的振幅最大
C.悬挂M的竖直细线长度变化时，m的振幅不变
D.m的振幅可能超过M的振幅
解析：ABD 当M在垂直于水平细线的平面内摆动时，m将做受迫振动，其振动周期与M的振动周期相同，当悬挂M的竖直细线的长度变化时，m的振幅也随之变化，当两摆长相等时，m发生共振，振幅最大，故A、B正确，C错误；当m发生共振时，其振幅可超过M的振幅，D正确。
5.〔多选〕（2025·重庆合川月考）某手机正在充电时，闹钟响起的同时手机振动，充电线也跟着振动，手机振动的频率为f1，充电线上某点的频率为f2，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.充电线上离手机充电口近的点先振动
B.手机振动的频率越大，充电线抖动的幅度越大
C.充电线做的振动是受迫振动
D.同一手机，更换不同长度的充电线，其振动时的频率不同
解析：AC 充电线上越靠近手机的点越先振动，所以充电线上离手机充电口近的点先振动，故A正确；当手机振动的频率等于充电线振动的固有频率时，充电线抖动幅度最大，若手机振动的频率增大，无法判断手机的频率是否靠近充电线抖动的固有频率，无法判断幅度大小，所以手机振动的频率越大，充电线抖动幅度不一定越大，故B错误；闹钟响起手机振动，充电线也跟着振动，可知充电线做受迫振动，则有f1＝f2，由于受迫振动的频率取决于驱动力的频率，所以同一手机，更换不同长度充电线，振动的频率相同，均等于手机振动的频率，故C正确，D错误。
6.（2025·浙江金华期末）如图所示，振动桩锤是桩基础施工的重要设备之一。桩锤工作时引起桩身周围土体振动，使桩身和土体间的黏合度降低，从而减小沉桩阻力。下列说法正确的是（ ）
A.针对不同土体，最有利于沉桩的桩锤振动频率都相同
B.针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度越大
C.桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同
D.为保障打桩机机身稳定，桩锤的振动频率应尽量接近机身的固有频率
解析：C 针对不同土体，由于系统的固有频率可能不同，所以最有利于沉桩的桩锤振动频率可能不同，故A错误；根据共振条件可知，当驱动力频率等于固有频率时，做受迫振动的振幅最大，则针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度不一定越大，故B错误；做受迫振动的频率等于驱动力的频率，可知桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同，故C正确；为保障打桩机机身的稳定，桩锤的振动频率应尽量远离机身的固有频率，故D错误。
7.（2025·江苏镇江期中）汽车的车身是装在底座的弹簧上，某车以不同的速度通过装有间隔2 m的连续减速带，车身振动的振幅A与汽车速度v的关系如图所示。若汽车以12 m/s的速度通过连续减速带过程中，车身振动的频率为f，车身的固有频率为f0，下列说法正确的是（ ）
A.f＝6 Hz，f0＝10 Hz B.f＝6 Hz，f0＝6 Hz
C.f＝10 Hz，f0＝10 Hz D.f＝10 Hz，f0＝6 Hz
解析：A 根据图像可知，当速度为20 m/s时，发生共振，此时驱动力频率等于固有频率，所以固有频率为f0＝＝10 Hz，汽车以12 m/s的速度通过连续减速带的过程中，车身振动的频率等于驱动力的频率，即f＝＝6 Hz，故选A。
8.（2025·山东德州期中）图a是飞力士棒，它是一种轻巧的运动训练器材，是一根弹性杆两端带有负重的器械。某型号的飞力士棒质量为500 g，长度为1.6 m，固有频率为5.0 Hz，图b是使用者用手振动该飞力士棒进行锻炼。下列说法正确的是（ ）
A.若手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定增大
B.若手振动的频率减小，飞力士棒振动的幅度一定增大
C.当手振动的频率为5.0 Hz时，飞力士棒振动的幅度最大
D.要使飞力士棒产生共振，需要驱动该飞力士棒每分钟振动30次
解析：C 当手振动的频率靠近该飞力士棒的固有频率时，飞力士棒振动的幅度才会变大，故A、B错误，C正确；当手振动的频率等于该飞力士棒的固有频率时，飞力士棒产生共振，则手的振动频率为5 Hz，即每秒钟振动5次，则一分钟振动300次，故D错误。
9.〔多选〕（2025·山东日照期中）如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架下面系着一个弹簧和小球组成的固有周期为2 s的振动系统。现使圆盘以频率f匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定。下列判断正确的是（ ）
A.f＝1 Hz时，小球振动的周期为2 s
B.f＝0.25 Hz时，小球振动的周期为4 s
C.f越大，小球振动的振幅就越大
D.小球振动的振幅最大时，f一定为0.5 Hz
解析：BD 当f＝1 Hz时，小球振动的周期为T1＝＝ s＝1 s，f＝0.25 Hz时，小球振动的周期为T2＝＝ s＝4 s，故A错误，B正确；当f＝0.5 Hz时，圆盘转动的周期为2 s，与弹簧和小球组成的系统的固有周期相等，此时小球产生共振，振幅最大，故C错误，D正确。
10.（2025·江苏扬州期中）单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图2中甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图1所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个都可能振动起来，不计空气阻力。下列判断正确的是（ ）
A.若使M振动起来，P不会振动
B.若使P振动起来，稳定时N比M的振幅大
C.若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
D.若使M振动起来，稳定时N振动的周期仍小于2 s
解析：C 若使M振动起来，其他小球也随之振动，做受迫振动，A错误；若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，B错误； O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则稳定时M的振动周期为3 s，C正确；使M振动起来，稳定时N振动的周期等于M的振动周期，即2 s，故D错误。
11.（2025·江苏镇江月考）图甲是一单摆，图乙是单摆做阻尼振动的x-t图像，则此单摆的摆球在图乙中P与N时刻的（ ）
A.速度vP＝vN B.加速度aP＝aN
C.绳的拉力FP＝FN D.重力势能EP＝EN
解析：D 由图乙可知，单摆做阻尼振动，则单摆的机械能越来越小，单摆的振幅越来越小。由图乙知，摆球在P与N时刻与最低点的距离相等，则重力势能相等，由摆球做阻尼振动可知动能EkN＜EkP，所以vP＞vN，故A错误，D正确；由于摆球在P与N时刻偏离竖直方向的角度θ相等，则其沿运动轨迹切线方向的加速度大小均为ax＝＝gsin θ，设摆长为l，摆球沿摆线方向的加速度大小为an＝，由于vP＞vN，可知anP＞anN，根据a＝，可得摆球在P与N时刻的加速度大小aP＞aN，故B错误；摆球在P和N时刻，沿摆线方向，根据牛顿第二定律有F－mgcos θ＝man，由前面分析知anP＞anN，则P与N时刻绳子的拉力FP＞FN，故C错误。
12.汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干个弹簧上，弹簧的等效劲度系数k＝1.5×105 N/m。汽车开动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f＝（l为车厢在平衡位置时弹簧被压缩的长度）。若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉到最难受。（取g＝9.8 m/s2）
答案：5人
解析：当汽车振动的频率f＝2 Hz时，即达到人的固有频率时，人感到最难受，
设乘坐n个人时，人感到最难受，
则由f＝，得l＝≈0.062 1 m，
由胡克定律Mg＋nmg＝kl，
得n＝＝
≈5（人）。
13 / 136.受迫振动 共振
学习目标
1.知道什么是阻尼振动和受迫振动，会用能量观点分析阻尼振动的振幅变化和受迫振动的共振现象。 2.通过实验认识固有频率、驱动力频率与振动频率之间的区别和联系。 3.了解产生共振的条件，认识共振是受迫振动的一种特殊情况。 4.能够根据实际生活中的振动特点，应用振动的规律解释与解决相关问题。
知识点一 振动中的能量损失
情境：如图所示，一位大人推着小朋友荡秋千。如果大人开始时只推了小朋友一次，使小朋友荡起秋千。
问题：（1）观察较长一段时间，你发现秋千的振动有什么变化？
（2）为什么会出现这种现象？
1.固有振动和固有频率
如果振动系统在没有 干预的情况下做简谐运动，周期或频率仅由系统自身的性质决定，这种振动叫作固有振动，其振动频率称为 。
2.阻尼振动
（1）阻尼振动 随时间逐渐减小的振动。阻尼振动的图像如图所示，振幅越来越小，最后停止振动。
（2）振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到 阻力作用，机械能逐渐转化为 。
②振动系统引起邻近介质中各 的振动，能量向外辐射出去。
【易错辨析】
1.单摆在空气中的摆动属于阻尼振动。（ ）
2.水平杆上的弹簧振子振动一段时间后停了下来，系统的机械能逐渐减小，转化为系统内能。（ ）
1.简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
2.阻尼振动考虑阻力的影响，是更接近实际的一种运动。
3.对阻尼振动的理解
（1）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻力的大小有关。阻力越大，振幅减小得越快。
（2）物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由系统自身的结构特点决定，并不会随振幅的减小而变化。
【例1】 （阻尼振动的理解）（2025·浙江杭州期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（ ）
A.在t1时刻，木筷处于超重状态
B.在t2时刻，木筷向下运动
C.在t2时刻，木筷所受合力不为零
D.运动过程中，机械能一直减小
尝试解答
知识点二 受迫振动
情境：如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。（实际动手做一下）
问题：（1）如果手柄不动而用手拉动一下振子，会看到什么现象？这种振动属于什么振动？
（2）用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动快慢也不相同，手柄转动越快，振子振动也越快，这能说明什么问题？
1.驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的 ，外力对系统 ， 系统的能量损耗，这种 的外力叫作驱动力。
2.受迫振动
（1）定义：系统在 作用下的振动，叫作受迫振动。
（2）受迫振动的频率（周期）：
物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于 的频率，与物体的 无关。
【易错辨析】
1.受迫振动的频率等于振动系统的固有频率。（ ）
2.受迫振动的频率等于驱动力的频率。（ ）
3.物体做受迫振动时，振幅可能是不变的。（ ）
简谐运动、阻尼振动和受迫振动的比较
振动类型 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力 作用 受阻力作用 受阻力和驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动图像 形状不确定
振动能量 振动系统的机械能不变 振动系统的机械能逐渐减小 驱动力对振动系统做功，补偿系统的能量损耗
实例 弹簧振子振动，单摆做小角度摆动 敲锣打鼓发出的声音越来越弱，是因为振幅越来越小 扬声器纸盆振动发声，钟摆的摆动
【例2】 （受迫振动的理解）下列振动中属于受迫振动的是（ ）
A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B.电磁打点计时器接通电源后，振针的振动
C.小孩睡在自由摆动的吊床上，随吊床一起摆动
D.不受外力的弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
尝试解答
【例3】 （受迫振动的周期）如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，而让振子自由上下振动，测得其频率为2 Hz，然后匀速转动摇把，转速为240 r/min，当振子振动稳定时，它振动的周期为（ ）
A.0.5 s B.0.25 s
C.2 s D.4 s
尝试解答
知识点三 共振现象及其应用
情境：如图甲所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，现代亦有许多仿制的工艺品。倒些清水在其中：
问题：（1）用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，同时会溅起一些水花，如图乙所示。“洗”的振动属于什么振动？
（2）随着手掌摩擦盆耳的节奏逐渐加快，发出嗡嗡声逐渐增大，同时溅起水花逐渐增多，到一定节奏时发出嗡嗡声达到最大，会溅起层层水花，如图丙所示。“洗”的振动现象说明了什么？
1.共振
（1）定义：当驱动力的频率 固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到 的现象。
（2）条件：驱动力频率 物体的固有频率。
（3）特征：共振时受迫振动的 最大。
（4）共振曲线：如图所示。表示受迫振动的 与 的关系图像，图中f0为振动物体的固有频率。
2.共振的应用和防止
（1）共振的应用
在应用共振时，应使驱动力频率 或 振动系统的固有频率。
（2）共振的防止
在防止共振时，应使驱动力频率与系统的固有频率相差 越好。
【易错辨析】
1.发生共振的物体所做的振动必定是受迫振动，其振动频率等于驱动力的频率。（ ）
2.生活中应尽量使驱动力的频率接近振动系统的固有频率。（ ）
3.当驱动力的频率增大时，振动的振幅也一定增大。（ ）
1.对共振条件的理解
（1）从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
（2）从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2.对共振曲线的理解
（1）两坐标轴的意义
纵轴：受迫振动的振幅。
横轴：驱动力频率。
（2）f0的意义：表示固有频率。
（3）认识曲线形状：f＝f0，共振；f＞f0或 f＜f0，振幅较小，f与f0相差越大，振幅越小。
（4）结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
【例4】 （共振现象的理解）洗衣机在把衣服脱水完毕关掉电源后，电动机还要转动一会儿才能停下来，在关掉电源后，发现洗衣机先振动得比较小，然后有一段时间振动得很剧烈，然后振动又慢慢减小直至停下来，其间振动剧烈的原因是（ ）
A.洗衣机没有放平衡
B.电动机有一阵子转快了
C.电动机转动的频率和洗衣机的固有频率相近或相等
D.这只是一种偶然现象
尝试解答
【例5】 （共振的应用与防止）为了交通安全，常在公路上设置如图所示的减速带，减速带使路面稍微拱起以达到使车辆减速的目的。一排等间距设置的减速带，可有效降低车速。如果某路面上的减速带的间距为2.5 m，一辆固有频率为2 Hz的汽车匀速驶过这排减速带，下列说法正确的是（ ）
A.当汽车以8 m/s的速度行驶时，其振动频率为2 Hz
B.汽车速度越大，颠簸就越厉害
C.当汽车以5 m/s的速度行驶时颠簸最厉害
D.当汽车以5 m/s的速度行驶时最不颠簸
尝试解答
【例6】 （共振曲线）图a为演示单摆共振的装置，实验时依次让不同的单摆先摆动起来，观察单摆P（图中未标出）能达到的最大振幅A和稳定时的振动频率f，并描点记录在图b中，用光滑曲线连接各点得到如图b所示曲线。取重力加速度g≈π2 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.单摆P的固有频率约为1 Hz
B.装置a中只有一个单摆的摆长约为1.0 m
C.当单摆P稳定时的振动频率为1.0 Hz时，先振动的单摆摆长约为0.25 m
D.单摆P的振动周期总为2 s
尝试解答
课堂小结
1.（阻尼振动）〔多选〕下列说法正确的是（ ）
A.阻尼振动必定有机械能损失
B.物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小
C.物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变
D.做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定
2.（阻尼振动的图像）〔多选〕（2025·湖南衡阳高二开学考试）如图所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图像，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是（ ）
A.振子在A时刻的动能等于在B时刻的动能
B.振子在A时刻的势能等于在B时刻的势能
C.振子在A时刻的机械能大于在B时刻的机械能
D.从A时刻到B时刻振子的振动频率越来越小
3.（共振）（2025·福建厦门月考）如图所示，一根张紧的水平绳上用细线挂了4个小球，摆长 lB＜lA＝lC＜lD，开始4个小球均处于静止状态，将A拉开一个小角度后由静止释放，其他三个小球随之振动。经过一小段时间后，B、C、D三个小球中（ ）
A.B球的周期最大 B.D球的周期最大
C.C球的振幅最大 D.D球的振幅最大
4.（共振曲线）（鲁科版选择性必修第一册·P60·T4）〔多选〕一弹簧振子做受迫振动时的振幅与驱动力频率的关系如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.假如让振子自由振动，它的频率为f2
B.驱动力的频率为f2时，振子处于共振状态
C.驱动力的频率为f3时，振子的振动频率为f3
D.振子做自由振动时，频率可能为f1、f2和f3
提示：完成课后作业 第二章 6.
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