章末整合提升 体系构建 素养提升
一、简谐运动的两个模型——弹簧振子和单摆
1.弹簧振子
弹簧振子是一种忽略摩擦、忽略弹簧质量的理想化模型。对于弹簧振子来讲，弹簧的劲度系数确定了，振子的质量确定了，其振动的周期和频率也就确定了。无论是水平放置还是竖直悬挂，T和f均不变，即其周期T和频率f由振动系统本身的性质决定。
振动的回复力可能是弹力或重力与弹力的合力，视具体情况而定。
2.单摆
（1）构成：一条不可伸长、忽略质量的细线下端拴一可视为质点的小球。
（2）回复力：重力沿圆弧切线方向的分力。
（3）周期：在摆角很小的条件下，单摆的摆动可看成简谐运动，其周期为T＝2π。
T与摆球质量、振幅都无关，称为单摆的等时性。
（4）应用：测重力加速度g，g＝。
【例1】 （2024·甘肃高考3题）小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是（ ）
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
尝试解答
【例2】 （2024·吉林高考7题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图（b）所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（ ）
A.2n B. C. D.
尝试解答
二、简谐运动的往复性、对称性和周期性
1.变化特点：抓住两条线
第一，从中间到两边（平衡位置到最大位移处）：x↑，F↑，a↑，v↓，动能Ek↓，势能Ep↑，机械能E不变。
第二，从两边到中间（最大位移到平衡位置）：x↓，F↓，a↓，v↑，动能Ek↑，势能Ep↓，机械能E不变。
2.周期性：简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。
3.对称性：简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。
（1）速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
（2）加速度（或回复力）的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
（3）时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等。
【例3】 （2024·北京高考9题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A.t＝0时，弹簧弹力为0 B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大 D.a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2
尝试解答
【例4】 〔多选〕（2023·山东高考10题）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（ ）
A.，3t B.，4t C.，t D.，t
尝试解答
【考教衔接】
真题 探源 本题源于人教版选择性必修第一册P42·【练习与应用】T1的情境：一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点。求该小球做简谐运动的可能周期
衔接 分析 （1）2023·山东高考·T10求解简谐振动过程的可能周期及振幅问题。 （2）人教版选择性必修第一册P42·【练习与应用】T1求解简谐振动过程的可能周期问题
解题 通法 简谐运动的速度、加速度、位移关于平衡位置对称的两点具有对称性，而振子通过某点的速度方向有两种可能，引起多解问题
三、振动图像的应用
1.确定振动的振幅
如图所示的振幅是10 cm。
2.确定振动的周期和频率
振动图像上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz。
3.确定振动物体在任意时刻的位移
如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm。
4.确定各时刻质点的振动方向
如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正沿正方向向着平衡位置运动。
5.比较各时刻质点加速度的大小和方向
如图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为｜x1｜＞｜x2｜，所以｜a1｜＞｜a2｜。
【例5】 （2024·甘肃高考5题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大 B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同 D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
尝试解答
1 / 3章末整合提升 体系构建 素养提升
一、简谐运动的两个模型——弹簧振子和单摆
1.弹簧振子
弹簧振子是一种忽略摩擦、忽略弹簧质量的理想化模型。对于弹簧振子来讲，弹簧的劲度系数确定了，振子的质量确定了，其振动的周期和频率也就确定了。无论是水平放置还是竖直悬挂，T和f均不变，即其周期T和频率f由振动系统本身的性质决定。
振动的回复力可能是弹力或重力与弹力的合力，视具体情况而定。
2.单摆
（1）构成：一条不可伸长、忽略质量的细线下端拴一可视为质点的小球。
（2）回复力：重力沿圆弧切线方向的分力。
（3）周期：在摆角很小的条件下，单摆的摆动可看成简谐运动，其周期为T＝2π。
T与摆球质量、振幅都无关，称为单摆的等时性。
（4）应用：测重力加速度g，g＝。
【例1】 （2024·甘肃高考3题）小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是（ ）
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物，测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
解析：D 天宫实验室内，所有物体均处于完全失重状态，与重力有关的实验均不能进行，A、B、C错误；根据万有引力提供向心力有G＝mr＝mg空，解得g空＝r，D正确。
【例2】 （2024·吉林高考7题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图（b）所示（不考虑自转影响）。设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（ ）
A.2n B. C. D.
解析：C 在地球表面，小球处于平衡位置时有m0g1＝k·2A，在该天体表面，小球处于平衡位置时有m0g2＝kA，联立解得＝，在星球表面有G＝mg，星球的密度ρ＝，又V＝πR3，解得ρ＝，则＝＝，C正确。
二、简谐运动的往复性、对称性和周期性
1.变化特点：抓住两条线
第一，从中间到两边（平衡位置到最大位移处）：x↑，F↑，a↑，v↓，动能Ek↓，势能Ep↑，机械能E不变。
第二，从两边到中间（最大位移到平衡位置）：x↓，F↓，a↓，v↑，动能Ek↑，势能Ep↓，机械能E不变。
2.周期性：简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回到原来的状态。
3.对称性：简谐运动的物体具有相对平衡位置的对称性。
（1）速率的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率。
（2）加速度（或回复力）的对称性：系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力。
（3）时间的对称性：系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等。振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过的时间相等。
【例3】 （2024·北京高考9题）图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A.t＝0时，弹簧弹力为0 B.t＝0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t＝0至t＝0.2 s，手机的动能增大 D.a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2
解析：D 由题图乙可知，t＝0时，手机加速度为0，则此时手机所受合力为0，可知此时弹簧弹力大小F＝mg，A错误；由题图乙可知，t＝0.2 s时，手机加速度向上，则此时弹簧弹力向上且大于重力，由胡克定律可知，此时弹簧伸长量大于平衡位置弹簧的伸长量，故此时手机处于平衡位置下方，B错误；从t＝0至t＝0.2 s，手机由平衡位置向下运动，又合力方向向上，则合力对手机做负功，由动能定理可知，该过程手机的动能减小，C错误；由题图乙可知ω＝＝＝2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a＝4sin（2.5πt）m/s2，D正确。
【例4】 〔多选〕（2023·山东高考10题）如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是（ ）
A.，3t B.，4t
C.，t D.，t
解析：BC 作出质点的振动图像，如图所示，若平衡位置在A、B两点的中间，则有＋＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＋＝t，解得周期T＝；若平衡位置在A点的左侧，则有－＝L，解得振幅A＝，质点从A点到第二次经过B点的时间为t，则有＝t，解得周期T＝4t，故A、D错误，B、C正确。
【考教衔接】
真题 探源 本题源于人教版选择性必修第一册P42·【练习与应用】T1的情境：一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点。求该小球做简谐运动的可能周期
衔接 分析 （1）2023·山东高考·T10求解简谐振动过程的可能周期及振幅问题。 （2）人教版选择性必修第一册P42·【练习与应用】T1求解简谐振动过程的可能周期问题
解题 通法 简谐运动的速度、加速度、位移关于平衡位置对称的两点具有对称性，而振子通过某点的速度方向有两种可能，引起多解问题
三、振动图像的应用
1.确定振动的振幅
如图所示的振幅是10 cm。
2.确定振动的周期和频率
振动图像上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期。由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz。
3.确定振动物体在任意时刻的位移
如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm。
4.确定各时刻质点的振动方向
如图中的t1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正沿正方向向着平衡位置运动。
5.比较各时刻质点加速度的大小和方向
如图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因为｜x1｜＞｜x2｜，所以｜a1｜＞｜a2｜。
【例5】 （2024·甘肃高考5题）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
解析：C 由单摆的振动图像可知，振动周期为T＝0.8π s，由单摆的周期公式T＝2π得，摆长为l＝＝1.6 m，x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。综上所述，C正确。
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