河子大学引航辅导班·内部资料
终稿
初一数学恶复习
第一部分有理齦
数的扩充
数
故正整数
做负整数;正整数
数和零统称为
数;数
做正分数
做负分数
数和负分数统称为
分数;整数和分数统称为有理数
思考并回答下列问题
整数吗
数吗 是有理数吗
整数吗 是正数
有理数
③自然数就是整数吗 是正数吗 是有理数
有理数的分类
的分类标准可以将有理数进行不同的分类
将有理数按“整”和“分”的属性
按每类数
如下分类表
整数
整数{0
有理数
负整
分数{正分数
分数
②先将有理
按每类数的“整
如下分类表
理数
负有理数{
负整
数数数数
注:①“0”也是自然数
的特殊性
把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集(
有正数组成的集
做正数集合;所有负数组成的集合
数集合;所有整数组成的集合叫整数集合;所有分数组成的集
分数集
有有理数组成的集合叫有理数集合;所有正整数和零组成的集合叫做自然数集
数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数
原点、正
度是数轴的三要素,原点位置的选定
位长度
确定
根据需要认为规定的
定是水平的
动态演示各种类型的数轴。认识和掌握判断一条直线是不是数轴的依据
例题;例
断下图
数轴是否正确
确,指出错在哪
2-0I23
L
234
分析:原点
位长度这数轴的三要素
可
解答:都不正确,(1)缺少单位长度;(2)缺少正方向;(3)缺少原点;(4)单位长度
例2:比较下列各数的大小
3-1.30.3
解:将这些数分别在数轴上表示出来
所
0
6.绝对值的非负性
绝对
义可知:不论有理数a取
绝对值总是正数或0(通常也称非负数),绝对值具
河子大学引航辅导班·内部资料
有非负性,即
△.一个正数的绝对值是它本身:2.0的绝对值是013.一个负数的绝对值是它的相反数
若a>0
若
数的绝对值
【同步达纲练习】
列各数填在相应的大
整数集合{
整数集合{
分数集合{
整数集合{
负数集合{
数集合{
整数集合和负整数集合并在一起,构成整数集
数集合和负数集合并在一起,构成有理数集合
(3)某仓库
货
20吨货
(4)如果下降3
米,那么不升不降记作0米
25不是分数,所以不是有理数
(6)在小学学过的数的前面添上“”号,就是负数
物体可以左右移动,设向左移动为正,那么向右移动3m应记作3m
填空题
(1)如果规定中午以后时间
后
时记竹
前4小时
小时
表示支出3
那么+300元表示
零件的长度比标准长度短1.5毫米记作-1.5毫米,那么比较标准长度多2毫米记作
毫米
(4)甲地海拔60米,乙地海拔10米,丙地海拔-30米,最高
地丙地比
(5)如果把增产10%记
那么减产
表
(6)有理数中,最小的
最大的负整数是
数中,是整数而不是正数的是
是负数而不是分数的
(8)正整数集
分数集合并在一起
数集合,既不是正整数
整数的
(1)下列四种说法,正确的是
所有的正数都是整数
不是正数的数一定是负数
有理数包括整数和分数
不是最小的有理数石河子大学引航辅导半 内部资料
初一数学总复习参考答案
第一部分 有理数
【同步达纲练习】1.略,2. ××√√ ×××3.(1)+3,-4,0; (2)收入 300 元; (3)+2;(4)甲,90,40; (5)-50%,
减产 12% (6)1,-1 (7)负整数和 0,负整数; (8)正有理数,0 4.(1)D, (2)B, (3)A, (4)D. 【素质优化训练】
1.不对,因为小数包括无限不循环小数,而无限不循小数不能化成分数;2.a 可以是正数,也可以是负数,还
可以是 0,a 表示有理数;3.表明石英钟走 24 小时,快或慢都小于 0.5 秒,“+”通常表示快，“-”通常表示慢.
第二部分整式的加减
【模拟试题】【试题答案】（其余部分略）
1 1 1 7
1. ＜ 2. 当 x = 时，它的值为 3. b = ± 4. 5. 解：不妨假设 x < y ，故 y = x +1，则
2 2 6 5
2
s 2 = (x 2 + x +1)2 x 2又 + x +1 = x 1 3+ + > 0 所以 s = x(x +1)+1 Q x(x + 1)为偶数 2 4
那么 x(x +1) +1为奇数 即 S 为奇数
第三部分 相交线与平行线
平行线的特征（15 分钟练习）一、1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.×
二、1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 三、1.互补 2.62° 3.180° 4.60° 60° 120°四、1.角平分线定
义 ∠3 DE BC 内错角相等，两直线平行 ∠C 两直线平行，同位角相等 2.∠D 两直线平行，同
旁内角互补 ∠B 两直线平行，同旁内角互补 ∠D 4.用尺规作线段和角一、1.× 2.√ 3.× 4.√
二、1.AB 为半径画弧 A′B′2.任意长 OC CD 三、略
第四部分 三角形
一. 选择题。 1. C 2. B 3. C 4. B 5. B 6. C 二. ∠EBD＝∠EDB＝35°，∠BED＝110°三. 先证△ACD
≌△BCD（SSS），再证△DCM≌△DCN（SAS）四. 补充：BC＝DC 或∠BAC＝∠DAC 或∠BCA＝∠DCA
或 AB＝AD 理由略
第五部分 二元一次方程组
【典型例题】例 1. B 例 2. A 例 3. C 例 4. 分析：本题主要考查二元一次方程组的解的意义和二元一次方
程组的解法。
x = 2 ax + by = 4 2a + b = 4
将 代入 可得到关于 a、b 的二元一次方程组 依据整体思想，两方程
y = 1 bx + ay = 5 a + 2b = 5
( ) 4x 3y = 5相加，便得 3 a + b = 9 ，即 a + b = 3 。例 5 解：原方程组可变形为 继续变形为
2x 3y = 1
2x 3y + 2x = 5 < 1> 7
<2>代入<1>得： 1+ 2x = 5 x = 3 解得： y = 方程组的解为
2x 3y = 1 < 2 > 3
1
石河子大学引航辅导半 内部资料
x = 3
7 例 6. 解：<1>×5－<2>得：17x +17y = 0 x = y < 3 >； <3>代入<1>得：y = 3
y = 3
x = 3 x y
把 y = 3代入<3>得： x = 3 所以原方程组的解为 例 7 解：由<2>得： =
y = 3 4 3
x y 2
设 = = k ，则 x = 4k，y = 3k < 3 > 把<3>代入<1>得：4k 9k = 2 解得： k =
4 3 5
x 8 = 2 8 6
k = <3> x = y = 5把 代入 ，得： ， 所以原方程组的解是 例 8. 解：设
5 5 5 6
y = 5
3a 2b = 36 a = 24 x + y = 24x + y = a，x y = b ，则原方程组可变形为 ，解得 所以
3a 4b = 0
b = 18
x y = 18
x = 21 x = 21
解这个方程组，得： 所以原方程组的解是y = 3
例 9 解：<1>＋<2>得：7x 7y = 7
y = 3
所以 x y = 1 < 3 >
x = 0
<1>－<2>得： x + y = 1 < 4 > 由<3>、<4>得： 例 10. 解：（1）根据题意有
y = 1
2a + 4b = 4000 a = 800
解这个方程组，得： （2）初三年级学生捐助贫困中学生人数为 4（名），
3a + 3b = 4200 b = 600
捐助贫困小学生人数为 7（名）。 说明：本题已知条件由表格给出，题型比较新颖，要学会审读表格信息，
分析其中蕴含的数量关系，巧列方程组求解，第（2）问设初三年级捐助贫困中学生 x 人，捐助贫困小学
x + y = 11 x = 4
生 y 人，列方程组得： 解得： 【试题答案】一. 1. D 2. C 3. B
800a + 600b = 7400
y = 7
4 x = 2
4. C 5. A 6. A 7. D8. C 9. B 10. B 二. 1. 略 2. ， 4，4 3. 4. 6 5. 5 y = 2
加减消元，y 6. 1， 3 7. （1）4x + 7y = 76 ；（2）4；（3）5 8. 0 9. 60、51、42、33、24、15 10.
x y 55 12x = 4y
x = 2 x = 2 + =
5.76 三. 1. （1） （2） 2. m = 2 3.（ 1
12 9 60
） （2）y 1 55= 90
y = 4 x y 90 9+ = x
= 8 y
4 8 60 60 60
9x = 8y
（3） 55 90 4. 解：方案一：总利润W1 = 4 × 2000 + (9 4) × 500 = 10500（元）
12 x = 4 y 60
60
方案二：设 4 天内加工酸奶 x 吨，加工奶片 y 吨
2
石河子大学引航辅导半 内部资料
x + y = 9
x = 7.5
根据题意，得： x y 解得： 总利润W2 = 1200 × 7.5+ 2000 × 1.5 = 12000
+ = 4 3 1
y = 1.5
（元） 因为W1 < W2 ，所以选择第二种方案获利较多。
x + 2y + 5 = 0 x = 3
5. 分别取a = 0，1，将其代入原方程，得： 解之，得：
3y + 3 = 0 y = 1
x = 3
故3(a 1) (a + 2) + 5 2a = 0 ，所以0·a = 0 可见方程组的解为 时，与 a 的取值无关。
y = 1
6. 解：设甲、乙两个旅游团分别有 x、y 人，因为 1008 是 9 的倍数，而不是 11 和 13 的倍数，所以 1008
÷9＝112（人），故其中一团人数不超过 50 人，而另一团人数超过 50 人，但不超过 100 人，不妨设甲团
x + y = 112 x = 41
不超过 50 人，根据题意得： 解得： 即这两个旅游团分别有 41 人，71 人。
13x + 11y = 1314 y = 71
第六部分 一元一次不等式组
【 典 型 例 题 】 例 1. 解 ：（ 1 ） 作 差 法 ： 方 法 一 ： Qab (a + b) = ab a b
= ab a b +1 1
= a(b 1) (b 1) 1 而a > 2，b > 2，∴(a 1)(b 1) 1> 0 即a + b < ab
= (b 1)(a 1) 1
方法二：设a = 2 +m，b = 2 + n (m > 0，n > 0) 则ab (a + b) = (2 + m)(2 + n) (4 + m + n)
= 4 + 2m + 2n + mn 4 m n
Qm > 0，n > 0，∴m+ n +mn > 0
= m + n + mn
Qa > 2，b > 2
ab a b a b ab a + b a b 1 1 ∴ > + ，即 + < 1 1 1 1（2）作商法：方法三： = + = + ∴ + < + = 1
ab ab ab a b a b 2 2
a + b
∴ < 1
ab
∴a + b < ab
注：上例是比较两个有理数大小的问题，我们通常采用作差法（与 0 比较大小）或作商法（与 1 比较
大小）比较两个数的大小，灵活地选择这两种方法比大小，是解题的关键。当“差”或“商”中含有字母
不能直接得出结论时，有时需将条件中字母表示的数值代入再判断，有时还需分类进行讨论，如：比较a + 4
与4 a 的大小。需要指出的是，在解选择题时，赋值法是一种有效的方法。例 2. 解：由已知得：11x < 22
x 2 1 1 17 ∴ < ，正整数解为 x = 1 代入方程，得：a = 2 ∴a 2 + 2 = 4 + = 例 3. 解：当 x ≠ 1a 4 4
1
时，两边消去 化简得： 2x > 2 ∴ x < 1 ∴不等式的解为 x < 1且 x ≠ 1
x +1
注：解一元一次不等式的步骤和解一元一次方程类似，但两边乘（或除）以同一个负数时，不等号一
定要改变方向，还要关注不等式中未知数的取值范围。例 4. 解：整理，得： (m 2)x < n + 3
3
石河子大学引航辅导半 内部资料
m 2 n + 3 n + 3 当 > 时，解为 x < 当 m < 2 时，解为 x > 当 m = 2 时，原不等式为
m 2 m 2
0·x < n + 3，此时 若n > 3时，则解为全体有理数 若n ≤ 3时，则不等式无解
不等式中所含非未知数的字母称为参数，解含字母系数的一次不等式要对参数进行讨论；含有参数的
任何一个一元一次不等式总可以化为标准式ax > b （或ax < b ），对形如ax > b （或ax < b ）的不等式：
当a > 0时，解为 x b> （或 x b b b< ） 当a < 0时，解为 x < （或 x > ）；当a = 0，b < 0时，
a a a a
不等式的解为全体实数（或无解）当a = 0，b ≥ 0时，不等式无解（或解为全体实数）例 5. 解：原不等
9 1
式整理得：(1 a)x > 9 当1 a = 0时，不等式无解 当1 a < 0时，解为 x < ，这与已知 x >
1 a 2
9 1 9 1
产生矛盾； 当1 a > 0时，解为 x > ，与 x > 一致； 故 = ，∴a = 17
1 a 2 1 a 2
注：由上例可得下面的结论：若不等式ax > b （或ax < b ）的解为 x > t （或 x < t ），则 x = t 是其
x = 8 2k x > 0 8 2k > 0
对应方程ax = b 的根（且a > 0）。例 6. 解：方程组的解为 Qy = k 1
∴
y > 0
k 1 > 0
k < 4
解得： ∴1＜k＜4 由于 k 为正整数 ∴k＝2 或 3 例 7. 分析：用含一个字母的代数式
k > 1
2y + z = 5 3x
表示 S，并确定这个字母的取值范围，就可求得 S 的最大值和最小值。 解：由已知得：
y z = 2 x
7 4x x ≥ 0
y = x ≥ 0 3 S 2x 7 4x 1 x
∴ = + = x + 2 7 4x 解得： 由 y ≥ 0得不等式组 ≥ 0
z 1 x= 3 3 3 3 z ≥ 0 1 x
≥ 0 3
解得：0 ≤ x ≤ 1 ∴2≤S≤3 所以，S 的最大值与最小值的和为 5
注：含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。
1 1 1 1
【试题答案】1. < < 2. A = B 3. 9 ≤ m < 12 4. a > 1992 5. x < 6. m＝1 或 m＝3
c b a ab 4
第七部分 列方程求解（略）第八部分 简单的面积问题
1
例 1. 解：阴影部分可以看作是 圆面积加上小正方形的面积和△AOF 的面积，再减去△EFC 的面积。
4
例 2. 解：设△AGE 面积为 x，△FBG 的面积为 y
1
∴ S 1 25圆 = ×π × 25 = π =19.6254 4 4 QΔAGC与ΔGCD同高，△ABG 与△BGD 同高
S正方形EBOF = 9
1 同理，△AFG 与△AGC 同高，△BFG 与 BGC 同高 SΔAOF = × (5 3)×3 = 32 x + 35 84 + y=
1 ∴
30 40 x = 70
又Q S = × (5+ 3)×3 =12 ∴ ∴ S Δ ABC = 315ΔFEC 2
84 y
=
y = 56
x + 35 70
∴19.625 + 9 + 3 12 =19.625
4
石河子大学引航辅导半 内部资料
∴ AE = CE ∴ SΔAEG = SΔGEC = 3，∴ SΔADC = 10
例 3. 解：QE是AC中点 Q BD = 2DC，高相等 例 4 解：将这个图形补上四
Q高相等
∴ SΔABD = 2SΔADC = 20
∴ SΔABC = 30
Q S大正方形 = 13，S小正方形 = 1
∴ AB = 5
个 全 等 的 直 角 三 角 形 ∴4S 三角形 = 12，∴ S直角三角形 = 3 Q AE + ED = 5，ED AE = 1
∴ S ABCD = 8 × 3+1 = 25
∴ AE = 2，ED = 3 1 ∴S = 4，∴S = 2
例 6 解：Q S = 1 平行四边形ABCD ΔACB
∴23 + 33 4
平行四边形ABCD
= 35 QSΔBCE = SΔAEC = 1
∴ AB = 2 AE ∴ E ， 是中点 3 1 3 7
Q S ΔBCE = 2S ΔCDF ∴ AF = AD4 ∴SΔCEF = S平行四边形ABCD SΔBCE SΔCDF SΔAEF =4 1 =
S 1∴ = A E B
2 4 4
ΔCDF 2
Q S = 2 S，∴ ΔCDF 1 ΔADC = S ΔADC 4 F
D C
F
例 7. 解：分别连结 AE、DC、FB QΔEFA与ΔACE 等底同高
A
B C E
∴ SΔFAE = SΔACE
D QΔABC与ΔACE等底同高
∴ SΔABC = SΔACE = 1
同理SΔABF = SΔFBD = SΔBDC = SΔDCE = 1【试题答案】
1. 选 B ∴ SΔDEF = 7。
2. S = S + S + S A E B 提示： 3 2 7 8
Q S3 + S1 + S6
= S3 + S4 + S 3. 解： 5 F
= S1 + S 2 + S7 + S6 + S
8 4. 27 + 8 = 35 D C
∴ S1 + S 2 + S7 + S6 + S8 解：补上四个相同直角三角形
= S1 + S3 + S6
∴ S 2 + S7 + S8 = S3 Q13 1 = 12
∴12 ÷ 4 = 3 b
S = 24 +1 = 25 a a a a a 4b 大
a a a a
∴边长和为 5
b
∵差为 1，∴为 2 和 3。 2 b 2b
c
5. 提示：连结 MN
2b c 2b
1 2(a + b) 1 a a a a
①= a + a πa
2
2 3 4
5
石河子大学引航辅导半 内部资料
1 a a + b = + b 1 πb2 5 π 1 π② ∴ S① + S② =
a 2 + b2 + ab
2 3 4 6 4
6 4
D M C
a-b
① ②
K
A a N b B
Q S平行四边形ABCD = 4 = 2SΔEBC
∴ AB = 2 AE，∴ E是中点
6. 解：连结 ED、AC 1
Q SΔAED = 1，SΔADC = 2，SΔCFD = 2
∴ SΔAFC = 1.5
∴ AF = 3FD
∴F 为四等分点
1 3
∴ S 1 3 7ΔFDE = ，∴ SΔAFE = 4 4 ∴ S
ΔCEF = S平行四边形ABCD SΔBCE SΔCDF SΔAEF = 4 1 =2 4 4
第九部分 总复习题（略）
6
