寒假强化试题（1） 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册

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寒假强化试题（1） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．当前，科技与人工智能的迅猛发展，正引领社会生活方式的深度变革，以下科技公司的图标中是轴对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍 C．缩小为原来的 D．不变
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在和中，点B、F、C、E在同一直线上，，，请添加一个条件，能用“”使，这个条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，是的平分线，则（　　）
A． B． C． D．
6．下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，是等边三角形，是的平分线，延长到，使，则的长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
8．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（ ）
A．7 B．9 C．12 D．15
9．按如图所示的方式分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
10．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则所列出的分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．当 时，分式的值等于0．
12．如图，在中，是斜边上的中线，若，则 ．
13．计算： ．
14．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为 ．
15．如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接，则 ．
16．如图，在中，，，，过点作．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点的运动而运动，始终保持．若点的运动时间为秒，则当以，，为顶点的三角形与全等时， 秒．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．因式分解：
(1)；
(2)．
19．如图，已知，点在的延长线上，按要求完成作图并补全证明过程：
(1)尺规作图：过作直线（点与点在同侧）．在射线上截取，使，连接．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)证明：．
证明：
①
在和中，
④
20．如图，是的中线，，、分别是的高与角平分线．
(1)若与的周长差为2，，求的长；
(2)若，，求的度数．
21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，，直线是第一、三象限的角平分线所在的直线．
(1)作出关于直线对称的对称图形，并写出、、的坐标；
(2)连接，则直线与线段的关系是__________；
(3)在直线上找一点，连接，使平分的面积，请直接写出点的坐标．
22．先化简，再求值：，其中．
23．重庆江津是“中国花椒之乡”，某花椒加工厂承接了火锅底料花椒包的包装订单，采用智能包装机与人工包装两种方式配合生产．已知智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，且智能包装机每小时比人工多包装55袋．
(1)求人工每小时包装多少袋花椒包？
(2)该加工厂接到紧急订单，需在8小时内完成不少于700袋的花椒包装任务．智能包装机可以8小时连续工作，人工可以配合工作一段时间，求人工至少需要配合工作多少小时
24．在“最短路径问题”综合与实践活动中，我们通过牧民饮马、造桥选址等实际问题，探究出利用轴对称、平移等求最短路径的方法．请结合几何图形的特征继续深入探究以下问题：已知，如图1，、都是等边三角形，是的中点，建立如图平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为．
(1)求点、的坐标；
(2)如图2，点为轴上一点，连接、，求的最小值；
(3)如图3，点为中点，线段在轴上滑动，且，连接、，请直接写出的最小值．
25．在中，．
(1)如图1，若，在上，，求的度数；
(2)如图2，点是外一点，连接、、，若．求证：；
(3)如图3，为上一点，点是外一点，连接、、、，与、分别交于点、，若，点为中点，，，请直接写出的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C B A C C D A
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，正确理解相关内容是解题关键．根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴”进行分析即可．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：A，B，C选项中的图标都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D项中的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．D
【分析】根据分式的基本性质进行计算解答．
【详解】解：由题意得，
即把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值不变，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
3．B
【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方和合并同类项．熟练掌握指数运算法则是解题关键．根据幂的相关法则及合并同类项法则逐一判断即可．
【详解】解：∵ 选项A： = = ≠ ，∴ A错误.
∵ 选项B： = = ，∴ B正确．
∵ 选项C：，∴ C错误.
∵ 选项D： = = ≠ ，∴ D错误．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键．根据已知条件易证得，，要根据得出，则需添加条件即可．
【详解】解：，
，即，
，
，
添加，可根据得出，故C选项符合题意，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，三角形的角的平分线，熟练掌握定理和性质，平分线的意义是解题的关键．
【详解】∵，，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选B．
6．A
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A.左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意；
B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握三线合一的定义是解题关键．由等边三角形可得，，即可求出的长．
【详解】解：是等边三角形，，
，
是的平分线，
，
，
，
，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点，
∴，
∴的周长，
故选：．
9．D
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景．表示出图形阴影部分面积是解题的关键．对图形中阴影部分的面积进行计算即可得到相关的等式：矩形的面积正方形的面积空白部分的面积．
【详解】解：如图所示，矩形的面积正方形的面积空白部分的面积，
则．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，理解题意是解决本题的关键．
设规定时间为x天，根据题意，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为．快马速度是慢马速度的倍，据此列方程即可．
【详解】解：设规定时间为x天，
∵慢马所需时间为天，
∴慢马速度为；
∵快马所需时间为天，
∴快马速度为；
∵快马速度是慢马速度的倍，
∴，
故选A．
11．4
【分析】本题主要考查了分式的值为0、分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为0的求值方法是解本题的关键．
根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，进行计算即可．
【详解】解：由题意得，分子，解得，
当时，分母，满足条件，
．
故答案为：4．
12．8
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半定理求解即可．
【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且
∴
故答案为8
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中线与斜边的数量关系是解题的关键．
13．2
【分析】本题主要考查同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是做题的关键．根据同分母分式的加减运算步骤进行计算即可．
【详解】解：原式（其中）．
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，然后根据边长乘积两倍列式计算即可求得答案．
【详解】解：两个小正方形的面积分别为和，
这两个小正方形的边长分别为和，
余下部分的面积为：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质与三角形外角的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质得到，进而推出，再利用三角形外角性质求出的度数．
【详解】解：由作法得垂直平分，
，
，
．
故答案为：．
16．5或9或14
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．
分情况，当E在线段上，当E在射线上，证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解．
【详解】①当E在线段上，时，，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当E在线段上，时，，这时在点未动，因此运动时间为0秒，不符合题意；
②当E在射线上，时，，如图1所示，
，
，
，
点的运动时间为秒；
当E在射线上，时，，如图2所示，
，
点的运动时间为秒；
故答案为：5或9或14．
17．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（）先计算积的乘方，然后计算同底数幂相乘，单项式除以单项式，最后合并即可；
（）首先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项法则进行化简，最后算多项式除以单项式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；
（1）先提公因式，然后再根据平方差公式进行分解因式；
（2）根据完全平方公式可进行分解因式．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
19．(1)见解析
(2)；；；
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质．
（1）作即可，再截取；
（2）根据平行线的性质可得，利用证明，可得，按此推理过程逐一填空即可．
【详解】（1）解：如图，和即为所求，
（2）解：证明：
，
在和中，
，
．
故答案为：；；；．
20．(1)5
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线和角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形的中线的定义可得，再由三角形的周长公式推出，据此可得答案；
（2）由三角形内角和定理求出的度数，由高线和角平分线的定义求出，，再求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）解：是的中线，
，
与的周长差为2，
，
，
；
（2）解：，
，
、分别是的高与角平分线，
，，
，
．
21．(1)见解析，、、；
(2)直线垂直平分线段；
(3)．
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，线段垂直平分线，轴对称的性质，掌握作轴对称图形的基本作法是解题的关键．
（）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接，再根据点的位置写出坐标即可；
（）根据轴对称性质即可求解；
（）先找出中点，延长，交直线于点，根据网格即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
∴，，；
（2）解：如图，连接，
由轴对称性质可知，则直线与线段的关系是直线垂直平分线段，
故答案为：直线垂直平分线段；
（3）解：如图，先找出中点，延长，交直线于点，
由网格可得：点的坐标．
22．，
【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂和负整数指数幂．先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由零指数幂和负整数指数幂得出a的值，继而代入计算可得．
【详解】解：原式
．
当时，原式．
23．(1)人工每小时包装20袋花椒包
(2)人工至少需要配合工作5小时
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，分式方程的应用，正确列出等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设人工每小时包装袋花椒包，则智能包装机每小时包装袋，根据智能包装机包装300袋花椒包的时间，人工只能包装80袋，列方程即可解答；
（2）设人工需要配合工作小时，根据题意列出不等式即可解答．
【详解】（1）解：设人工每小时包装袋花椒包，则智能包装机每小时包装袋，
由题意，得
解得：
经检验，是原方程的解，且符合实际意义．
答：人工每小时包装20袋花椒包；
（2）解：设人工需要配合工作小时，
由题意，得，
解得：，
答：人工至少需要配合工作5小时．
24．(1)点坐标为，点坐标为；
(2)；
(3)．
【分析】（）过作轴于，由是的中点，则，可得点坐标为，因为、都是等边三角形，所以，从而证明，所以，，则，故点坐标为；
（）作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、，此时，即的最小值为，过作轴于，证明，所以，在中，，从而可得的最小值；
（）连接、相交于点，同理可得：，，，所以，所以，即点向下平移单位到点，此时．
【详解】（1）解：过作轴于，
∵是的中点，
∴，
∵点坐标为，
∴点坐标为，
∵、都是等边三角形，
∴（三线合一），
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为；
（2）解：作点关于轴的对称点即点，连接与轴交于点，连接、，
此时，即的最小值为，
过作轴于，
∵，，，
∴，
∴，
∴在中，，
∴的最小值；
（3）解：连接、与相交于点，
同理可得：，，，
∴，所以，
即点向下平移单位到点，
此时，
所以．
【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称性质，垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求得，再根据等腰三角形的性质即可解答；
（2）在上截取，连接，证明、都是等边三角形，通过角度转换得到，即可证明，即可解答；
（3）在上取一点，连接，使得，则，证明，得，同（2）原理可得，，再通过角度计算得到，，可得，再通过线段的和即可解答．
【详解】（1）解：，，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
，，
、都是等边三角形，
，，
，
即，
，
，
；
（3）解：在上取一点，连接，使得，则．
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，．
，
，
在中，，
．
，
．
，
．
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