5.1.2 弧度制 教学设计

5.1.2 弧度制
1、教学目标
（1）.理解弧度制的意义，能正确的进行角度制与弧度制的换算；了解角的集合和实数集R之间可以建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
（2）.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式
2、教学重点与难点
1.教学重点：弧度制的定义、弧度与角度的换算
2.教学难点：弧度制与角度制的联系及弧度制下扇形的弧长公式和面积公式的推导和证明。
3、教学过程设计
(一) 概念的引入
【问题1】 在初中几何里，我们学习过角的度量，的角是怎样定义的呢？
师生活动：的角可以理解为将圆周角分成360等份，每一等份的弧所对的圆心角就是．它是一个定值，与所取圆的半径大小无关．
【问题2】度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制．不同的单位制能给解决问题带来方便．角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
师生活动：学生思考并回答问题。
教师提问，引导学生思考第二种单位制的存在。指明本节课所学知识点：弧度制的定义以及1弧度的含义。
【设计意图】：引发学生学习兴趣，激发学生的好奇心和求知欲，让学生意识到可以用不同的单位制来度量同一个量，从而理解角度制和弧度制都是对角度量的方法。
下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制．
如图5.1-9，射线OA绕端点O旋转到OB形成角．在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角．设=，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．由初中所学知识可知l=，
于是．
【问题3】：如图5.1-10，在射线OA上任取一点Q （不同于点O），OQ＝．在旋转过程中，点Q所形成的圆弧的长为．与的比值是多少？你能得出什么结论？
可以发现，圆心角 所对的弧长与半径的比值，只与 的大小有关．也就是说，这个比值随 的确定而唯一确定．
这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．而这种像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小的单位制称为弧度制．
师生活动：学生思考并回答问题，可以独立思考，也可以进行小组讨论。根据教师的引导总结角度制与弧度制的关系。教师引导学生思考，抽取小组代表回答问题，通过圆中半径、弧长与圆心角三者的关系来得出弧度角定义。
【设计意图】：培养学生小组合作精神以及总结能力。
可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值，只与的大小有关．也就是说，这个比值随的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．
讲解新课：
1．弧度制的定义
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
我们把半径为1的圆叫做单位圆．如图5.1-11，在单位圆O中，的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．
根据上述规定，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，那么．
其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于或小于的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角．
一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
2．弧度制与角度制的互化
【问题4】角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算，如何换算呢？
师生活动：学生思考并回答问题，在教师讲解过程中，要跟着教师的思路进行换算公式的推导。
教师引导学生分析，教师讲解角度制与弧度制的关系以及如何进行两者之间的换算，深化学生对于推导过程的理解。
【设计意图】：让学生理解角度制与弧度制之间的联系，学会弧度制与角度制的换算。
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是０）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．因为周角的弧度数是，而在角度制下的度数是360，所以
rad，rad，radrad.
反过来有1 rad=
一般地，只需根据
就可以进行弧度与角度的换算了。
按照下列要求，把化成弧度：
师生活动：学生跟着教师的解题思路并理解为什么可以这样进行解题，并学着自己解决弧度与角度的换算问题。
【设计意图】：学生通过教师在黑板上的解题过程，及时地规范自己的解题过程，
例2、将3.14 rad换算成角度（用度数表示，精确到0.001）.
师生活动：学生思考并解决问题，教师指正。
【设计意图】：强化学生对于角度制与弧度制的转化过程的认识。
今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角就表示是2 rad的角；就表示rad的角的正弦，即
【问题5】填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：
师生活动：学生填写该表格，并在教师给出答案后检查。
教师给出答案，并对角的概念进行推广，阐述角与实数的一一对应关系，引入弧度制建立角与实数之间的联系。
【设计意图】：让学生熟练掌握角度与弧度的换算，认识弧度制的优点，正确认识角与实数之间的联系。
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集犚之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数 （等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角 （即弧度数等于这个实数的角）与它对应（如图所示）。
3．弧度制下扇形公式
例3、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
师生活动：学生思考并回答问题。
教师利用换算方法来进行公式推导，板书推导过程，并说明弧度制的优点。
【设计意图】：让学生思考对比角度制与弧度制的特点，让学生形成角度制与弧度制的逻辑联系。
反思：
对比角度制与弧度制下扇形的弧长公式和面积公式，明显感到弧度制下的公式简单许多.
(三)课堂小结：
【问题6】你能说明角度制与弧度制之间的关系吗？并说出它们的优缺点。
师生活动：学生结合本堂课和上节课所学内容说明角度制与弧度制的区别与联系。
教师引导学生进行归纳总结角度制与弧度制的特点，并再次说明本节课的重难点，深化学生对于知识的联系，并形成完整的知识体系。
【设计意图】：加深学生对于角度制与弧度制的理解与认识，并能够正确选择度量角的表达方式。
【课后作业】课本175页练习题：1、2、5.
【设计意图】：巩固本节课所学知识。
四、目标检测设计
目标检测题：
把下列角度化成弧度：
把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）：
【设计意图】：
检测学生角度制与弧度制的正确转化。