5.2.1 三角函数的概念 教学设计

§5.2.1　三角函数的概念
1、教学目标
（1）经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦函数，余弦函数正切函数）的定义，发展数学抽象素养，
（2）利用三角函数的定义，会求特殊角的三角函数值;
2、教学重点与难点
教学重点： 正弦函数、余弦函数，正切函数的定义
教学难点： 三角函数对应关系、三角函数符号的含义
3、教学过程设计
（一）创设情境，明确背景
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”的变化现象，圆周运动是这类现象的代表．如图1所示，圆o上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.在把角的范围推广到任意角后，我们可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化.又根据弧度制的定义，角a的大小与圆o的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动.现在的任务是：
如图1所示，单位圆o上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻
画点P的位置变化情况.
问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为可以按怎样的路径研究上述问题？
师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过讨论得出研究路径是：明确研究背景--对应关系的特点分析一下定义一研究性质.
设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向.
（二）分析具体事例，归纳共同特征
引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题．如图2所示，以单位圆的圆心o为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1,0），点P的坐标为（x，y）.射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角a，终止位置为OP.
问题2：当a＝时，点P的坐标是什么？当a＝或 时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
师生活动：在学生求出当a＝时点P的坐标后追问以下问题.
追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（直角三角形的性质）
（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？（画出的终边OP，过点P作轴的垂线交x轴于M，在RΔCMP中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是（,）
（3）如何利用上述经验求当α＝时时点P的坐标？
（4）利用信息技术，任意画一个角a，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？（对于R中的任意一个角。它的终边OP与单位圆的交点为P（x、y）无论是横坐标x还是纵坐标y、都是唯一确定的，这里有两个对应关系：
f：实数a（弧度）对应于点P的纵坐标y；
g：实数a（弧度）对应于点P的横坐标x、
根据上述分析，f：R→［-1、1］和g：R→［-1,1］都是从集合R到集合［-1,1］的函数，）
设计意图：以函数的对应关系为指向、从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角a（弧度）的函数，为给出三角函数的定义作好准备、
（三）任意角三角函数的定义与辨析
问题3：请同学们先阅读教科书第177～178页，再回答如下问题：
（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？
（2）符号，和分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
（3）为什么说当a≠＋kπ时，tana的值是唯一确定的？
（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是｛x｜x≠＋kπ，kZ}
师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题.同时师板书：
任意角三角函数的定义：
设是任意角，其终边OP与单位圆交于点P（），那么：
（1）点P的纵坐标叫做的正弦函数，记作，即=；
（2）点P的横坐标叫做的余弦函数，记作，即=；
（3）点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作，即=。
将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数：
余弦函数：
正切函数：
设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识，理解三角函数符号的意义.
（四）任意角三角函数与锐角三角函数的联系
问题4：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，设x（0，），把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1，z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
师生活动：教师引导学生作出RtΔABC，其中A＝x，C＝90°，再将它放入直角坐标系中、使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，得出z1=y1的结论．
设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性.
（五）任意角三角函数概念的初步应用
例1. 利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值、
师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案.
设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵。
课堂练习：（1）利用三角函数的定义，求π，的三个三角函数值.
（2）说出几个使cosa＝1的α的值、
师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找
交点坐标，算比值（对正切函数）”.
设计意图：检验学生对定义的理解情况.
例2. 设a是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r.求证：sina=,cosa=,tana=.
师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：
（1）你能根据三角函数的定义作图表示sinα，cosα吗？
（2）在你所作图形中，，，各表示什么，你能找到它们与任意角a的三角函数的关系吗？
设计意图：通过问题引导，使学生找到ΔOMP，ΔOM0P0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明.
追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的.你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？
师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义.师板书三角函数的第二定义。
设计意图：加深学生对三角函数定义的理解.
课堂练习：已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad／s．求2s时点P所在的位置．
师生活动：由学生独立完成后，学生代表展示作业.
设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义.
（六）目标检测设计
1．利用三角函数定义，求的三个三角函数值.
2．已知角的终边过点P（-12,5），求角的三角函数值．
设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况.
（七）课堂小结及课后作业
(1)课后作业：P184 1
(2)梳理三角函数概念的过程，指出三角函数的对应关系与幂函数、指数函数、对数函数的对应关系有怎样的共性与差异性。
(3)有了三角函数的定义，就要研究三角函数的性质。由定义可知，三角函数与单位圆有密不可分的联系，您能借助单位圆的性质提出一些三角函数性质的猜想吗？
［设计意图］把课堂小结作为课后作业留给学生，让学生通过梳理概念的抽象过
进一步理解三角函数概念的内涵；通过与已学函数的比较，进一步明确三角函数对
关系的特征；让学生从三角函数特点出发，借助单位圆猜想三角函数的性质，为下一
的学习做准备，培养学生发现和提出问题的能力。
板书设计：
课题 1.任意角三角函数的定义： 2.任意角三角函数的第二定义 展示区 问题探究及例题、练习 例题解答区：