5.2.2　同角三角函数的基本性质 教学设计

§5.2.2　同角三角函数的基本性质
1、教学目标
（1）能根据定义得出三角函数在各象限的符号；
（2）能根据定义，结合终边相同的角的表示，得出公式一，初步体会三角函数的周期性，求某些特殊角的三角函数值；
（5）能利用定义以及单位圆上的点的横、纵坐标之间的关系，发现并证明同角三角函数的基本关系，并能够用于三角恒等变换，发展数学运算素养。
2、教学重点与难点
教学重点： 公式一、同角三角函数的基本关系
教学难点： 公式一及同角三角函数的基本关系的发现
3、教学过程设计
环节1;复习回顾，明确问题
问题1：三角函数的定义是什么？
师生活动：先由学生发言后，教师完善。
追问：我们学习了三角函数的定义，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？
师生活动：先由学生发言，一般而言，学生会直接指向“图象与性质”.教师可以在肯定学生想法的基础上，指出三角函数的特殊性：单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现比幂函数、指数函数和对数函数等更丰富的性质.所以，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质.
设计意图：明确研究的问题和思考方向。一般地，学生不习惯于借助单位圆的性质研究三角函数的性质，所以需要教师的讲解和引导。
环节2：问题引领，探究新知
问题2：由三角函数的定义以及任意角a的终边与单位圆交点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？
师生活动：由学生独立完成.用集合语言表示的结果是：当a｛β｜2kπ＜β＜2kπ＋π， kZ｝时，sin a＞0；当α｛β｜2kπ＋π＜β＜2kπ＋2π，kZ｝时，sinα＜0；当α｛β｜β＝kπ，kZ｝时，sinα＝0．其他两个函数也有类似结果．
师板书:1.三角函数值在各象限的符号：
设计意图：在直角坐标系中标出三角函数值的符号规律不难，可由学生独立完成。用集合语言表示，可以复习象限角、终边相同的角的集合表示等.
例1求证：角为第三象限的充要条件是
师生活动：先引导学生明确问题的条件和结论，再由学生独立完成证明.
设计意图：通过联系相关知识，培养学生的推理论证能力.
问题2：联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的表示，你能发现什么？
师生活动：学生在问题引导下自主探究，发现公式一.
师板书：2.终边相同的角的同一三角函数的值相等。
由此得到一组公式（公式一）
其中.
追问：（1）观察公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步的发现？它反映了圆的什么特性？
（2）你认为公式一有什么作用？
设计意图：引导学生通过建立相关知识的联系发现公式一及其所体现的三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映.利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间［0,2π］上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．在此过程中，可以培养学生用联系的观点看问题，以及发展直观想象等素养.
问题3：公式一表明，终边相同的角的同一三角函数的值相等．因为三个三角函数的值都是由角的终边与单位圆的交点坐标所唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系.那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？
师生活动：教师引导学生讨论，利用公式一，先把问题转化为“同一个角的三个三角函数之间的关系”；然后让学生自主探究，得出同角三角函数的基本关系.
师板书：3.同角三角函数的基本关系式：
（）
（ ）
设计意图：“终边相同的角的三个三角函数的值都由单位圆上同一点的坐标所唯一确定，它们之间一定有内在联系”是发现问题的关键；由“终边相同的角的同一三角函数的值相等”引出“终边相同的角的不同三角函数之间有什么关系”的问题，再转化为“同一个角的三个三角函数之间关系”的研究，可以培养学生发现和提出问题的能力.借助单位圆上点的坐标的意义，由三角函数定义可以直接得出“同角三角函数的基本关系”.
环节3：归纳总结，研究方法
问题4：总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？
师生活动：先由学生独立思考、交流讨论，再由教师帮助学生总结.
设计意图：引导学生归纳三角函数性质的表现方式，培养学生的“数学的眼光”.借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、终边相同的角的三角函数的关系入手发现了公式一和同角三角函数的基本关系。自然而然地，我们还可以研究“终边不同的角的三角函数有什么关系”，结合圆的对称性，容易把研究方向指向“终边具有轴对称关系”“终边具有中心对称关系”或“终边具有某种特殊对称关系（如关于直线y＝x对称）”的角的三角函数的关系，这就是下一单元要研究的诱导公式二～公式五.这是三角函数“与众不同”的性质.
环节4：目标检测，检验效果
题1 设a是三角形的一个内角，在sina、cosa、tana、tan中，哪些有可能取负值？
［设计意图］考查学生对三角函数值的符号规律的掌握情况。
题2 确定下列三角函数值的符号：sin 156°；cos；tan。
［设计意图］考查学生对公式一和三角函数值的符号规律的掌握情况。
题3 已知tanφ＝- 3，求sinφ与cosφ的值。
［设计意图］考查学生对三角函数值的符号规律、同角三角函数基本关系式的掌握情况。
布置作业：《必修一》第184～186页，习题5.2，第4,5,6,10,14题。
板书设计：
课题 1.三角函数值在各象限的符号： 2.公式一 3.同角三角函数的基本关系 PPT展示区 问题探究及目标检测题 例题解答区：