5.2.2同角三角函数基本关系式 教学设计

5.2.2同角三角函数基本关系式
1、教学目标
（1）能根据三角函数的定义，利用单位圆导出同角三角函数的基本关系；
（2）.理解同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值的实质就是研究“勾股数”。
（3）.掌握三角恒等变换的应用中两个方法：“1”的代换与“弦切互化”.
（4）.运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值，化简和恒等式的证明。
2、教学重点与难点
教学重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
教学难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
3、教学过程
环节1:情境导入
上节课我们学习了终边相同的角的同一种三角函数值相等，那么终边相同的角的三个三角函数值之间又有什么关系呢？今天，我们就来研究这个问题。（板书课题）
问题1：请同学们回忆一下直角三角形中一个锐角的正弦值和余弦值以及正切值怎么表示？它们之间有什么样的关系呢？
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
（ ）
环节2：新知探究
对于单位圆内任意一个角α，是否依然有这样的关系式？
（）
（ ）
问题2：怎样推广到任意角？怎么证明这两个式子？
证明：如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,
而且.由勾股定理由,因此,即.
显然，当的终边与坐标轴重合的时候，这个公式也是成立的。
根据三角函数的定义,当时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
(2)注意：1“同角”的理解
“同角”的概念包含两层意思：a.角是相同的，与角的表达形式无关，
如：
2上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3公式的变形式及逆用
追问：还可以怎样证明平方关系式，商数关系式？
师生活动：学生自主交流完成，教师点评指正.并强调同角理解以及公式的变形应用。
环节3：新知应用
例1．已知sinα＝－，且α在第三象限，求cosα和tanα.
解：∵ ∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝
又∵α在第三象限，cosα＜0 ∴cosα＝－，tanα＝＝
变式：已知sinα＝－，求cosα和tanα.（需要对角所在象限分类谈论）
【设计意图】通过本题让学生体会已知一个角的一种三角函数值，利用平方关系和商数关系式可以求得该角的其余三角函数值，并注意角所在象限，从而确定三角函数值的正负。三者知一求二,熟练掌握.
例2.已知
解：若在第一、二象限，则
若在第三、四象限，则
【设计意图】当角的三角函数是字母时，需要对角所在象限进行分类讨论，求得角的其他三角函数值。
例3．求证：
证一：
（利用平方关系）
证二：
（利用比例关系）
证三：
（作差）
设计意图：能够利用平方关系式和商数关系式证明简单的三角恒等式，可以从左向右证明，也可以从右向左，还可以作差证明。体会同角三角函数值之间的关系。
环节4：课堂练习
教材P184练习1--41、
1、
2、化简：
设计意图：能够利用平方关系式和商数关系式进行简单的化简和求值，会弦切互化从而达到公式的灵活运用。
环节5：课堂小结
问题3：回忆并归纳这节课的所学内容.
（1）请学生回顾本节课所学的知识内容有哪些？涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
设计意图：（1）梳理本节课所学内容；（2）进行知识梳理，引导学生探究知识之间的逻辑关系，进一步体会同角三角函数基本关系式中同角理解以及“1”的妙用。掌握同角三角基本关系式的常见应用。
环节6：作业布置
1.基础作业：课本184页练习1,2,3，4
2.提升作业:习题5.2第3，4题.
【设计意图】巩固本节课所学知识，能用同角三角函数基本关系式求值，化简及证明，掌握平方关系式和商数关系式.通过作业分层让每个学生得到最优化的个体发展.
环节7：课后反思
【设计意图】通过回顾反思这节课，为在以后教学过程中可以做到扬长避短，设计出便于学生理解和掌握新知识教育教学方法。
板书设计
同角三角函数基本关系式
情境导入 三、新知应用 四、课堂小结
新知探究 例题1,例2，例3 五、作业布置
板书1 跟踪训练
板书2 板书3