5.3.1诱导公式 教学设计

§5.3.1诱导公式
1.教学目标
（1）从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，推导π＋a的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养。
（2）类比公式二的推导过程，自主探究-a，-a的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四、获得基本思想，积累基本活动经验。
（3）建立公式一～公式四之间的联系，能利用公式将任意角三角函数转化为锐角三角函数，会用公式一～公式四进行简单三角函数式的化简求值，发展数学运算的素养。
2.教学重点与难点
教学重点：诱导公式所研究的问题，推导公式二～公式四。
教学难点：发现诱导公式所研究的问题，建立单位圆的对称性与π＋a的正弦、余弦和正切之间的联系。
3.教学过程设计
环节一 课前检测，了解学情
（1）归纳公式一和同角三角函数的基本关系式的共性，指出它们所研究的问题。
（2）回答下列问题：
①点A（1,2）关于坐标原点的对称点A1的坐标是什么？
②写出与点M（x，y）有如下对称性的点的坐标：关于原点对称的点__ ，关于x轴对称的点____ ，关于y轴对称的点_____.
师生活动： 对于第（1）问，教师可以引导学生从条件和结论两个角度进行分析，得出条件的共性，然后给出结论：它们研究的是“角的终边相同”时同名三角函数、三个三角函数之间的关系（由公式一，只要研究同角的三个三角函数之间的关系即可）。对于问题（2），让学生代表发言，有问题时进行修正、补充。
［设计意图］通过问题（1），提升学生对公式一和三角函数基本关系式的理解水平，并为提出新问题做好铺垫；通过问题（2），检查学生对直角坐标系中具有特殊对称性的两个点的坐标间关系的掌握情况，为得到公式二～公式四做好准备。
环节二 创设情境，提出问题
问题1 前面我们从三角函数的定义出发，研究了角的终边相同时同名三角函数以及各三角函数之间的相互关系。“角的终边相同”是一种非常特殊的位置关系，一个自然的想法是：角的终边不同时，有什么特殊的关系值得研究？请同学们思考、回答。
师生活动 ：由学生独立思考后进行小组交流，再进行全班交流，得出值得研究的问题：当角的终边关于原点、坐标轴对称时，它们的三角函数有什么关系？
因为三角函数的定义是以单位圆为背景的，所以可以借助单位圆的对称性，研究角a、β的三角函数之间的关系。
［设计意图］从已有知识出发，自然而然地发现和提出问题，在宏观上明确学习任务，即单位圆的对称性（图）一三角函数的关系（数）。
环节三 公式二～公式四的探究
问题2 如图，设任意角a的终边与单位圆的交点为P1，作P1关于
原点的对称点P2，以OP1为终边的角β与角a有什么数量关系？
角β与角a的三角函数值有什么关系？
师生活动 第一步，教师引导学生思考并明确要研究的问题：
（1）终边关于原点对称的两个角的数量关系：（2）这两个角的三角函数的关系。
第二步，教师带领学生分析如何解决问题，得出研究思路：
圆的对称性一角的数量关系一点的坐标间的关系一三角函数间的关系。得出公式：
第三步，学生先独立思考、推导公式，再进行小组交流，最后进行全班展
以OP，为终边的角β与角π＋a终边相同的，所以有由公式一知，只要探究π＋a与a的三角函数值之间的关系即可。利用三角函数的定义，有P1(cosa,sina)。
由圆的对称性可知P1在单位圆上，于是有P2(cos(π+α),sin(π+α))。
又因为P1、P2关于原点对称，于是又有P2(-cosa,-sina)。
从而有sin(π+α)=-sina,cos(π+α)=-cosa,tan(π+α)=tana。
追问1 如何理解a是任意角呢？
师生活动 学生独立思考、讨论，再进行全班交流，得出：无论角a的终边在什么位置，点P、P1关于原点对称的位置关系不变，因此坐标间的关系也不变，π＋a与a的三角函数值的关系就不会改变。
追问2 归纳推导公式二的过程，你能给出主要的思路吗？
师生活动 学生独立思考后进行全班交流，教师引导学生得出如图所示的关系：
［设计意图］带领学生梳理探究思路，进一步明确探究的方向和步骤。在探究过程中，引导学生从三角函数定义出发，使他们认识到可以利用圆的对称性研究三角函数的性质，感受由形到数的转化，体现数形结合的思想方法。同时，探究过程中注意引导学生进行一般性思考，在得出公式的同时培养学生的理性思维，并在思想方法上为后续的自主探究打下基础。
问题3 你能类比公式二的探究过程和方法，自主探究终边关于坐标轴对称的角的三角函数关系吗？
师生活动 学生自主探究、小组讨论，师巡视观察小组讨论情况，适时、适度参与其中，寻找典型问题造行全班展示，并组织学生辨析，学生可能对终边关于y轴对称时、相应的角知间的关系不会找，或对获得结论的解释不正确，教师应从任意角的概念和运算的角度引导学生思考。
设计意图：有了公式二的经验，估计大多数学生可以独立完成公式三、四的推导。
将角的终边关于坐标轴对称时的三角函数关系一起让学生探究，既突出了诱导公式的整体研究架构，又检验了学生对公式二的学习效果。教师可以组织学生开展自主探究、组内交流、典型问题展示、质疑思辨等多样化学习活动，给学生充足的自主学习空间，从而把这一内容的育人功能充分发挥出来。
环节四 在练习中归纳公式的用法
练习 利用公式求下列三角函数值：
(1)cos225°;(2)sin;(3)sin(-);(4)tan(-2040°)。
师生活动 先由学生独立思考，分析运算对象，选择运算公式，求得运算结果；再让学生分组讨论，交流求解方法。教师巡视观察，发现典型解法，展示交流选择诱导公式的方法。
追问 通过上面四个题目的解答，你对公式一～公式四的作用有什么进一步的认识？你能归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数的步骤吗？
师生活动 先由学生阐述自己的想法，老师带领学生一起总结出：
基本步骤：明确角所在的象限，选择恰当的诱导公式，按照程序进行运算，求得运算结果。
［设计意图］让学生在自主选择公式求解问题的过程中，体会公式一～公式四各自的作用，总结根据题目的条件选择公式的方法和步骤，获得解题技能，发展数学运算的素养。
环节五 课堂小结，形成结构
问题4 回忆本节课的学习内容，回答下面的问题：
（1）本节课你学会了哪些知识，运用公式二～公式四将任意角的三角函数化归为锐角的三角函数的基本步骤是怎样的？
（2）我们是如何发现和提出本节课所要研究的问题的？
（3）探索公式二～公式四，我们经历了怎样的过程？用了哪些方法？）称议为还有哪些问题值得研究？
师生互动: 教师用PPT呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法、教师在学生回答的基础上进行适当归纳。
设计意图：（1）通过回顾，进一步明确诱导公式的结构和运用步骤，提升对诱导公式的整体认识，提高解题能力。
（2）回顾从“角的终边相同”时三角函数的关系、到“角的终边具有特殊对称性”时三角函数的关系，进一步落实发现和提出问题的能力。
（3）诱导公式是三角函数的基本性质，本节课从三角函数定义出发，借助单位圆的对称性、先探索终边关于原点对称的两个角之间的数量关系，再利用单位圆上关于原点对称的点的坐标关系得出公式二、研究过程中，运用了对称、坐标变换、函数变换等思想和方法、探究公式二的思想和方法具有普适性。
（4）接下来要探究的是角的终边关于直角坐标系中特殊直线对称的问题。
环节六 目标检测，检验效果
题1：利用公式二一公式四求下列三角函数值：
(1)cos(-420°);(2)sin(-);(3)tan(-1140°)。
［设计意图】检测学生恰当选择公式进行三角函数求值的达成情况。
题2 化简：sm（-a-180°）cos（-a）sin（-a＋180°）。
［设计意图］检测学生恰当选择公式、同角三角函数关系式进行三角函数式化简
（1）cosπ； （2）sin； （3）tan；
（4）cos； （5）sin
【设计意图】巩固本节课所学知识，使不同学生有不同发展.