5.3.2 诱导公式 教学设计

§5.3.2诱导公式
1.教学目标
（1）从三角函数的定义出发，借助与单位圆的对称性，推导的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养。
（2）通过分析公式五、公式六之间的关系，以及公式一～公式六之间的联系，形成诱导公式的整体架构，能利用诱导公式进行三角函数式的化简、求值与证明，发展数学运算的素养。
2.教学重点与难点
教学重点：诱导公式五、六的探究。
教学难点：终边关于直线y＝x对称的两个角之间关系。
3.教学过程设计
环节一 复习回顾，引入问题
问题1 上一节课我们研究了公式二～公式四，你能说说我们是如何得到这些公式的吗？
师生活动 由学生发言，回顾公式二～公式四的研究内容、过程和方法，教师适时补充完善。
追问 两个角的终边除了关于原点、x轴和y轴对称外，你认为还有哪些对称关系值得研究？你打算怎样研究？
师生活动 学生思考、讨论后，确定值得研究的问题：两个角的终边关于y＝x，或y＝-x对称时，这两个角的三角函数之间的关系。研究方法与前面的类似。
［设计意图］通过回顾公式二～公式四的研究内容、过程和方法，为研究公式五、公式六做好思想方法的准备；通过追问，引导学生发现和提出值得研究的问题，培养发现和提出问题的能力。
环节二 探究得出公式五、公式六
问题2 你能类比公式二～公式四的研究过程，探究终边关于直线y＝x对称的两个角的三角函数的关系吗？
师生活动 先由学生独立思考，得出思路和方法，然后展开自主探究。
探究的内容：（1）设角a的终边为OP，角的终边为OP4，OP4与OP关于直线y＝x对称，规么角与角a有怎样的数量关系？
（2）角与角a的三角函数之间有怎样的关系？
探究方法：由三角函数的定义，借助单位圆的对称性。得出有关结论。具体探究时，如图所示，先在直角坐标系中画一个单位圆，作出任意角a的终边OP，且P为终边与单位圆的交点，再作点P关于直线y＝x的对称点P1，接下来就是利用该图研究上面的两个问题。
学生先自主探究，再小组交流，最后各小组选代表展示，师生评价，完善研究结果，得出公式五。
［设计意图］通过问题引导、师生互动交流，在明确探究的问题和方法的基础上，放手让学生自主探究，在推导出公式五的过程中，发展直观想象、逻辑推理等素养。
问题3 在探究公式二～公式五的过程中，都是将点P作了一次对称变换，如果对点P连续作两次对称变换，又能得到三角函数的哪些关系式呢？我们不妨在图中，作P4关于y轴的对称点P3，如图所示，你能得到什么结论？
师生活动 由学生根据公式四的探究过程，自主探究得出以OP5；为终边的角θ与角a之间的关系为θ＝，进而得出公式六
［设计意图］基于公式五的背景增加新的研究条件，提出探索性问题，有利于培养学生发现和提出问题的能力。这里的重点是启发学生利用前面的学习经验，通过适当的几何变换、坐标变换，得出角θ与角α的数量关系，以及点P和点P5坐标之间的关系，让学生进一步熟悉研究的一般方法。
追问1 前面我们通过两次对称变换，将a先变换到，再变换到，进而得到公式六。能不能从代数变换角度，利用已有公式直接推出公式六？
师生活动 由学生独立思考，得出
sin()=sin[π-()]=sin()=cosa;
cos()=cos[π-()]=-cos()=-sina.
教师可以进一步指出，在三角函数恒等变形中，对角的变形是需要经常使用的技巧。
追问2 能否直接通过角a的终边与角的终边的关系，得出相应的公式？
师生活动 先由学生根据已有的经验，画出图形，得出两个角的终边与单位圆交点坐标之间的关系，从而得到公式。
追问3 你能从公式六出发推导公式五吗？
师生活动 由学生独立完成。
［设计意图］通过上述追问，引导学生用不同方法推导公式，从不同角度认识公式，建立公式之间更紧密的联系，从而提升对诱导公式整体性的认识，为灵活运用公式解决问题打下基础。
环节三 例题练习，巩固理解
例1 化简： sin(2π-a)cos(π+a)cos(+a)cos(-a)
cos(π-a)sin(3π-a)sin(-π-a)sin(+a)
例2 已知sin（53°-a）＝，且-270°＜a＜-90°，求sin（37°＋a）的值。
师生活动 由学生独立完成，再让学生展示解答过程。
对于例2，在学生展示解答过程时，要让学生说说思考步骤。要强调在利用诱导公式解决问题时，注意三角函数恒等变形与代数恒等变形的差异，即三角恒等变形不仅仅是对三角函数式进行改变，角之间的特殊关系也是变形的重要关注点，角的特殊关系表现在它们的和、差是特殊角上。因此，在解答例2后，可以给出如下问题：
追问 观察公式一～公式六，你能归纳一下各公式中两个角之间各有什么特定关系吗？由此给你什么启发？
师生活动 先由学生独立思考，再进行小组讨论，最后通过全班交流得出结果。设两个角是a、β，我们有
公式一 β-a＝k·2π，kEZ； 公式二 β-a＝π；
公式三 β＋a＝0； 公式四 β＋a＝π；
公式五 β＋a＝： 公式六 β-a＝。
所以，诱导公式中的两个角都有特殊关系，即它们的和或差是特殊角。 这样，在利用诱导公式解决问题时，首先要观察所给的三角式中角的特点，是否满足“和或差是特殊角””
［设计意图］两个例题虽然类型不同，难易程度也有差异，但都要注意数学运算《
核心素养立意的高中数学课程教材教法研究养的培养。例1比较简单，学生都有思路，教学中要把重点放在恰当选择公式上。例2的难点是学生观察不到已知和所求中两个角之间的特殊关系，所以本例的教学要把重点放在引导学生观察角之间的特殊关系上，并且在解决例2后，通过追问引导学生归纳出诱导公式中两个角的特定关系，从而使学生掌握运用诱导公式解决问题的一般思路。这个设计关注了对三角函数这个特殊运算对象的理解，而根据角之间的特殊关系选择诱导公式，则是一个探究运算思路的过程。所以，这样的教学有利于数学运算素养的落实。
环节四 单元小结
问题4 回顾整个诱导公式的探究过程，回答如下问题：
（1）我们是如何发现和提出本单元所研究的问题的？你能从形和数两个角度表述诱导公式所研究的问题吗？
（2）探索诱导公式，我们经历了怎样的过程？用了哪些数学思想和方法？
（3）公式一～公式六有怎样的结构？一般地，可以按怎样的顺序运用这些公式？
（4）诱导公式数量很多，你觉得用什么方法可以达到不仅有效记忆，而且能灵活运用的效果？
（5）在平面几何中我们学习过轴对称、旋转和平移，知道它们是最基本的几何变换。在“任意角”中我们学习过β＋α的定义：将任意角α的终边OP旋转任意角β到OP1，以OP1为终边的角就是β＋α。根据这些知识，我们可以把诱导公式分为关于x轴的轴对称变换（即公式三将α变换为一α）、以及绕原点逆时针旋转特殊角（公式六将a变换为＋a）和π的旋转变换的代数表达。又因为旋转π可以看成是连续两次旋转／2，所以诱导公式最终可以归结为关于x轴的轴对称变换和绕原点逆时针旋转 的旋转变换的代数表达。你能根据这个观点给出以公式三和公式六为基础的诱导公式整体结构吗？
［设计意图］从诱导公式所研究的问题、过程、方法和公式的整体里构等角度进行梳理，并注意从不同视角进行分析和总结，从而达成对公式的结构化认识。
环节五 单元检测 ，检验效果
题1 化简：（1）cos2（-a）-） (2)
［设计意图］检测学生恰当选择诱导公式和同角三角函数关系式进行三角函数式化简的达成情况。
题2 在单位圆中，已知角a的终边与单位圆的交点为P，分别求角π＋a，-a，
＋a的正弦、余弦函数值。
［设计意图］检测学生利用三角函数的定义和诱导公式二、三、六进行三角函数求值的达成情况。
题3 在ΔABC中，试判断下列关系是否成立，并说明理由。
(1)cos(A+B)=cosC;(2)sin(A+B)=sinC;(3)(4)
［设计意图］检测学生挖掘隐含条件、恰当选择诱导公式四和公式五推导三角恒等式的达成情况。
布置作业《必修一》第194页，习题5.3，第5,6,8,9,10题。