5.4.1正弦函数，余弦函数的图象 教学设计

§5.4.1正弦函数，余弦函数的图象
1.教学目标：
（1）通过正弦函数定义、利用单位圆得到正弦曲线，会用五点法法做出正弦函数在一个周期的简图.
（2）通过图像变换得到余弦函数的图像，会用五点法法做出余弦函数的在一个周期的简图.
2、教学重点与难点
教学重点：画出正弦函数、余弦函数的图像
教学难点：画出正弦函数图像上任意点，利用图像变换画出余弦函数的图像.
3、教学过程设计
（一）规划研究方案，形成研究思路
问题1∶三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题 怎样研究
追问∶（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的
（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么
（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗 选择哪一个区间即可
师生活动∶教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案. 预设的答案如下:
研究的线路图∶函数的定义——函数的图象——函数的性质.
绘制一个新函数图象的基本方法是描点法.
对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象，再画正弦函数y=sin x，x∈R的图象.
设计意图∶规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个单元的学习进程，形成整体观念.
（二）正弦函数的图象
问题2∶绘制函数的图象，首先需要准确绘制其上一点.对于正弦函数，在[0，2π]上任取
一个值x。如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T（x0，sin x0）
追问（1）∶根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标x0在单位圆上表示哪个几何量 sinx0的几何意义又是什么
师生活动∶教师引导学生，根据定义分析确定x。，sinx0对应的几何量.
追问（2）∶根据上述分析，如何具体地作出点T（x。，sin xo）
师生活动∶教师和学生讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点.
具体的操作∶方法1∶“手工细线缠绕”法. 方法2∶利用信息技术.
设计意图∶教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解.通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.
问题3∶我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，类比指数函数、对数函数图象的画法，接下来，如何画出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象 你能想到什么办法
师生活动∶学生给出设想，师生讨论后选择一种或者多种适合的方法实施.
预设的答案∶
方案1∶在区间[0，2π]内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接.
方案2∶为方便操作，可以在区间[0，2π]内取等分点，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接.
追问∶这两种绘制方法的异同是什么 （两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行.）
设计意图∶确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷.
问题4∶根据函数y=sin x，x∈【0，2π】的图象，你能想象正弦函数y=sin x，x∈R的图象吗 依据是什么 画出该函数的图象.
师生活动∶学生画图，教师予以指导.
预设的答案∶根据公式一，可知函数y=sinx，x∈[2kπ，2（k＋1）π]，k∈Z且k=0的图象与y=sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致.因此将函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，x∈R的图象，
教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线是一条“波浪起伏”的连续光滑
问题5∶如何画出函数y=sinx，x∈[0，2π]图象的简图
追问∶在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点
师生活动∶教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法.
预设的答案∶观察图,在函数y=sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个点（0，0），（，1），（，0），（，一1），（，0）在确定图象形状时起关键作用.因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”.
设计意图∶观察函数图象，概括其特征，获得"五点法"画图的简便画法.
（三）余弦函数的图象
问题6∶如何画出余弦函数y=cosx的图象
师生活动∶学生可能会类比正弦函数图象的画法，提出用类似的方法画余弦函数的图象.对此教师应予以肯定，并进一步提出追问的问题.
追问（1）∶由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数.诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化.相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象
师生活动∶学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，可以选择关系cos x=sin（+x）.记f（x）=sin x，则cos x=f（x＋）.因此函数y=cos x 的图象，可以看作将函数y=sin x的图象上的点向左平移单位得到.
追问（2）∶你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗
师生活动∶这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证.
预设的答案∶设（x0，y0）是函数y=cos x 图象上任意一点，则有yo=cos xo=sin（＋ xo）.令 xo+==to，则yo=sinto，即在函数y=sinz图象上有对应点（to，y0），
比较两个点∶（to，y0）与（x0，y0）.因为xo+==to，即xo=to-,
所以点（x0，y0）可以看做是点（to，y0）向左平移个单位得到的，只要将函数y=sin x 图象上的点向左平移单位即可得到函数y=cos x的图象，
教师指出，余弦函数y=cos x，x∈R的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线.
设计意图∶利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识.
问题7∶类似于用“五点法”作正弦函数图象，如何作出余弦函数的简图
追问∶余弦函数在区间[一π，π]上相应的五个关键点是哪些 请将它们的坐标填人下表，然后作出y=cosx，x∈[-π，π]的简图. 8
x
cosx
设计意图∶观察余弦函数图象；掌握其特征，获得"五点法".
（四）例题
先用“五点法”画出下列函数的图象，然后再说明如何经过图象变换得到下列函数的图象∶
(2)y=-cos x,x∈[0,2π].
(1)y=1＋sin x,x∈[0,2π];
师生活动∶学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答.
设计意图∶巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫.
（五）目标检测设计教科书第200页练习第2题.
设计意图∶考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握度，是否会利用“五点法”作图.