5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 教学设计

§5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
1.教学目标
（1）经历由正弦函数、余弦函数的图象研究正弦函数、余弦函数的性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质，
（2），明确三角函数图像与性质的研究方法.体会数形结合思想、特殊到一般的数学思想，提升直观想象、逻辑推理和数学运算等素养。
2、教学重、难点
教学重点：正弦函数、余弦函数的性质
教学难点：理解正弦函数、余弦函数的性质
3、教学过程设计
（一）正弦函数的周期性
引导语∶根据第一部分问题1获得的研究思路可知，接下来可以利用函数的图象研究其性质了. 所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征. 从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质∶周期性.
问题1∶观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少用代数方法如何解释你的猜想
师生活动∶首先，学生可以根据图象说出正弦函数的周期2π，4π，等等.教师适当启发，引导学生进一步说出0，-2π，等等，直至2kπ，k∈Z，即正弦函数的周期有无穷多个.然后，学生利用公式一从代数的角度解释猜想的正确性。最后，教师给出周期函数的定义，并让学生回答正弦函数是否为周期函数，若是，则指出其周期.
追问（1）∶...那么是正弦函数y=sinx的一个周期吗 为什么 这种情况与说2kv（k∈Z）是正弦函数的周期有什么不同
追问（2）∶在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数
师生活动∶教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想∶2π.然后举例说明
教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.
设计意图∶直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期.
追问（3）∶请你阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题∶什么叫周期函数 什么叫周期 什么叫最小正周期 如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么图象特征是什么
追问（4）∶知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助
师生活动∶明确周期函数的定义，并让学生回答正弦、余弦、正切函数是否为周期函数，如果是，分别指出它们的周期和最小正周期．对于追问（4），学生先独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结.
设计意图∶了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫，
（二）正弦函数、余弦函数的其他性质
问题2∶对于一般的函数，我们通常要研究哪些性质 观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.
正弦函数 余弦函数
定义域
值域
周期
奇偶性
对称轴
对称中心
递增区间
递减区间
最大值点
最小值点
师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流.注意，在此环节，只是利用图象得出结论，下一环节才从代数的角度分析.
在完成表格时，因为三角函数的周期性和图象的丰富的对称性，学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.对此，在学生展示交流过程中，教师可以通过如下追问促进学生的思考，帮助他们理解，并借助信息技术，引导学生进行直观想象.
追问（1）∶如何理解点（π，0）也是正弦函数y=sinix的对称中心 如何理解直线x=
是正弦函数y=sin x的对称轴？
追问（2）∶逐一列举正弦函数y=sin x的单调递增区间，它们与区间[-,]
之间有怎样的关系 ,
设计意图∶按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.
问题3∶阅读教科书5.4.2节“2.奇偶性”“3.单调性”“4.最大值与最小值”的内容，回答下列问题∶
（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性 知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助
（2）分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性 为什么
师生活动∶教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题.
设计意图∶引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性.