5.4.1.2 正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用 教学设计

正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
1.教学目标
正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
2、教学重点与难点
教学重点：正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
教学难点：正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用
3.教学过程设计
（一）例题
例1 求下列函数的周期∶
（1）y=3sinx, x∈R ;(2)y=cos 2x, x∈R;(3)y=2sin(),x∈R.
追问∶ 解答完成之后思考，求解的依据是什么 据此求解的步骤是什么 这些函数的周期与解析式中哪些量有关
师生活动∶对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在. 教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解.对于周期问题，求解的步骤如下∶
第一步，先用换元法转换.比如对于“（2）y=cos2x，x∈R”，令2x=t，所以y=f（x）=cos 2x=cos t;
第二步，利用已知三角函数的周期找关系，有 cos（2π＋t）=cost，代入可得cos（2x＋2x）=cos2x；
第三步，根据定义变形.变形可得cos2（π十z）=cos 2x，于是就有f（x＋x）=f（x）；第四步，确定结论.根据定义可知其周期为π.
周期与自变量的系数有关．仿照上述分析过程可得函数y=Asin（）的周期为T=.
一般地，如果函数y=f（x）的周期是T，那么函数y=f（x）的周期是）
设计意图∶通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数y=Asin（）的周期，为后续学习作准备.
例2 下列函数有最大值、最小值吗 如果有，请写出取最大值、最小值时自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么.
(1) y=cos x＋1, x∈R;(2)y=-3sin 2x,x∈R;(3) y=-3sin 2x, x∈[37, π].
师生活动∶学生先独立完成，然后展示交流解题思路和结果，教师点明换元法及其重要作用.本例中，对于（1），因为1是确定值，因此问题转化为求y=cos x 的最值；对于（2），令2x =t，转化为求y=-3sint的最值；对于（3），它与（2）的不同之处在于自变量的范围有限制.
设计意图∶巩固对最值概念的理解，初步感受换元法在求解三角函数问题中的作用.
例3 不通过求值，比较下列各数的大小∶
(1); (2)
师生活动∶学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解，
设计意图∶初步应用函数的单调性解决比较大小的问题.
例4 求函数的单调递增区间.
师生活动∶师生共同分析此问题，然后共同完成求解.
变式问题∶求函数的单调递增区间.
设计意图∶类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养.
例5 定义在实数集R上的偶函数f（x）的周期为π，且当x∈,时，f（x）=cosx.
求当x∈时，f（x）的解析式；
画出函数f（x）在上的简图；
求函数f（x）的单调递增区间；
求当f（x）≤。时，x的取值范围.
师生活动∶有前面函数学习的基础，学生容易求出当x∈时，f（x）的解析式，教师可启发学生，类比这个求解经验，解决第（1）小题.教师也可以引导学生在求函数解析式之前，根据性质，绘制其草图，这样有助于学生整体把握函数的图象和性质，也有利于此题的求解.
设计意图∶通过解决变式问题，让学生在不同的问题中理解函数的周期性、奇偶性、单调性，熟悉周期性在研究函数问题中的作用，并进一步熟悉正弦函数、余弦函数的图象与性质.
（二）梳理总结
问题1∶教师引导学生回顾本单元的学习内容，回答下面的问题∶
（1）正弦函数、余弦函数的图象是什么形状 它们具有什么性质 请结合一个具体的函数谈一谈.
（2）对于正弦函数，我们是如何绘制出它的图象的 又是如何研究它的性质的 余弦函数呢
（3）通过本节课的学习，你对正弦函数、余弦函数有了哪些新的认识 对于如何研究一个函数又有了哪些新的体会
设计意图∶通过小结，复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解.通过对本单元研究过程的总结，体会研究正弦函数、余弦函数性质的方法，进一步体会研究函数的一般思路和方法.
（三）拓展研究
问题2∶三角函数的定义是利用单位圆给出的，你能利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质吗 请将你的研究方案和研究结果写下来.
设计意图∶让学生换一个角度认识正弦函数、余弦函数的性质，提升其理解的深刻性.同时开放学生的思维，通过探索发现提升学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.
（四）布置作业
教科书习题5.4第1，2，3，4，5，12，16，18，19题.
（五）目标检测设计
1.教科书第203页练习第2（1）（3）题，第3题；
2. 教科书第207页练习第2，3题.
设计意图∶（1）考查学生对求函数周期性方法的掌握；（2）考查学生对判断函数奇偶性方法的掌握；（3）考查学生对求函数最值方法的掌握；（4）考查学生对函数单调性的理解.