《创新课堂》第一章 安培力与洛伦兹力 专题强化3　带电粒子在有界匀强磁场中的运动及多解问题 课件 高中物理选择性必修第二册（人教版）

(共50张PPT)
专题强化3
带电粒子在有界匀强磁场中的运动及多解问题
1.会分析解决带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界等有界匀强磁场中的运动问题。
2.了解带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解成因，会分析解决有关多解问题。
学习目标
01
强化点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题
目 录
02
强化点二　带电粒子在有界匀强磁场中多解问题
03
课时作业
01
PART
强化点一　带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题
【例1】 （单边直线边界的磁场）〔多选〕如图所示，在边界PQ上方有垂
直纸面向里的匀强磁场，一对比荷相同的正、负离子同时从边界上的O点
沿与PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁场中，不计离子所受重
力及离子间的相互作用，则正、负离子（　　）
A. 同时重新回到边界
B. 重新回到边界的位置与O点的距离相等
C. 离开边界时两者的速度相同
D. 正离子重新回到边界的位置与O点的距离更大
√
√
解析：两离子在磁场中运动周期为T＝，则知两个离
子做匀速圆周运动的周期相等。根据左手定则分析可
知，正离子逆时针偏转，负离子顺时针偏转，作出两离
子的运动轨迹，如图所示，两离子重新回到边界时，正离子的速度偏向角为2π－2θ，轨迹的圆心角也为2π－2θ，运动时间t1＝T，同理，负离子运动时间t2＝T，正、负离子在磁场中的运动时间不相等，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，得r＝，由题意可知r相同，根据几何知识可得，重新回到边界的位置与O点距离s＝2rsin θ，r、θ相同，
则s相同，故两离子在磁场中运动的位移大小相同，方向不同，故B正确，D错误；两离子在磁场中均做匀速圆周运动，速度沿轨迹的切线方向，根据圆的对称性可知，重新回到边界时速度大小与方向相同，故C正确。
方法归纳
带电粒子在单边直线边界匀强磁场中运动的常见情况
如图甲、乙、丙所示，带电粒子进入、射出磁场时具有对称性，进入和射
出磁场时的速度与边界的夹角大小相等。
【例2】 （平行直线边界的磁场）如图所示，宽为d的带状区域内有垂直纸
面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为e的质子
从A 点出发，与边界成60°角进入匀强磁场，要使质子从左边界飞出磁
场，则质子速度的最大值为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析：作出不同速度情况下质子的运动轨迹，得到质子速度
最大的临界状态是轨迹与PQ相切时，如图所示，由几何知识
可得r＋rcos 60°＝d，解得r＝d ，质子在磁场中做匀速圆
周运动，洛伦兹力提供向心力，有evB＝，解得v＝，
故选A。
方法归纳
带电粒子在平行直线边界匀强磁场中运动的常见情况
1. 一般情况：带电粒子从一侧边界进入、从同侧或另一侧边界射出，如图
甲所示。
（1）从磁场边界端点飞出，如图乙所示。
（2）与磁场边界相切，如图丙、丁所示。
2. 临界情况：带电粒子恰好从磁场飞出（或恰好飞不出）的临界问题，通
常有如下两种情况。
【例3】 （圆形边界的磁场）如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON
方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向
偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转
60°。不计重力，求的值。
答案：
解析：设磁场区域的半径为R，根据几何关系可知，带电粒子以v1射入磁场
时，在磁场中运动的轨迹半径r1＝R，带电粒子以v2射入磁场时，在磁场中
运动的轨迹半径r2＝＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝
m，可得r＝，则＝＝。
【例4】 （圆形边界的磁场）〔多选〕（2025·四川绵阳期末）如图所
示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度
为B的匀强磁场，一点电荷从图中A点以速度v0沿水平方向垂直磁场入射，
速度方向与半径方向的夹角为30°，经磁场偏转后刚好能从C点（未画
出）反向射出，不计点电荷的重力，下列说法正确的是（　　）
A. 该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点
B. 该点电荷在磁场中的运动时间为
C. 该点电荷的比荷为
D. 若磁场反向，则该点电荷在磁场中运动的时间为
√
√
解析：由对称性，因点电荷射入磁场时初
速度方向不是沿半径方向，则该点电荷离
开磁场时速度方向的反向延长线也不会通
过O点，选项A错误；点电荷在磁场中的运
动轨迹如图a所示，由几何关系可知，该点
电荷在磁场中的运动半径r＝R，则运动时间为t＝＝，选项B正确；根据qv0B＝m，解得该点电荷的比荷为＝，选项C正确；若磁场反向，点电荷在磁场中的运动轨迹如图b，设点电荷在磁场中运动轨迹所对的圆心角为2θ，则由几何关系和正弦定理有＝，解得tan θ＝＜1＝tan 45°，则2θ＜，该点电荷在磁场中运动的时间t＜，选项D错误。
方法归纳
带电粒子在圆形边界匀强磁场中运动的特点
　　带电粒子进、出圆形边界匀强磁场的运动具有对称性：
（1）沿圆形磁场区域半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲
所示。
（2）不沿圆形磁场区域半径方向射入的粒子，如果入射速度方向与半径
的夹角为θ，则出射速度方向与半径的夹角一定也为θ，如图乙所示。
02
PART
强化点二　带电粒子在有界匀强磁场中多解问题
带电粒子在匀强磁场中运动的常见多解情形
类型 分析 图例
磁场
方向
不确
定 只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。如图所示，带正电粒子以速度v垂直匀强磁场进入，若B垂直纸面向里，其轨迹为a；若B垂直纸面向外，其轨迹为b
临界
状态
不唯
一 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
【例5】 （磁场方向不确定形成的多解） 〔多选〕如图所示，A点的离子
源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，重力忽略不计。为把这
束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间
的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加
磁场的磁感应强度B应满足（　　）
A. 垂直纸面向里，B＞ B. 垂直纸面向里，B＞
C. 垂直纸面向外，B＞ D. 垂直纸面向外，B＞
√
√
解析：当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，
由左手定则可知负离子向右偏转，负离子被约
束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨
迹与OP相切，如图（大圆弧），由几何知识知
r2＝OO2sin 30°＝OO2，而OO2＝s＋r2，故r2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得B＞
，选项A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子
的运动轨迹与OP相切，如图（小圆弧），由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件；由牛顿第二定律得qvB＝，解得B＞，选项C正确，D错误。
【例6】 （临界状态不唯一形成的多解）〔多选〕长为l的水平极板间有垂
直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，板不带电。现
有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处
垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法
是（　　）
A. 使粒子的速度v＜
B. 使粒子的速度v＞
C. 使粒子的速度v＞
D. 使粒子的速度＜v＜
√
√
解析：欲使粒子不打在极板上，如图所示，带正电的粒子
从左边射出磁场时，其在磁场中圆周运动的半径r＜，粒
子在磁场中做圆周运动由洛伦兹力提供向心力，根据qvB
＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，所以粒子从左
边射出不打到极板上满足＜，即v＜，带正电的粒子从右边射出，如图所示，此时粒子的最小半径为r'，由几何关系有r'2＝l2＋，可得粒子做圆周运动的最小半径r'＝，则＞，即v＞，故欲使粒子不打在极板上，粒子的速度必须满足v＜或v＞，故选项A、B正确。
03
PART
课时作业
1. 如图所示，在第Ⅰ象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，一对质量与电荷
量都相等的正、负粒子分别以相同速率沿与x轴成30°角的方向从原点射入
磁场，不计粒子所受重力，则正、负粒子在磁场中运动的时间之比为
（　　）
A. 1∶2 B. 2∶1
C. 1∶ D. 1∶1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
√
解析：　由洛伦兹力提供向心力有qvB＝，又T＝
，解得T＝，则正、负粒子在磁场中的运动周期相
等，正、负粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，正粒子在
磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°，负粒子在磁场
中的运动轨迹对应的圆心角为60°，故正、负粒子在磁场
中运动的时间之比为2∶1，B正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2. 如图所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直
纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧
垂直于磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为θ，已知电子的质量为
m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条
件是（　　）
A. v＞ B. v＜
C. v＞ D. v＜
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：　由题意可知，电子从边界EF射出的临界条
件为到达边界EF时，速度方向与EF平行，即运动轨迹
与EF相切，如图所示。由几何知识得R＋Rcos θ＝d，
R＝，解得v0＝，当v＞v0时，电子能从
边界EF射出，故A正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 〔多选〕（2025·河南开封期末）如图所示，在x轴上方存在着垂直于
纸面向里的匀强磁场。一个质量为m、电荷量大小为q（不计重力）的带电
粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于
磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子在磁场中运动时到x轴的最大距离为
a，则磁感应强度B和该粒子所带电荷的正、负可能是（　　）
A. ，正电荷 B. ，正电荷
C. ，负电荷 D. ，负电荷
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：如图所示，若粒子带正电，则a＝r（1－sin
30°）＝，则B＝，选项B正确；若粒子带负电，
则a＝r（1＋sin 30°）＝，则B＝，选项C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
4. （2025·江苏南京期中）如图所示，正方形区域内存在垂直于纸面向里
的匀强磁场。一带电粒子垂直于磁场边界从a点射入，从b点射出。下列说
法正确的是（　　）
A. 粒子带正电
B. 若仅增大磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
C. 若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b点左侧射出
D. 若仅增大入射速率，则粒子在磁场中运动时间变长
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：　因为粒子向下偏转，根据左手定则可得粒子带负电，故A错误；
根据洛伦兹力提供向心力可知qBv＝m，则r＝，可知若仅增大磁感应
强度，则粒子运动的半径减小，粒子可能从b点左侧射出，若仅减小磁感
应强度，则粒子可能从b点右侧射出，故B正确，C错误；若仅增大入射速
率，根据r＝，可知粒子在磁场中运动半径增大，粒子轨迹对应的圆心
角将减小，根据t＝T，而运动周期T＝＝，T保持不变，可知粒子
运动的时间减小，故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
5. 如图所示，在边长为a的正三角形区域内存在着方向垂直于纸面向外、
磁感应强度大小为B的匀强磁场。一个质量为m、电荷量为＋q的带电粒子
（重力不计）从AB边的中点O以某一速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速
度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°。则粒子能从AB边穿出磁场的最
大速度v的大小为（　　）
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：　从AB边以v射出的粒子符合题意的运动轨迹如图
所示。由图知2R＝OB·cos 30°，OB＝，又Bqv＝，
解得v＝。故选C。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
6. 〔多选〕如图所示，圆柱形区域的横截面在没有磁场的情况下，带电粒
子（不计重力）以某一初速度沿截面直径方向入射时，穿过此区域的时间
为t；若该区域有沿轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为B，带电粒子仍以
同一初速度沿截面直径入射，粒子飞出此区域时，速度方向偏转了，根
据上述条件可求得的物理量为（　　）
A. 带电粒子的初速度
B. 带电粒子在磁场中运动的半径
C. 带电粒子在磁场中运动的周期
D. 带电粒子的比荷
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 　无磁场时，带电粒子做匀速直线运动，设圆柱形区域磁场的半
径为R0，则v＝；而有磁场时，带电粒子做匀速圆周运动，由半径公式
可得R＝；由几何关系得，圆形磁场半径与圆轨道半径的关系R＝
R0，可得＝；设粒子在磁场中的运动时间为t0，粒子飞出此区域
时，速度方向偏转60°角，则由周期公式可得t0＝＝πt；由于不知圆磁
场的半径，因此带电粒子在磁场中运动的半径以及初速度无法求出。故选
C、D。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 〔多选〕如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷相同
的两个粒子（不计重力）沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点
射出，则（　　）
A. 从P点射出的粒子速度大
B. 从Q点射出的粒子向心加速度大
C. 从P点射出的粒子角速度大
D. 两个粒子在磁场中运动的时间一样长
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：作出带电粒子的运动轨迹如图所示。粒子在磁
场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，洛伦兹力提
供向心力，有qvB＝m，轨迹半径r＝，两粒子比荷
相等，rP＜rQ，所以vP＜vQ，故A错误；粒子的向心加速
度a＝＝，vP＜vQ，所以aP＜aQ，故B正确；粒子在
磁场中圆周运动的周期T＝＝，角速度ω＝＝，两粒子比荷相等，所以周期相等、角速度相等，故C错误；根据几何关系可知，粒子在磁场中偏转的圆心角相等，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，所以粒子在磁场中运动的时间相等，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. 〔多选〕（2025·广东汕头期末）两个比荷相等的带电粒子a、b，以不
同的速率va、vb对准圆心O沿着AO方向射入垂直纸面向里的圆形匀强磁场
区域，两粒子射出磁场时的速度偏转角分别为120°、60°，其运动轨迹
如图所示。不计粒子所受的重力，则下列说法正确的是（　　）
A. a粒子带正电，b粒子带负电
B. 粒子射入磁场中的速率之比va∶vb＝1∶3
C. 粒子在磁场中的运动时间之比ta∶tb＝2∶1
D. 若将磁感应强度变为原来的，其他条件不变，a粒子在磁场中运动的时间将变为原来的
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：　根据左手定则，b粒子向上偏转，带正电，a粒
子向下偏转，带负电，故A错误；设a、b两粒子运动轨迹的
圆心分别为Oa、Ob，如图所示，根据洛伦兹力提供向心
力，有qvB＝m，解得r＝，设粒子的圆周运动半径分别
为ra、rb，圆形磁场区域半径为R，根据几何关系有ra＝Rtan 30°，rb＝，可得粒子射入磁场中的速率之比为＝＝＝，故B正确；根据T＝可知两粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
由题意知两粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角分别
为120°和60°，则可得粒子在磁场中的运动时间之比为
＝＝，故C正确；将磁感应强度变为原来的，其他条件
不变，可得此时a粒子的运动半径变为R，由几何知识可得，a粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为90°，由于a粒子做匀速圆周运动的周期变为T'＝T，则a粒子在磁场中运动的时间将变为ta'＝T'＝T，可得＝＝，故D错误。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
9. 〔多选〕如图所示，边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强
磁场。一个带电粒子静止在正方形的中心O处，某时刻分裂成两个带正电
的粒子a、b，粒子a从中心O水平向左射出，粒子b从中心O水平向右射出，
经一段时间a、b两粒子同时射出磁场区域，已知粒子a恰从A处飞出磁场，
粒子b从CD边某处飞出，飞出磁场时速度与CD边的夹角为60°，若忽略重
力和粒子间的相互作用力，则下列判断正确的是（　　）
A. a、b两带电粒子的半径之比为1∶2
B. a、b两带电粒子的速度大小之比为2∶3
C. a、b两带电粒子的质量之比为2∶3
D. a、b两带电粒子的比荷之比为2∶3
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：　a、b两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所
示，由几何关系知，r2＝2r1，所以a、b两带电粒子的半
径之比为1∶2，A正确；由图知，两粒子的运动时间分别
为ta＝Ta，tb＝Tb，由于ta＝tb，则Ta∶Tb＝1∶3，根据
周期公式T＝知，a、b两带电粒子的比荷之比为
3∶1，D错误；由动量守恒定律得mava＝mbvb，根据r＝知，两粒子的质量之比为2∶3，速度大小之比为3∶2，B错误，C正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10. 如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强
度大小为B，∠A＝60°，AO＝a。在O点放置一个粒子源，可以向各个方
向发射某种带负电的粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满
足v0＝，发射方向由图中的角度θ表示。对于粒子进入磁场后的运动
（不计重力作用），下列说法正确的是（　　）
A. 粒子不可能打到A点
B. 以θ＝60°飞入的粒子在磁场中运动的时间最短
C. 以θ＜30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D. 在AC边界上只有一半区域有粒子射出
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析：　由牛顿第二定律得qv0B＝m，解
得R＝a，因此当θ＝60°入射时，粒子恰好从
A点飞出，如图1，故A错误；当θ＝60°飞入
的粒子在磁场中运动时，对应的弦长为a，对
应的时间为，此时对应的圆心角最大，所以
时间最长，故B错误；以θ＜30°飞入的粒
子，在磁场中运动的圆弧长度不一样，故时
间不同，故C错误；以θ＝0°飞入的粒子在磁场中恰好从AC中点飞出，如图2，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
11. （2025·山东潍坊月考）在以坐标原点O为圆心、半径为r的圆形区域
内，存在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所
示。一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x轴的交点A处以速度v沿－x方
向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C处沿＋y方向
飞出。
（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷；
答案：负电荷　　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 由粒子的运动轨迹（如图），利用左手定则可知，该粒子带负电荷。粒子由A点射入，由C点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m，则粒子的比荷＝。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B'，该
粒子仍从A处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入
射方向改变了60°，求磁感应强度B'的大小及此次粒子
在磁场中运动所用时间t。
答案：B　
解析：设粒子从D点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°，
故AD弧所对圆心角为60°，由几何知识可知，粒子做匀速圆周运动的半径
R'＝＝r，又R'＝，所以B'＝B，此次粒子在磁场中运动所用
时间t＝T＝×＝。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
THANKS
演示完毕 感谢观看