专题强化4 带电粒子在组合场、叠加场中的运动问题
1.理解组合场的特点，会处理带电粒子在组合场中的运动问题。 2.理解叠加场的特点，会处理带电粒子在叠加场中的运动问题。
强化点一 带电粒子在组合场中的运动问题
1.组合场：电场与磁场分别位于不重叠的区域内或在同一区域内交替出现。
2.组合场中的动力学分析
【例1】 〔多选〕在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知磷离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，磷离子P＋和（ ）
A.在电场中的加速度之比为1∶1 B.在磁场中运动的半径之比为∶1
C.在磁场中转过的角度之比为1∶2 D.离开电场区域时的动能之比为1∶3
尝试解答
【例2】 （12分）（2024·安康市高二期末）如图所示，第Ⅰ象限存在垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场，已知P点坐标为。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子以v0的速度从P点沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入匀强磁场中②，不计粒子所受的重力①。
（1）求电场强度的大小；
（2）求粒子进入第一象限的速度大小；
（3）若粒子经磁场偏转后从y轴上的Q点进入第二象限③，求OQ的长度。
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信息读取 信息加工
不计粒子所受的重力① 带电粒子在电场中只受电场力，方向竖直向上，做类平抛运动，且粒子带正电
恰好从坐标原点O进入匀强磁场中② 水平位移大小为L，竖直位移大小为L
粒子经磁场偏转后从y轴上的Q点进入第二象限③ 在磁场中做匀速圆周运动，找圆心，求半径
答案：（1） （2） （3）
规范解答：（1）根据题意，水平方向上有v0t＝L（1分）
竖直方向有L＝at2，（1分）
Eq＝ma（1分）
解得E＝。（1分）
（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示。
运动至O点，假设粒子进入第一象限时速度方向与x轴正方向夹角为θ，竖直方向上有vy＝at（1分）
由几何关系有tan θ＝＝（1分）
解得θ＝53°（1分）
则粒子进入第一象限的速度大小为
v＝＝。（1分）
（3）在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，（1分）
解得R＝（1分）
由几何关系得＝2Rsin 37°（1分）
解得＝。（1分）
【例3】 如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）电场强度E的大小；
（3）粒子在磁场和电场中的运动时间的比值。
强化点二 带电粒子在叠加场中的运动问题
1.叠加场：同一区域中电场、磁场和重力场三场同时共存或其中任意两场同时共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
3.带电粒子重力的分析
（1）带电粒子：如电子、质子、离子等，一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比很小，可以忽略。
（2）带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
（3）如果题目中有明确说明是否考虑重力的，按题目要求处理。
（4）题目中没有明确说明是否考虑重力又不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析时，要结合运动状态具体分析确定是否考虑重力。
【例4】 〔多选〕两带电油滴在竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B正交的空间做竖直平面内的匀速圆周运动，如图所示，则两油滴一定相同的是（ ）
A.带电性质 B.运动周期
C.运动半径 D.运动速率
尝试解答
【例5】 如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质量m＝1×1 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），取g＝10 m/s2，求：
（1）小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
尝试解答
方法归纳
分析带电粒子在叠加场中运动问题的一般思路
提示：完成课后作业 第一章 专题强化4
4 / 4专题强化4 带电粒子在组合场、叠加场中的运动问题
学习目标
1.理解组合场的特点，会处理带电粒子在组合场中的运动问题。 2.理解叠加场的特点，会处理带电粒子在叠加场中的运动问题。
强化点一 带电粒子在组合场中的运动问题
1.组合场：电场与磁场分别位于不重叠的区域内或在同一区域内交替出现。
2.组合场中的动力学分析
【例1】 〔多选〕在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知磷离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，磷离子P＋和（ ）
A.在电场中的加速度之比为1∶1
B.在磁场中运动的半径之比为∶1
C.在磁场中转过的角度之比为1∶2
D.离开电场区域时的动能之比为1∶3
答案：BCD
解析：两种离子质量相等，所带电荷量之比为1∶3，在电场中运动时，由牛顿第二定律得q＝ma，则加速度之比为1∶3，A错误；在电场中仅受静电力作用，由动能定理得qU＝Ek＝mv2，可知离开电场区域时动能之比为1∶3，D正确；在磁场中洛伦兹力提供其做圆周运动所需的向心力，则qvB＝m，得r＝＝ ，半径之比为∶1，B正确；设磁场区域的宽度为d，则有sin θ＝∝，即＝，故θ'＝60°＝2θ，C正确。
【例2】 （12分）（2024·安康市高二期末）如图所示，第Ⅰ象限存在垂直于xOy平面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场，已知P点坐标为。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子以v0的速度从P点沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入匀强磁场中②，不计粒子所受的重力①。
（1）求电场强度的大小；
（2）求粒子进入第一象限的速度大小；
（3）若粒子经磁场偏转后从y轴上的Q点进入第二象限③，求OQ的长度。
教您审题
信息读取 信息加工
不计粒子所受的重力① 带电粒子在电场中只受电场力，方向竖直向上，做类平抛运动，且粒子带正电
恰好从坐标原点O进入匀强磁场中② 水平位移大小为L，竖直位移大小为L
粒子经磁场偏转后从y轴上的Q点进入第二象限③ 在磁场中做匀速圆周运动，找圆心，求半径
答案：（1） （2） （3）
规范解答：（1）根据题意，水平方向上有v0t＝L（1分）
竖直方向有L＝at2，（1分）
Eq＝ma（1分）
解得E＝。（1分）
（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示。
运动至O点，假设粒子进入第一象限时速度方向与x轴正方向夹角为θ，竖直方向上有vy＝at（1分）
由几何关系有tan θ＝＝（1分）
解得θ＝53°（1分）
则粒子进入第一象限的速度大小为v＝＝。（1分）
（3）在磁场中，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝，（1分）
解得R＝（1分）
由几何关系得＝2Rsin 37°（1分）
解得＝。（1分）
【例3】 如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一带电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，在x轴负半轴上的a点以速度v0与x轴负方向成60°角射入磁场，从y＝L处的b点垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）电场强度E的大小；
（3）粒子在磁场和电场中的运动时间的比值。
答案：（1） （2） （3）
解析：（1）带电粒子在磁场与电场中运动轨迹如图所示，由几何关系可知r＋rsin 30°＝L，解得r＝，又因为洛伦兹力提供向心力，则qv0B＝m，解得B＝。
（2）设带电粒子在电场中运动时间为t2，沿x轴方向，有2L＝v0t2，沿y轴方向，有L＝a，又因为qE＝ma，解得E＝。
（3）带电粒子在磁场中运动时间t1＝×＝×＝，带电粒子在电场中运动时间t2＝，所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比＝。
强化点二 带电粒子在叠加场中的运动问题
1.叠加场：同一区域中电场、磁场和重力场三场同时共存或其中任意两场同时共存。
2.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式
运动性质 受力特点 方法规律
匀速直线运动 粒子所受的合力为0 平衡条件
匀速圆周运动 除洛伦兹力外，另外两力的合力为零：qE＝mg 牛顿第二定律、圆周运动的规律
较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律
3.带电粒子重力的分析
（1）带电粒子：如电子、质子、离子等，一般情况下其重力与静电力或洛伦兹力相比很小，可以忽略。
（2）带电微粒：如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
（3）如果题目中有明确说明是否考虑重力的，按题目要求处理。
（4）题目中没有明确说明是否考虑重力又不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析时，要结合运动状态具体分析确定是否考虑重力。
【例4】 〔多选〕两带电油滴在竖直向上的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B正交的空间做竖直平面内的匀速圆周运动，如图所示，则两油滴一定相同的是（ ）
A.带电性质 B.运动周期
C.运动半径 D.运动速率
答案：AB
解析：由题意可知，mg＝qE，且电场力方向竖直向上，所以油滴均带正电，由于T＝＝，故两油滴周期相同，由于运动速率关系未知，由r＝＝得，轨道半径大小关系无法判断，所以选项A、B正确，C、D错误。
【例5】 如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5 N/C，同时存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带正电的小球，质量m＝1×1 kg，电荷量q＝2×10－6 C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场（不考虑磁场消失引起的电磁感应现象），取g＝10 m/s2，求：
（1）小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
（2）从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
答案：（1）20 m/s 速度方向与电场方向的夹角为60° （2）2 s
解析：（1）小球做匀速直线运动时受力分析如图甲，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，
有qvB＝ ①
代入数据解得v＝20 m/s ②
设速度v的方向与电场E的方向之间的夹角为θ，则tan θ＝ ③
代入数据解得tan θ＝，θ＝60°。 ④
（2）解法一：
撤去磁场，小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动，如图乙所示，设其加速度为a，
有a＝ ⑤
设撤去磁场后小球在初速度方向上的分位移为x，有x＝vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上的分位移为y，有
y＝at2 ⑦
tan θ＝ ⑧
联立②④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得t＝2 s。
解法二：
撤去磁场后，由于电场力垂直于竖直方向，它对竖直方向的分运动没有影响，以P点为坐标原点，竖直向上为正方向，小球在竖直方向上做匀减速运动，其初速度为vy＝vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的这条电场线，仅需小球在竖直方向上的分位移为零，则有vyt－gt2＝0
联立解得t＝2 s。
方法归纳
分析带电粒子在叠加场中运动问题的一般思路
1.〔多选〕一个带电粒子以初速度v0垂直于电场方向向右射入匀强电场区域，穿出电场后接着又进入匀强磁场区域。设电场和磁场区域有明确的分界线，且分界线与电场强度方向平行，如图中的虚线所示。在下图所示的几种情况中，可能出现的是（ ）
解析：AD 根据带电粒子在电场中的偏转情况可以确定选项A、C、D中粒子带正电，选项B中粒子带负电，再根据左手定则判断粒子在磁场中的偏转方向，可知A、D正确，B、C错误。
2.一正电荷q在匀强磁场中，以速度v沿x轴正方向进入垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，如图所示，为了使电荷能做直线运动，则必须加一个匀强电场进去，不计重力，此电场的电场强度应该是（ ）
A.沿y轴正方向，大小为 B.沿y轴负方向，大小为Bv
C.沿y轴正方向，大小为 D.沿y轴负方向，大小为
解析：B 要使电荷能做直线运动，必须用静电力平衡洛伦兹力，本题正电荷所受洛伦兹力的方向沿y轴正方向，故静电力必须沿y轴负方向且qE＝qvB，即E＝Bv。故B正确。
3.如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R，已知电场的电场强度为E，方向竖直向下；磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，不计空气阻力，设重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A.液滴带正电
B.液滴受到重力、静电力、洛伦兹力、向心力作用
C.液滴所受合外力为零
D.液滴比荷＝
解析：D 液滴在重力场、匀强电场和匀强磁场组成的复合场中做匀速圆周运动，液滴受到的重力和静电力是一对平衡力，故液滴受到的静电力方向竖直向上，与电场方向相反，可知液滴带负电，故A错误；液滴受到重力、静电力、洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，液滴所受合外力不为零，故B、C错误；液滴做匀速圆周运动，即mg＝qE，解得液滴比荷＝，故D正确。
4.（2025·河北邢台期末）如图所示，某空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面方向的匀强磁场（图中未画出），一质量为m的带正电粒子恰能以速度v沿图中虚线所示的轨迹做直线运动，粒子的运动轨迹与水平方向的夹角为60°，匀强电场的电场强度大小为E，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A.匀强磁场的方向垂直于纸面向外
B.匀强磁场的磁感应强度大小为
C.粒子的电荷量为
D.若粒子运动过程中磁场突然消失，则粒子可能做匀减速直线运动
解析：B 带电粒子受到重力、静电力、洛伦兹力，三力平衡，如图所示，因重力方向竖直向下，静电力方向水平向右，所以洛伦兹力方向为左上方，根据左手定则可判断匀强磁场的方向垂直纸面向里，故A错误；由平衡条件可知qvBsin 60°＝Eq，解得B＝＝，故B正确；由平衡条件可知Eq＝mgtan 60°，解得q＝＝，故C错误；若粒子运动过程中磁场突然消失，重力和静电力的合力与速度方向垂直且恒定，则粒子做类平抛运动，故D错误。
5. 〔多选〕一带负电粒子的质量为m、电荷量为q，空间中一平行板电容器两极板S1、S2间的电压为U。将此粒子在靠近极板S1的A处无初速度释放，经电场加速后，经O点进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场（右边界平行于S2），图中实线Ox垂直于极板S2，当粒子从P点离开磁场时，其速度方向与Ox方向的夹角θ＝60°，如图所示，整个装置处于真空中，不计粒子所受重力，则（ ）
A.极板S1带正电
B.粒子到达O点的速度大小为
C.此粒子在磁场中运动的时间t＝
D.若改变右侧磁场（左边界位置不变）宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，则该有界磁场区域的宽度d＝
解析：BC 带负电粒子向右加速，所受静电力向右，电场强度向左，说明极板S1带负电，故A错误；设粒子到达O点的速度大小为v，由动能定理可得qU＝mv2，解得v＝，故B正确；由几何关系可知粒子运动的圆心角为θ＝60°，此粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，故C正确；若改变右侧磁场（左边界位置不变）宽度，使粒子经过O点后恰好不能从右侧离开该有界磁场，画出临界轨迹如图所示，根据洛伦兹力提供向心力，并结合牛顿第二定律可得qvB＝m，把A选项中求得的速度大小代入可得r＝，则该有界磁场区域的宽度d＝r＝，故D错误。
6.〔多选〕如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在场强为E的匀强电场，电场方向平行于x轴，y轴右侧存在垂直坐标系所在平面向外的匀强磁场。一个比荷为k的带正电粒子从x轴上的M点以某一初速度平行于y轴向上运动，经电场偏转后从y轴上的P点进入磁场，进入磁场时速度方向与y轴正方向成60°角，粒子经磁场偏转后打到坐标原点O上。已知M点到O点的距离为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是（ ）
A.P与O的距离为L
B.粒子的轨迹半径为L
C.粒子初速度大小为
D.磁场的磁感应强度大小为
解析：CD 粒子的运动轨迹如图所示，根据类平抛运动推论有＝tan 60°，解得P与O的距离s＝L，A错误；由几何关系有s＝2Rsin 60°，解得R＝L，B错误；根据s＝v0t，L＝at2，qE＝ma，＝k，联立解得v0＝，C正确；粒子在P点的合速度v＝＝2v0，由R＝L＝，解得B＝，D正确。
7.如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限在x轴与y＝－d之间的区域内存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子以初速度v0从y轴上P（0，h）点沿x轴正方向开始运动，经过电场后从x轴上的点Q进入磁场，粒子恰能从磁场的下边界离开磁场。不计粒子所受重力，求：
（1）粒子在Q点速度的大小vQ和与x轴正方向的夹角θ；
（2）匀强磁场磁感应强度的大小B；
（3）粒子在电场、磁场中运动的总时间。
答案：（1）2v0 60° （2） （3）＋
解析：（1）设粒子从P到Q的过程中，沿y轴方向，加速度大小为a，运动时间为t，在Q点进入磁场时速度vQ沿y轴方向的分速度大小为vy，且在Q点速度方向与x轴正方向夹角为θ，则h＝v0t，h＝at2，vy＝at，vQ＝，tan θ＝，联立解得vQ＝2v0，θ＝60°。
（2）设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，则qvQB＝m，解得R＝，粒子运动轨迹如图所示，
又由几何关系可得d＝R＋R
联立解得B＝。
（3）由（1）可知粒子在电场中运动的时间t＝，根据几何关系可知，粒子在磁场中转过的圆心角为α＝120°，在磁场中运动的周期T＝，解得T＝＝，在磁场中运动的时间t'＝T＝，粒子运动的总时间t总＝t＋t'＝＋。
8.（2024·福建高考15题）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子经电容器M由静止开始加速后从另一电容器N下极板边缘进入偏转电场，经电场偏转后恰从电容器N的上极板边缘射出偏转电场，已知两电容器电压均为U，以N电容器下极板右侧O点建立坐标系，粒子自y轴上距离O为d的P点进入右侧磁场，粒子经磁场偏转后垂直于x轴方向经过x轴，求：
（1）粒子刚进入N时的速度大小；
（2）粒子在P处速度方向与y轴正方向的夹角；
（3）磁场的磁感应强度大小。
答案：（1） （2）夹角为45°且斜向右上方
（3）
解析：（1）粒子在电容器M两极板间加速，由动能定理得qU＝m
解得vN＝。
（2）带电粒子在电容器N中做类平抛运动，沿x轴方向以速度vx＝vN＝做匀速直线运动，沿y轴正方向做匀加速直线运动，加速度a＝，运动到P点时沿y轴方向的分速度vy＝＝＝vx，则带电粒子在P处的速度vP＝＝2，设粒子在P处速度与y轴正方向的夹角为α，则sin α＝＝，解得α＝45°，故vP与y轴正方向的夹角为45°，斜向右上方。
（3）带电粒子在电容器N及磁场中的运动轨迹如图所示，由几何关系得∠OPQ＝45°，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径r＝＝d，由qvPB＝m得B＝。
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