2.法拉第电磁感应定律
学习目标
1.理解法拉第电磁感应定律的内容、表达式，能运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小。 2.理解导线切割磁感线时感应电动势的公式E＝Blv或E＝Blvsin θ，会计算导体切割磁感线时产生的感应电动势大小。 3.会推导、计算导体转动切割磁感线时的感应电动势。
知识点一 电磁感应定律
情境：如图所示，将条形磁铁从某一高度插入线圈中。
问题：（1）将条形磁铁从某一高度插入线圈中时电流表的指针会发生偏转吗？其原因是什么？
（2）将同一磁体分别从同一高度快速插入和缓慢插入线圈的过程中，电流表指针偏转的角度相同吗？影响指针偏转角度大小的原因是什么？
提示：（1）电流表的指针会发生偏转，其原因是线圈中产生了电动势，有了感应电流。
（2）快速插入时电流表指针偏转的角度较大，原因是磁体快速插入时线圈中产生的电动势较大，感应电流较大。
1.感应电动势
（1）在电磁感应现象中产生的电动势叫作 感应电动势 ，产生感应电动势的那部分导体相当于 电源 。
（2）在电磁感应现象中，若闭合回路中有感应电流，电路中一定有感应电动势；如果电路断开，这时虽然没有感应电流，但 感应电动势 依然存在。
2.法拉第电磁感应定律
（1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的 变化率 成正比。
（2）公式：E＝。
若闭合电路是一个匝数为n的线圈，则E＝n。
（3）在国际单位制中，磁通量的单位是 韦伯 ，感应电动势的单位是 伏特 。
【易错辨析】
（1）有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流。（ × ）
（2）穿过线圈的磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。（ × ）
（3）穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。（ × ）
（4）穿过线圈的磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。（ √ ）
1.对公式E＝n的理解
（1）感应电动势的大小由穿过回路的磁通量的变化率和线圈匝数n共同决定，与Φ、ΔΦ的大小没有必然关系，与电路的总电阻R无关。
（2）公式E＝n求解的是Δt内的平均感应电动势，当磁通量均匀变化时，平均值等于瞬时值。
（3）公式E＝n只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值。
（4）感应电动势的方向，用楞次定律去判定：对于产生感应电动势的那部分导体（相对于电源），感应电流的流出端就是感应电动势（电源）的正极。
2.应用公式E＝n求解感应电动势的三种情景
（1）当ΔΦ仅由B的变化引起时：E＝n·S，其中为磁感应强度的变化率，在B-t图像中等于直线（或曲线的切线）的斜率；S为线圈在磁场中的有效面积。
（2）当ΔΦ仅由S的变化引起时：E＝nB。
（3）当ΔΦ由B、S同时变化引起时：＝n≠n。
注意：磁通量的变化量、变化率与线圈匝数n无关，但感应电动势E与匝数n成正比，相当于n个电源串联。
【例1】 （法拉第电磁感应定律的理解）〔多选〕图甲、乙、丙、丁分别为穿过同一闭合回路的磁通量的Φ-t图像，下列关于回路中感应电动势的说法正确的是（ ）
A.图甲回路产生恒定不变的感应电动势
B.图乙回路产生的感应电动势一直在变大
C.图丙回路0～t1时间内产生的感应电动势大于t1～t2时间内产生的感应电动势
D.图丁回路产生的感应电动势先变小后变大
答案：CD
解析：根据法拉第电磁感应定律E＝n，由于在Φ-t图像中直线（或曲线的切线）的斜率k＝，故题图甲中磁通量Φ不变，感应电动势为零，故A错误；题图乙中磁通量Φ随时间t均匀增大，图像的斜率k不变，产生的感应电动势不变，故B错误；题图丙中回路在0～t1时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k1，在t1～t2时间内磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率为k2，从图像中发现：k1大于｜k2｜，所以在0～t1时间内回路产生的感应电动势大于在t1～t2时间内回路产生的感应电动势，故C正确；题图丁中磁通量Φ随时间t变化的图像的斜率的绝对值先变小后变大，所以感应电动势先变小后变大，故D正确。
【例2】 （法拉第电磁感应定律的应用）如图甲所示，有一个圆形线圈，匝数n＝1 000匝，面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，其余电阻不计，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t变化的B-t图像如图乙所示（规定垂直于线圈平面向里为磁感应强度的正方向），求：
（1）0～4 s内线圈的感应电动势的大小；
（2）0～4 s内通过电阻R的电流的大小和方向。
答案：（1）1 V （2）0.2 A 向上
解析：（1）0～4 s内线圈的感应电动势E＝n·S＝1 000×0.05×200×10－4 V＝1 V。
（2）由闭合电路欧姆定律可得0～4 s内通过电阻R的电流
I＝＝0.2 A
由楞次定律可知线圈中产生逆时针方向的感应电流，通过电阻R的电流方向向上。
【变式1】 0～5 s内线圈的平均感应电动势。
提示：前5 s内磁通量的变化量。
ΔΦ'＝Φ2'－Φ1＝S（B2'－B1）＝200×10－4×（0.2－0.2）Wb＝0
由法拉第电磁感应定律得＝n＝0。
【变式2】 6 s时线圈的感应电动势大小及通过电阻R的电流的大小和方向。
提示：6 s时线圈的感应电动势大小等于4～8 s内线圈的感应电动势大小。
E＝n·S＝1 000×0.2×200×10－4 V＝4 V
由闭合电路的欧姆定律可6 s时通过电阻R的电流
I＝＝0.8 A
由楞次定律可知线圈中产生顺时针方向的感应电流，通过电阻R的电流方向向下。
知识点二 导线切割磁感线时的感应电动势
情境：如图所示，把平行导轨放在磁感应强度为B的匀强磁场中，通过一电阻相连，所在平面跟磁感线垂直，导体棒MN放在导轨上，两导轨间距为l，MN以速度v向右匀速运动。
问题：根据法拉第电磁感应定律，用以上各量如何表示导体棒产生的感应电动势？
提示：在Δt时间内，由原来的位置MN移到M1N1，这个过程中闭合电路的面积变化量为ΔS＝lvΔt，穿过闭合电路的磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝BlvΔt。根据法拉第电磁感应定律E＝求得感应电动势E＝Blv。
1.导线垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时：E＝ Blv 。（如图甲所示）
2.导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时：E＝ Blvsin θ 。（如图乙所示）
3.动生电动势：由于导体 运动 而产生的感应电动势。
4.动生电动势中的功能关系
切割磁感线运动的导线相当于电源，导线做切割磁感线运动时，克服 安培力 做功，其他形式的能转化为 电能 。
【易错辨析】
（1）导线在磁场中的速度越大，产生的感应电动势一定越大。（ × ）
（2）磁场的磁感应强度越大，导线在磁场中运动时产生的感应电动势一定越大。（ × ）
（3）导线垂直于磁场运动而且B、l、v两两垂直时产生的感应电动势最大。（ √ ）
1.公式E＝Blv中l指有效切割长度
（1）图甲中的有效切割长度为：l＝sin θ。
（2）图乙中的有效切割长度为：l＝。
（3）图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，l＝R；沿v2的方向运动时，l＝R。
2.导线转动切割磁感线的感应电动势E＝Bl2ω
（1）公式推导：
如图所示，长为l的金属棒ab，绕b端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，ab棒所产生的感应电动势大小可用下面两种方法推出。
方法一：棒上各点速度不同，其平均速度＝ωl，由E＝Blv得棒上感应电动势大小为E＝Bl·ωl＝Bl2ω。
方法二：若经时间Δt，棒扫过的面积为ΔS＝πl2＝l2ω·Δt，磁通量的变化量ΔΦ＝B·ΔS＝Bl2ω·Δt，由E＝得棒上感应电动势大小为E＝Bl2ω。
（2）电动势的方向：利用右手定则判断。如上图中的a端为正极，b端为负极，即φa＞φb。
【例3】 （平动切割问题）〔多选〕第十五届中国航展于2024年11月12日至17日在珠海国际航展中心成功举行。如图为某战机在沿水平方向自西向东飞行表演的情景。若该战机的翼展为13 m，该处地磁场的竖直分量方向向下且大小为5.0×13－5 T，该战机飞行时速度约为 300 m/s，下列说法正确的是（ ）
A.该战机两翼尖端电势差大小约为0.195 V
B.该战机两翼尖端无电势差
C.相对于飞行员来说左端机翼电势较高
D.若战机转向为自东向西飞行，相对于飞行员来说机翼右端电势较高
答案：AC
解析：该战机两翼尖端电势差大小约为U＝Blv＝0.195 V，故A正确；珠海市位于北半球，此处地磁场的竖直分量方向向下，根据右手定则可知，无论战机沿水平方向自西向东飞行或自东向西飞行，相对于飞行员来说机翼的左端电势高，故B、D错误，C正确。
【例4】 （倾斜切割问题）如图所示，MN、PQ为两条平行放置的金属导轨，导轨左端接电阻R，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。金属棒ab接触良好地斜放在两导轨之间，与导轨的夹角θ为60°，两个触点之间的长度为L，电阻为r。若金属棒ab以速度v水平向右做匀速运动，不计导轨的电阻。试求：
（1）金属棒ab产生的感应电动势大小及电流方向；
（2）通过金属棒的电流的大小；
（3）a、b之间的电压的大小。
答案：（1）BLv 由b→a （2） （3）
解析：（1）金属棒ab以速度v水平向右做匀速运动时，可得金属棒ab产生的感应电动势
E＝BLvsin θ＝BLvsin 60°＝BLv
根据右手定则可知方向由b→a。
（2）通过金属棒的电流为I＝＝。
（3）a、b之间的电压就是路端电压，Uab＝IR＝。
【例5】 （转动切割问题）如图所示的是圆盘发电机的示意图，铜盘安装在水平的铜轴上，它的盘面恰好与匀强磁场垂直，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路的总电阻为R，从左往右看，铜盘以角速度ω沿顺时针方向匀速转动。则（ ）
A.由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流
B.回路中感应电流大小不变，为
C.回路中感应电流方向不变，为D→C→R→D
D.若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
答案：B
解析：圆盘可近似为由无数条辐向分布的导体棒组成，圆盘在外力作用下使这些导体棒转动切割磁感线，从而产生感应电动势和感应电流，故A错误；根据右手定则可知，在外电路中电流从D点流出，流向C点，因此电流方向为从D向R再到C，即为C→D→R→C，故C错误；根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势E＝BL＝BL2ω，产生的感应电动势大小不变，感应电流大小不变，由闭合电路欧姆定律可知，感应电流大小为I＝＝，故B正确；电流在R上的热功率P＝I2R＝，则圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率变为原来的4倍，故D错误。
公式E＝n与E＝Blvsin θ的区别与联系
公式 E＝n E＝Blvsin θ
区 别 研究对象 某个回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体
内容 （1）求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程对应 （2）当Δt→0时，E为瞬时感应电动势 （1）若v为瞬时速度，求的是瞬时感应电动势 （2）若v为平均速度，求的是平均感应电动势 （3）当B、l、v三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用范围 对任何电路普遍适用 只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系 （1）E＝Blvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的 （2）整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
【典例1】 〔多选〕如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向里。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是（ ）
A.感应电动势的最大值为Bav B.感应电动势的最大值为2Bav
C.感应电动势的平均值＝ D.感应电动势的平均值＝
答案：AC
解析：从D点到达边界开始到C点进入磁场的过程相当于部分电路切割磁感线的运动，在切割的过程中，切割的有效长度先增大后减小，最大有效切割长度等于半圆的半径，即最大感应电动势为Em＝Bav，故A正确，B错误；根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势的平均值为＝＝＝，故C正确，D错误。
【典例2】 （2025·四川眉山市期末）如图所示，在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，有一水平放置的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，框架上放置一接入电路的电阻为1 Ω的金属杆cd，金属杆与框架垂直且接触良好，框架电阻不计，磁场的磁感应强度B＝0.2 T。t＝0时刻，cd杆在水平外力的作用下以恒定加速度a＝4 m/s2由静止开始向右沿框架做匀变速直线运动，则：
（1）在0～2 s内平均感应电动势是多少？
（2）第2 s末，回路中的电流是多大？
答案：（1）0.32 V （2）0.64 A
解析：（1）方法一：金属杆2 s内的位移x＝at2＝8 m
由法拉第电磁感应定律得
＝＝＝ V＝0.32 V。
方法二：金属杆2 s末的速度v＝at＝8 m/s
故其前2 s的平均感应电动势
＝Bl＝Bl·＝0.32 V。
（2）金属杆在第2 s末的速度v＝at＝8 m/s
此时回路中的感应电动势E'＝Blv＝0.64 V
则回路中的电流为I＝＝0.64 A。
方法归纳
应用E＝n或E＝Blv计算感应电动势时，首先弄清是计算平均感应电动势，还是瞬时感应电动势，求解平均值优先使用E＝n，求解瞬时值优先使用E＝Blv。
1.（法拉第电磁感应定律的理解）下列说法正确的是（ ）
A.在电磁感应现象中，有感应电动势，就一定有感应电流
B.穿过某回路的磁通量的变化量越大，产生的感应电动势就越大
C.闭合回路置于磁场中，当磁感应强度为零时，感应电动势可能很大
D.感应电动势的大小跟穿过闭合回路的磁通量的变化量成正比
解析：C 在电磁感应现象中，有感应电动势，不一定有感应电流，只有当电路闭合时才有感应电流，选项A错误；穿过某回路的磁通量的变化率越大，产生的感应电动势就越大，选项B错误；闭合回路置于磁场中，当磁感应强度为零时，磁通量的变化率可能很大，则感应电动势可能很大，选项C正确；感应电动势的大小跟穿过闭合回路的磁通量的变化率成正比，选项D错误。
2.（法拉第电磁感应定律的应用）〔多选〕（2025·河南商丘期中）n匝线圈垂直放在如图所示变化的磁场中，线圈的面积为S。则下列说法正确的是（ ）
A.0～1 s内线圈的感应电动势在均匀增大
B.1～2 s内感应电流为0
C.0～1 s内线圈的感应电动势大于2～4 s内线圈的感应电动势，而且感应电流方向相反
D.第4 s末的感应电动势为0
解析：BC 由法拉第电磁感应定律可得，0～1 s内线圈的感应电动势为E＝n S，大小不变，故A错误；1～2 s内磁感应强度不变，线圈的磁通量不变，所以感应电流为零，故B正确；结合题图可知0～1 s内的大于2～4 s内的，故0～1 s内线圈的感应电动势大于2～4 s内线圈的感应电动势，根据楞次定律可知，0～1 s内与2～4 s内线圈中的感应电流方向相反，故C正确；第4 s末磁感应强度为0，但磁通量的变化率不为0，则感应电动势不为0，故D错误。
3.（平动切割问题）（2024·湖北武汉高二上期末）如图是中国人民解放军装备的“无侦-8”高超音速无人战略侦察机。某次执行任务时，它在某空域以速度v沿水平方向由北向南沿直线飞行，若该地地磁场磁感应强度的竖直分量方向向下、大小为B，侦察机机身长为L，机翼两端点A、C的距离为d，此时A、C间的电势差为U。下列判断正确的是（ ）
A.U＝Bdv，C点电势高于A点电势 B.U＝Bdv，A点电势高于C点电势
C.U＝BLv，C点电势高于A点电势 D.U＝BLv，A点电势高于C点电势
解析：A 侦察机在北半球的上空以速度v水平飞行，其切割磁感应强度的竖直分量，切割的长度等于机翼的长度，所以U＝Bdv，根据右手定则，感应电动势的方向A指向C，所以C点的电势高于A点的电势。故选A。
4.（转动切割问题）如图所示，一直升机悬停在南半球的上空，该处地磁场的磁感应强度大小为B，假设直升机螺旋桨叶片的长度为L，螺旋桨转动的频率为f，逆着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨顺时针方向转动。螺旋桨叶片的近轴端为a，远轴端为b，如果忽略a到转轴中心线的距离，用E表示每个叶片中的感应电动势，则（ ）
A.E＝πfL2B，且a点电势低于b点电势
B.E＝2πfL2B，且a点电势低于b点电势
C.E＝πfL2B，且a点电势高于b点电势
D.E＝2πfL2B，且a点电势高于b点电势
解析：C 对于螺旋桨叶片ab，其切割磁感线的速度是其做圆周运动的线速度，螺旋桨上不同的点线速度不同，但满足v＝ωR，可得其切割磁感线的平均速度＝＝πfL，由法拉第电磁感应定律得E＝BL＝πfL2B；由右手定则判断电流的方向由b指向a，在电源内部电流由低电势流向高电势，故C正确。
知识点一 电磁感应定律
1.（2025·安徽六安期末）关于感应电动势的大小，下列说法中正确的是（ ）
A.磁通量越大，感应电动势越大
B.磁通量变化得越多，感应电动势越大
C.磁通量变化时，感应电动势一定变化
D.磁通量变化得越快，感应电动势越大
解析：D 根据法拉第电磁感应定律可知，磁通量变化率越大，即磁通量变化得越快，感应电动势越大，感应电动势的大小与磁通量的大小以及磁通量的变化量均无关，故A、B错误，D正确；磁通量均匀变化时，感应电动势恒定，故C错误。
2.（2025·河南信阳市期末）某同学用粗细均匀的金属丝弯成如图所示的图形，两个正方形的边长均为L，A、B两点之间的距离远小于L，在右侧正方形区域存在均匀增强的磁场，磁感应强度随时间的变化率＝k，则B、A两点之间的电势差UBA为（ ）
A.kL2 B.
C.－kL2 D.－
解析：D 根据法拉第电磁感应定律可知金属丝中电动势E＝＝kL2，由于金属丝粗细均匀，A、B两点间的电势差为电动势的一半，又根据楞次定律可知金属丝中电流沿逆时针方向，B点电势低于A点，故UBA＝－，故D正确，A、B、C错误。
3.（2025·陕西西安期末）将A、B两单匝闭合圆形导线环如图所示放置，导线环B恰好与正方形的匀强磁场区域边界内切，磁场方向垂直于两导线环的平面，A、B导线环的半径之比rA∶rB＝2∶1。若磁感应强度均匀增大，则A、B导线环中感应电动势之比为（ ）
A.1∶1 B.4∶1
C.4∶π D.2∶π
解析：C 根据法拉第电磁感应定律E＝n＝nS，题中n相同，相同，有效面积之比为4∶π，则得到A、B环中感应电动势之比为EA∶EB＝4∶π，故选C。
知识点二 切割磁感线时的感应电动势
4.（2025·辽宁鞍山期末）如图所示，空间中存在平行于纸面向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根在b点被折成直角的金属棒abc平行于纸面放置，ab ＝ bc ＝ L，ab边垂直于磁场方向。现该金属棒以速度v垂直于纸面向里运动。则a、c两点间的电势差Uac为（ ）
A.BLv B.BLv
C.－BLv D.－BLv
解析：C 金属棒以速度v垂直于纸面向里运动，ab边垂直切割磁感线，ab边为等效电源，根据右手定则可知，a端为等效电源的负极，bc边没有切割磁感线，则bc边两端点电势相等，则有Uac＝Uab＝－BLv，故选C。
5.（2025·内蒙古包头期末）如图所示，当航天飞机在环绕地球半径约7 000 km的轨道上飞行时，从中释放一颗卫星，卫星与航天飞机保持相对静止，两者用导电缆绳相连，这种卫星称为绳系卫星，利用它可以进行多种科学实验。现有一颗绳系卫星在地球赤道上空自西向东方向运行。卫星位于航天飞机正上方，它与航天飞机间的距离约5 km，卫星所在位置的地磁场沿水平方向由南往北约5×10－5 T。如果航天飞机的运行速度约8 km/s，则缆绳中的感应电动势大小和电势高低分别是（ ）
A.1 000 V，卫星端电势高
B.1 000 V，航天飞机端电势高
C.2 000 V，航天飞机端电势高
D.2 000 V，卫星端电势高
解析：D 由感应电动势公式可得E＝BLv＝2 000 V，由右手定则可判断，卫星端电势高。故选D。
6.abcd是一个用粗细均匀的电阻丝围成的正方形单匝线框，边长为L，每边电阻为R，匀强磁场与线框所在平面垂直，如图所示，磁感应强度大小为B，线框在外力作用下以速度v向右匀速进入磁场，在进入过程中，下列说法正确的是（ ）
A.d端电势低于c端电势
B.dc边两端的电压的大小为BLv
C.ad边不受安培力
D.线框受到的安培力方向向左，且大小为
解析：D 根据右手定则可知cd中电流方向为由c到d，则d端电势高于c端电势，故A错误；cd边产生的感应电动势的大小为E＝BLv，则dc边两端的电压为等效电源的路端电压，大小为U＝·3R＝BLv，故B错误；ad边在磁场中的部分受安培力，在磁场外的部分不受安培力，故C错误；根据左手定则可知线框受到的安培力方向向左，感应电流大小为I＝，安培力大小为F＝ILB＝，故D正确。
7.如图所示，竖直平面内有一金属环，半径为a，总电阻为R（指拉直时两端的电阻），磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面，在环的最高点用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB，AB由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B点的线速度为v，则这时A、B两端间的电压大小为（ ）
A. B.
C. D.Bav
解析：A 摆到竖直位置时，AB切割磁感线的瞬时感应电动势E＝B·2a·＝Bav，由闭合电路欧姆定律得，UAB＝·＝Bav，故A正确。
8.（2025·四川广元期末）如图甲所示，在虚线框所示的区域有竖直向上的匀强磁场，位于水平面内、面积为S的单匝金属线框放在磁场中，线框上开有一小口与磁场外阻值为R的小灯泡相连。若金属线框的总电阻为，其他电阻不计，磁场随时间的变化情况如图乙所示，则（ ）
A.感应电流由b经小灯泡流向a B.线框cd边受到的安培力向左
C.感应电动势的大小为 D.a、b间电压的大小为
解析：D 由图乙可知，穿过线框的磁通量向上减小，由楞次定律可得感应电流的方向为逆时针（俯视），所以通过小灯泡的电流方向为a→b，故A错误；根据左手定则可知，线框cd边受到的安培力方向向右，故B错误；线框的感应电动势为E＝＝＝，故C错误；由闭合电路欧姆定律可得I＝＝，则a、b两端间的电压为U＝IR＝，故D正确。
9.（2025·湖南株洲期中）如图甲所示，单匝线圈两端A、B与一理想电压表相连，线圈内有一垂直于纸面向里的磁场，线圈中的磁通量变化规律如图乙所示。下列说法正确的是（ ）
A.0～0.1 s内磁通量的变化量为0.15 Wb
B.电压表读数为1.5 V
C.B端比A端的电势高
D.电压表“＋”接线柱接A端
解析：D 0～0.1 s内磁通量的变化量为0.05 Wb，故A错误；感应电动势E＝＝0.5 V，故B错误；根据楞次定律判断B端比A端的电势低，故C错误；B端比A端的电势低，电压表“＋”接线柱接A端，故D正确。
10.（2022·河北高考）将一根绝缘硬质细导线顺次绕成如图所示的线圈，其中大圆面积为S1，小圆面积均为S2，垂直线圈平面方向有一随时间t变化的磁场，磁感应强度大小B＝B0＋kt，B0和k均为常量，则线圈中总的感应电动势大小为（ ）
A.kS1 B.5kS2
C.k（S1－5S2） D.k（S1＋5S2）
解析：D 根据法拉第电磁感应定律E＝n可知，大线圈产生的感应电动势为E1＝kS1，每个小线圈产生的感应电动势为E2＝kS2，且根据楞次定律可知，线圈产生的电流方向相同，则总的感应电动势为E＝E1＋5E2＝k（S1＋5S2）。故选D。
11.〔多选〕（2025·山东潍坊市期末）如图所示，半径为L的金属圆环固定，圆环内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，长为L、电阻为r的导体棒OA，一端固定在通过圆环中心的O点，另一端与圆环接触良好。在圆环和O点之间接有阻值为R的电阻，不计金属圆环的电阻。当导体棒以角速度ω绕O点逆时针匀速转动时，下列说法正确的是（ ）
A.O点的电势高于A点的电势
B.导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为BL2ω
C.O、A两点间电势差大小为
D.增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大
解析：ACD 根据右手定则可知，导体棒OA中的电流从A流向O，导体棒相当于电源，电流从低电势流向高电势，即O点的电势高于A点的电势，故A正确；导体棒切割磁感线产生的感应电动势大小为E＝BL2ω，故B错误；O、A两点间电势差大小为U＝E＝，电路中的电流大小为I＝＝，则增大导体棒转动的角速度，电路中的电流增大，故C、D正确。
12.如图所示，导轨OM和ON都在纸面内，导体AB可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，ON水平，若AB以5 m/s的速度从O点开始沿导轨匀速向右滑动，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度为0.2 T。问：（结果可用根式表示）
（1）第3 s末导体AB夹在导轨间部分产生的感应电动势多大？
（2）0～3 s内回路的平均感应电动势为多大？
答案：（1）5 V （2） V
解析：（1）第3 s末，夹在导轨间导体的长度为l＝v t·tan 30°＝5×3× m＝5 m
此时E＝Blv＝0.2×5×5 V＝5 V。
（2）0～3 s内回路中磁通量的变化量
ΔΦ＝BS－0＝0.2××15×5 Wb＝ Wb
0～3 s内电路中产生的平均感应电动势为
＝＝ V＝ V。
13 / 132.法拉第电磁感应定律
1.理解法拉第电磁感应定律的内容、表达式，能运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小。 2.理解导线切割磁感线时感应电动势的公式E＝Blv或E＝Blvsin θ，会计算导体切割磁感线时产生的感应电动势大小。 3.会推导、计算导体转动切割磁感线时的感应电动势。
知识点一 电磁感应定律
情境：如图所示，将条形磁铁从某一高度插入线圈中。
问题：
（1）将条形磁铁从某一高度插入线圈中时电流表的指针会发生偏转吗？其原因是什么？
（2）将同一磁体分别从同一高度快速插入和缓慢插入线圈的过程中，电流表指针偏转的角度相同吗？影响指针偏转角度大小的原因是什么？
1.感应电动势
（1）在电磁感应现象中产生的电动势叫作 ，产生感应电动势的那部分导体相当于 。
（2）在电磁感应现象中，若闭合回路中有感应电流，电路中一定有感应电动势；如果电路断开，这时虽然没有感应电流，但 依然存在。
2.法拉第电磁感应定律
（1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的 成正比。
（2）公式：E＝。
若闭合电路是一个匝数为n的线圈，则E＝n。
（3）在国际单位制中，磁通量的单位是 ，感应电动势的单位是 。
【易错辨析】
（1）有感应电流，就一定有感应电动势；反之，有感应电动势，就一定有感应电流。（ ）
（2）穿过线圈的磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。（ ）
（3）穿过线圈的磁通量的变化量ΔΦ越大，线圈中产生的感应电动势一定越大。（ ）
（4）穿过线圈的磁通量变化得越快，线圈中产生的感应电动势一定越大。（ ）
1.对公式E＝n的理解
（1）感应电动势的大小由穿过回路的磁通量的变化率和线圈匝数n共同决定，与Φ、ΔΦ的大小没有必然关系，与电路的总电阻R无关。
（2）公式E＝n求解的是Δt内的平均感应电动势，当磁通量均匀变化时，平均值等于瞬时值。
（3）公式E＝n只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值。
（4）感应电动势的方向，用楞次定律去判定：对于产生感应电动势的那部分导体（相对于电源），感应电流的流出端就是感应电动势（电源）的正极。
2.应用公式E＝n求解感应电动势的三种情景
（1）当ΔΦ仅由B的变化引起时：E＝n·S，其中为磁感应强度的变化率，在B-t图像中等于直线（或曲线的切线）的斜率；S为线圈在磁场中的有效面积。
（2）当ΔΦ仅由S的变化引起时：E＝nB。
（3）当ΔΦ由B、S同时变化引起时：＝n≠n。
注意：磁通量的变化量、变化率与线圈匝数n无关，但感应电动势E与匝数n成正比，相当于n个电源串联。
【例1】 （法拉第电磁感应定律的理解）〔多选〕图甲、乙、丙、丁分别为穿过同一闭合回路的磁通量的Φ-t图像，下列关于回路中感应电动势的说法正确的是（ ）
A.图甲回路产生恒定不变的感应电动势
B.图乙回路产生的感应电动势一直在变大
C.图丙回路0～t1时间内产生的感应电动势大于t1～t2时间内产生的感应电动势
D.图丁回路产生的感应电动势先变小后变大
尝试解答
【例2】 （法拉第电磁感应定律的应用）如图甲所示，有一个圆形线圈，匝数n＝1 000匝，面积S＝200 cm2，线圈的电阻r＝1 Ω，线圈外接一个阻值R＝4 Ω的电阻，其余电阻不计，把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t变化的B-t图像如图乙所示（规定垂直于线圈平面向里为磁感应强度的正方向），求：
（1）0～4 s内线圈的感应电动势的大小；
（2）0～4 s内通过电阻R的电流的大小和方向。
尝试解答
【变式1】 0～5 s内线圈的平均感应电动势。
【变式2】 6 s时线圈的感应电动势大小及通过电阻R的电流的大小和方向。
知识点二 导线切割磁感线时的感应电动势
情境：如图所示，把平行导轨放在磁感应强度为B的匀强磁场中，通过一电阻相连，所在平面跟磁感线垂直，导体棒MN放在导轨上，两导轨间距为l，MN以速度v向右匀速运动。
问题：根据法拉第电磁感应定律，用以上各量如何表示导体棒产生的感应电动势？
1.导线垂直于磁场运动，B、l、v两两垂直时：E＝ 。（如图甲所示）
2.导线的运动方向与导线本身垂直，但与磁感线方向夹角为θ时：E＝ 。（如图乙所示）
3.动生电动势：由于导体 而产生的感应电动势。
4.动生电动势中的功能关系
切割磁感线运动的导线相当于电源，导线做切割磁感线运动时，克服 做功，其他形式的能转化为 。
【易错辨析】
（1）导线在磁场中的速度越大，产生的感应电动势一定越大。 （ ）
（2）磁场的磁感应强度越大，导线在磁场中运动时产生的感应电动势一定越大。 （ ）
（3）导线垂直于磁场运动而且B、l、v两两垂直时产生的感应电动势最大。 （ ）
1.公式E＝Blv中l指有效切割长度
（1）图甲中的有效切割长度为：l＝sin θ。
（2）图乙中的有效切割长度为：l＝。
（3）图丙中的有效切割长度为：沿v1的方向运动时，l＝R；沿v2的方向运动时，l＝R。
2.导线转动切割磁感线的感应电动势E＝Bl2ω
（1）公式推导：如图所示，长为l的金属棒ab，绕b端在垂直于匀强磁场的平面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，ab棒所产生的感应电动势大小可用下面两种方法推出。
方法一：棒上各点速度不同，其平均速度＝ωl，由E＝Blv得棒上感应电动势大小为E＝Bl·ωl＝Bl2ω。
方法二：若经时间Δt，棒扫过的面积为ΔS＝πl2＝l2ω·Δt，磁通量的变化量ΔΦ＝B·ΔS＝Bl2ω·Δt，由E＝得棒上感应电动势大小为E＝Bl2ω。
（2）电动势的方向：利用右手定则判断。如上图中的a端为正极，b端为负极，即φa＞φb。
【例3】 （平动切割问题）〔多选〕第十五届中国航展于2024年11月12日至17日在珠海国际航展中心成功举行。如图为某战机在沿水平方向自西向东飞行表演的情景。若该战机的翼展为13 m，该处地磁场的竖直分量方向向下且大小为5.0×13－5 T，该战机飞行时速度约为 300 m/s，下列说法正确的是（ ）
A.该战机两翼尖端电势差大小约为0.195 V
B.该战机两翼尖端无电势差
C.相对于飞行员来说左端机翼电势较高
D.若战机转向为自东向西飞行，相对于飞行员来说机翼右端电势较高
尝试解答
【例4】 （倾斜切割问题）如图所示，MN、PQ为两条平行放置的金属导轨，导轨左端接电阻R，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。金属棒ab接触良好地斜放在两导轨之间，与导轨的夹角θ为60°，两个触点之间的长度为L，电阻为r。若金属棒ab以速度v水平向右做匀速运动，不计导轨的电阻。试求：
（1）金属棒ab产生的感应电动势大小及电流方向；
（2）通过金属棒的电流的大小；
（3）a、b之间的电压的大小。
尝试解答
【例5】 （转动切割问题）如图所示的是圆盘发电机的示意图，铜盘安装在水平的铜轴上，它的盘面恰好与匀强磁场垂直，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。若铜盘半径为L，匀强磁场的磁感应强度为B，回路的总电阻为R，从左往右看，铜盘以角速度ω沿顺时针方向匀速转动。则（ ）
A.由于穿过铜盘的磁通量不变，故回路中无感应电流
B.回路中感应电流大小不变，为
C.回路中感应电流方向不变，为D→C→R→D
D.若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍
尝试解答
公式E＝n与E＝Blvsin θ的区别与联系
公式 E＝n E＝Blvsin θ
区 别 研究对象 某个回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体
内容 （1）求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程对应 （2）当Δt→0时，E为瞬时感应电动势 （1）若v为瞬时速度，求的是瞬时感应电动势 （2）若v为平均速度，求的是平均感应电动势 （3）当B、l、v三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用范围 对任何电路普遍适用 只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系 （1）E＝Blvsin θ是由E＝n在一定条件下推导出来的 （2）整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
【典例1】 〔多选〕如图所示，一导线弯成半径为a的半圆形闭合回路。虚线MN右侧有磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向里。回路以速度v向右匀速进入磁场，直径CD始终与MN垂直。从D点到达边界开始到C点进入磁场为止，下列结论正确的是（ ）
A.感应电动势的最大值为Bav
B.感应电动势的最大值为2Bav
C.感应电动势的平均值＝
D.感应电动势的平均值＝
尝试解答
【典例2】 （2025·四川眉山市期末）如图所示，在范围足够大、方向竖直向下的匀强磁场中，有一水平放置的光滑框架，宽度为l＝0.4 m，框架上放置一接入电路的电阻为1 Ω的金属杆cd，金属杆与框架垂直且接触良好，框架电阻不计，磁场的磁感应强度B＝0.2 T。t＝0时刻，cd杆在水平外力的作用下以恒定加速度a＝4 m/s2由静止开始向右沿框架做匀变速直线运动，则：
（1）在0～2 s内平均感应电动势是多少？
（2）第2 s末，回路中的电流是多大？
尝试解答
方法归纳
应用E＝n或E＝Blv计算感应电动势时，首先弄清是计算平均感应电动势，还是瞬时感应电动势，求解平均值优先使用E＝n，求解瞬时值优先使用E＝Blv。
提示：完成课后作业 第二章 2.
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