山西省晋城市沁水县2025-2026学年九年级第一学期数学期末教学质量监测试题(含答案)

2025-2026学年第一学期期末教学质量监测试题（卷）
九年级 数学
考试时间：120分钟 分值：120分
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图像的开口向上 B．其图像的对称轴为直线
C．其最小值为5 D．当时，y随x的增大而增大
3．下列说法中正确的是（ ）
A．种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活
B．天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨
C．某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖
D．连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”
4．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是 B．最大电流是
C．最小电流是 D．最小电流是
5．如图，、是的切线，、是切点，点为上一点，若，则的度数为（ ）
B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第9题）
6．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，此时，，三点在同一条直线上，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
7．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）．（图水平翻转了一下）
A． B． C． D．
8．天气越来越冷，家用暖风机的市场需求逐步变大．据了解，某商店销售一款家用暖风机，10月的销售额为30000元，12月的销售额为76800元，则10月到12月该款暖风机销售额的平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
9．某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面的长度为，坡度为（坡度为坡面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面的坡度为，改造后背水坡的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1是一个圆形分格干果盒，这种干果盒既美观又实用，它由六个小格组成，中间是圆形，周围是五个完全相同的扇形的一部分．如图2是它的截面示意图（小格的厚度忽略不记），通过测量得到，，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（共5题，每题3分）
11．如果m是方程的一个根，则 ．
12．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．（精确到）
13．成语“立竿见影”在《辞源》里的解释为“竿立而影现，喻收效迅速．”希望小组开展了运用阳光下的影长测量学校内旗杆高度的实践活动．小组内同学进行了如下操作：如图，同一时刻在阳光照射下，旗杆的影长，小明的影长，已知小明的身高，则旗杆的高为 ．
（第13题） （第14题） （第15题）
14．在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点，点在x轴上，若△ABP的面积为，则的值为 ．（有公式的行距是单倍或多倍）
15．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是 ．
三、解答题
16．（每小题5分）（1）计算：．
（2）解方程：．
17．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图交于点，．（调整了下行距，图加黑了一下。）

(1)求反比例函数的解析式．
(2)当时，请直接写出x的取值范围．
18．（7分）铭记历史，缅怀先烈，珍爱和平．每年的12月13日是国家公祭日，某校为了加强学生爱国主义的教育，在12月上上旬开展了以“以国家之名祭民族之魂”为主题的写作活动，以此来激励学生牢记国耻，勿忘国殇，努力学习，振兴中华，通过评审，九年级确定三名男生和两名女生的文章适合全校广播．
(1)若从中随机选取一名学生的文章进行广播，则选中女生的文章的概率为________．
(2)若从中选取两名同学的文章进行广播，请你用画树状图（或列表）的方法求恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率．
19．（8分）如图，四边形内接于，为的直径，．
(1)求的度数．
(2)若，，求的长度．
20．（10分）双流区某学校无人机兴趣小组在飞行物限高50米的某区域内举行无人机试飞比赛，该兴趣小组利用所学知识对某同学的无人机高度进行了测量．如图，他们先在点处用高的测角仪测得无人机的仰角为，然后沿水平方向前行到点处，在点处测得无人机的仰角为．请你根据该小组的测量方法和数据，通过计算判断此同学的无人机是否超过限高要求？（参考数据：，，
21．（8分）阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务
探究三角形的特殊点
通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获．
定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点．
性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上．
如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点．
如图，已知△ABC是锐角三角形，是其外接圆，点是△ABC的垂心，分别连接并延长，交于点．
求证：点分别是点关于边的对称点．
证明：如图，连接．
∵点是△ABC的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（依据），
∴，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
任务：
(1)上面日记中“依据”指的是 ；
(2)下列说法正确的是 ；
A．锐角三角形的垂心在三角形外 B．直角三角形的垂心在直角顶点处
C．钝角三角形的垂心在三角形内 D．等腰三角形的内心和外心重合
(3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称．
22．（12分）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
23．（13分）综合与实践
在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究：
如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，．
(1)试猜想线段与的关系为 ；
(2)将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
(3)若，．
①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长；
②在图2中，若，过点G作△BDG中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长
《2025-2026学年度初中数学期末考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A A B D D B A
1．B
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：∵，，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
当时y取得最大值，故选项C不符合题意；
当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意；
B、天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意；
C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；；
D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意；
故选：D．
4．A
【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可．
【详解】解：根据电压电流电阻，设，
将点代入得，解得，
；
若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
5．A
【分析】此题考查了切线的性质、圆周角定理、四边形内角和，掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据切线的性质，可得，由四边形内角和求出，又由圆周角定理，即可求得的度数．
【详解】解：连接，，如图所示：
、是的切线，
，
，
，
故选：A．
6．B
【分析】根据勾股定理可得，根据旋转的性质可得，，由勾股定理得到，由此即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
故选：B ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，理解旋转的性质，得到三角形全等，掌握等边对等角，勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．由黄金分割且知：，，由此可求得的长．
【详解】解：为的黄金分割点，且，
，
即，
，
故选：D
8．D
【分析】本题考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，根据题目意思列出一元二次方程求解，即可．
【详解】解：设平均增长率为x，依题意：
，
即，
∴，（舍），
，
故选：D．
9．B
【分析】过点A作于点E，利用坡比的定义得出的长，再得出的长，利用勾股定理得出答案．
本题考查了坡比的计算，勾股定理，熟练掌握坡比的计算是解题的关键．
【详解】解：过点A作于点E，
∵背水坡坡面的长度为，坡度为，
∴，
∴，
∴，
∵背水坡坡面的坡度为，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了扇形的面积．根据阴影部分的面积是大扇形的面积-小扇形的面积即可求解．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积是，
故选：A．
11．4
【分析】本题考查一元二次方程的解．将m代入，进而移项即可求得答案．此题的关键在于理解方程根的概念，并能灵活运用代数变形来求解目标表达式的值，而不必先解出根的精确值．在处理类似问题时，识别方程与目标表达式之间的联系，通过直接代换或变形来求解，可以快速准确地找到答案．
【详解】解：m是方程的一个根，
当时，有，
．
故答案为：4．
12．6
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到关键点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发 生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.3， 综上有：，
解得．
故答案为：6．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的应用和平行投影，解题的关键是根据相似三角形的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等．
设该旗杆的高度为，根据三角形相似的性质得到同一时刻同一地点物体的高度与其影长的比相等，即有，然后解方程即可．
【详解】解：设该旗杆的高度为，
根据题意，得，
解得：．
即该旗杆的高度是 ．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别一条坐标轴作垂线，连接点与原点，与坐标轴围成三角形的面积是．设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是，则，，．根据三角形的面积公式即可求得的值，即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式是：，设A的点的坐标是．
则，，．
∵轴，
∴轴，
∴，
∴，即，
∴，
则．
故答案是：．
15．
【分析】如图，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再证明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC EP，由此即可解决问题．
【详解】如图，作FH⊥PE于H．
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4，AE＝，
∴EH＝5，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴，
∴EF2＝EC EP，
∴EP＝
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．（1）1；（2），
【分析】本题考查了含有特殊角的锐角三角函数值的实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）分别化简计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式即可；
（2）利用十字相乘法解方程即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
或，
解得：或，
∴原方程的解为：，．
17．(1)反比例函数为；
(2)或．
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，图象法求不等式的解，
（1）先求得点坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；
（2）在函数图象上找出一次函数图象在反比例函数图象上边的取值范围即可．
【详解】（1）解：将代入得，
解得，
将代入反比例函数可得，
∴反比例函数为；
（2）解：由两函数图象的交点可知当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上边，
∴当时，或．
18．(1)；
(2)
【分析】本题考查列表法或树状图法，用列表法表示所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
（1）根据概率的定义直接进行计算即可；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果，再概率概率的定义进行计算即可．
【详解】（1）解：一共有5名学生，其中女有2名，所以从中随机选中女生的文章的概率为：，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有等可能出现的结果如下：
共有20种等可能出现的结果，其中恰好选中一名男生和一名女生文章的结果有12种，
所以恰好选中一名男生和一名女生的文章的概率为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对圆周角等于”，“同弧所对的圆周角相等”．熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据“直径所对的圆周角等于”可得，再根据“同弧所对的圆周角相等”，即可求出的度数．
（2）先在中根据勾股定理求出的长，再在中根据勾股定理求出的长．
【详解】（1）解：∵为的直径，
，
∵，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
20．此同学的无人机飞行高度小于50米，未超过限高要求，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接并延长交于点，根据题意可得：，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
【详解】解：此同学的无人机没有超过限高要求，
理由：连接并延长交于点，
由题意得：，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
，
，
此同学的无人机没有超过限高要求．
21．(1)同弧或等弧所对的圆周角相等
(2)B
(3)证明过程见详解
【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键．
（1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解；
（2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解；
（3）根据材料提示方法证明即可．
【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是，
∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等；
（2）解：根据图示可得，
A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意；
B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意；
C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意；
D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意；
故选：B；
（3）证明：如图所示，连接，设于交于点，
∵点是的垂心，
∴，，
∴，，
∴，
又（同弧或等弧所对圆周角相等），
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴点与点是对应点，
∴直线和关于对称．
∴点和点关于对称．
22．(1)关于的函数解析式为；
(2)汽车刹车后，行驶了米；
(3)该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析．
【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
（）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
（）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题；
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，将，，代入，
，解得：，
∴关于的函数解析式为；
（2）解：由（）得关于的函数解析式为，
当时，，
∴汽车刹车后，行驶了米；
（3）解：由（）得关于的函数解析式为，
∴，
∴当时，汽车停下，行驶了米，
∵，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
23．(1)，
(2)成立，见解析
(3)①，②10
【分析】（1）如图1，延长交于，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论；
（2）如图2，连接，延长交于点K，交于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论；
（3）①如图3，连接，先利用等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理列方程，进而解方程即可；
②如图2，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，先根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，，设，由勾股定理可得，然后解方程得到，，证明，得，进而求得即可求解．
【详解】（1）解：，．
理由：如图1，延长交于．
是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：，；
（2）解：成立，连接，延长交于点K，交于点O，
在中，，点D是的中点，
∴，，
∴，
又∵四边形是正方形，
∴，且，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：①如图，连接，
∵是等腰直角三角形，，点是的中点，，
∴，
在中，，
在Rt△DEG中，，，
∴，
由（2）得，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②如图，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于，
∵是等腰直角三角形，，点是的中点，，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，即，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质、正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线是解答的关键．