第16讲 圆锥曲线的方程与性质
（时间：45分钟，满分：78分）
一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1.（2025·河北石家庄质量检测）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
2.（2025·北京海淀区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（，y0）在C上，｜MF｜＝2，则｜y0｜＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
3.（2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A.＋＝1（y＞0） B.＋＝1（y＞0）
C.＋＝1（y＞0） D.＋＝1（y＞0）
4.设B，F2分别是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右顶点和上焦点，点P在C上，且＝2，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A（－1，3），则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
6.（2025·广东汕头模拟）如图，设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若｜PF1｜＝4｜QF2｜，则直线PF2的斜率为（ ）
A.－ B.－1
C.－2 D.－3
7.（2025·浙江台州二模）已知F1，F2为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，且｜AB｜＝｜BF1｜，cos∠ABF1＝，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8.双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线C的离心率为
B.双曲线－＝1与双曲线C的渐近线相同
C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为
D.｜PF｜的最小值为2
9.（2025·广西南宁质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦点F作直线l：x＝ty＋1，若C与l交于A，B两点，＝2，则下列结论正确的有（ ）
A.p＝2
B.｜AF｜＝3
C.t＝2或－2
D.线段AB中点的横坐标为
10.（2025·山东济南一模）已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1的左、右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2的中点，则（ ）
A.｜OH｜＋｜HF2｜＝2
B.｜OH｜＞1
C.△OHF2内切圆半径的最大值为
D.△HF1F2外接圆半径的最小值为1
三、填空题（每小题5分，共15分）
11.已知椭圆＋＝1（0＜b＜2）与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则b2＝ .
12.过双曲线－y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 .
13.抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点M，N（点N在x轴上方），点E为x轴上F右侧的一点，如图所示，若｜NF｜＝｜EF｜＝3｜MF｜，S△MNE＝12，则p＝ .
☆高考新风向（每小题5分，共10分）
14.〔创新交汇〕设N为正整数，在平面直角坐标系xOy中，若x2＋y2＝1（0≤m≤N，0≤n≤N，且m，n∈Z）恰好能表示出12个不同的椭圆方程，则N的一个可能取值为（ ）
A.12 B.8
C.7 D.5
15.〔创新交汇〕两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线相同.如图所示，一列圆Cn：x2＋（y－an）2＝（an＞0，rn＞0，n＝1，2，…）逐个外切，且均与曲线y＝x2相切，若r1＝1，则rn＝（ ）
A. B.
C.n D.n2
第16讲 圆锥曲线的方程与性质
1.B 易知a＝，又上焦点到一条渐近线的距离为3，则b＝3，故其渐近线方程为y＝±x.
2.C 由抛物线定义知：｜MF｜＝＋＝2，解出p＝1，故抛物线C：y2＝2x，又点M（，y0）在C上，则＝2×＝3，｜y0｜＝，故选C.
3.A 设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即＋＝1（y＞0），即点M的轨迹方程为＋＝1（y＞0）.故选A.
4.A 由题意，得B（b，0），F2（0，c），则＝（－b，c）.设P（x，y），则＝（x，y－c）.由＝2，得所以因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，所以＝，所以e＝＝.故选A.
5.B 由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F（0，1），准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，如图所示，由抛物线定义可知｜PF｜＝｜PQ｜，所以｜PF｜＋｜PA｜＝｜PQ｜＋｜PA｜，则当A，P，Q三点共线时，｜PQ｜＋｜PA｜取得最小值，所以｜PF｜＋｜PA｜的最小值为3－（－1）＝4.
6.C 连接QF1，由P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2.又P，Q在椭圆上，故有｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a.设｜QF2｜＝m，则｜PF1｜＝4｜QF2｜＝4m，则有｜PQ｜＝2a－4m＋m＝2a－3m，｜F1Q｜＝2a－m.又｜PF1｜2＋｜PQ｜2＝｜F1Q｜2，即（4m）2＋（2a－3m）2＝（2a－m）2，解得a＝3m，故｜PF2｜＝2a－4m＝2m，则tan∠PF2F1＝＝2，故＝tan（π－∠PF2F1）＝－tan∠PF2F1＝－2.
7.B 由双曲线定义得，｜AF1｜－｜AF2｜＝｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，｜F1F2｜＝2c，设｜BF1｜＝｜AB｜＝m，则｜BF2｜＝m－2a，由图，｜AF2｜＝｜AB｜－｜BF2｜＝2a，｜AF1｜＝4a，在△ABF1中，由余弦定理得cos∠ABF1＝＝，解得m＝3a，∴｜BF2｜＝m－2a＝a.在△BF1F2中，由余弦定理得cos∠F2BF1＝cos∠ABF1＝＝，∴7a2＝3c2，故离心率e＝＝＝.故选B.
8.ABC 因为a＝2，b＝，所以c＝＝，所以e＝＝，故A正确；双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故B正确；因为PO⊥PF，点F（，0）到渐近线x－2y＝0的距离d＝＝，所以｜PF｜＝，所以｜PO｜＝＝2，所以△PFO的面积为××2＝，故C正确；｜PF｜的最小值即为点F到渐近线的距离，即｜PF｜min＝，故D不正确.
9.ABD 法一（代数法） ∵C：y2＝2px（p＞0），∴点F在x轴正半轴上.又直线l恒过点（1，0），∴F（1，0），∴p＝2，故A正确；由得y2－4ty－4＝0，Δ＝16（t2＋1）＞0.设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∵＝2，∴y1＝－2y2，解得y1＝－2，y2＝或y1＝2，y2＝－，∵t＝，∴t＝或－，故C错误；x1＝＝2，x2＝＝，｜AB｜＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝2＋＋2＝，｜AF｜＝｜AB｜＝×＝3，故B正确；线段AB中点的横坐标为＝＝，故D正确.故选A、B、D.
法二 ∵C：y2＝2px（p＞0），∴点F在x轴正半轴上.又直线l恒过点（1，0），∴F（1，0），∴p＝2，故A正确；由＋＝，及｜AF｜＝2｜FB｜得＋＝1，∴｜AF｜＝3，故B正确；设A（x1，y1），则由｜AF｜＝3，得点A到准线x＝－1的距离为3，∴x1＝2，代入C的方程得y1＝±2，∴＝kAF＝±2，∴t＝±，故C错误；设B（x2，y2），由得y2－4ty－4＝0，Δ＝16（t2＋1）＞0，∴y1＋y2＝4t，x1＋x2＝t（y1＋y2）＋2＝4t2＋2＝4×（±）2＋2＝，∴线段AB中点的横坐标为＝，故D正确.故选A、B、D.
10.ACD 对于A，由三角形中位线得｜OH｜＝｜PF1｜，则｜OH｜＋｜HF2｜＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）＝×2a＝a＝2，故A正确；对于B，因为当点P在第二、三象限时，｜PF1｜＜2，此时｜OH｜＜1，故B错误；对于C，因为｜OH｜＋｜HF2｜＋｜OF2｜＝3，＝b2tan＝3tan，其中θ＝∠F1PF2，当点P在上顶点时，θ最大，所以0＜θ≤，所以0＜tan≤，所以0＜≤，所以由三角形相似可得0＜≤，设内切圆半径为r，又＝r（｜OH｜＋｜HF2｜＋｜OF2｜）＝r，所以△OHF2内切圆半径的最大值为＝，故C正确；对于D，设△HF1F2的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝＝ R≥1，故D正确.故选A、C、D.
11.2 解析：由题意可知，A（b，0），B（0，2），因为0＜b＜2，所以a＝2，c＝，因为△ABF是等腰三角形，所以由椭圆的性质可知F是椭圆的下焦点，所以｜BF｜＝｜AB｜ 2＋＝ b2＝2.
12. 解析：如图，根据双曲线的对称性，不妨设倾斜角为60°的直线过双曲线的右焦点.由双曲线的方程可得，双曲线的右焦点坐标为（2，0），渐近线方程为y＝±x，故倾斜角为60°的直线的方程为y＝tan 60°（x－2），即y＝（x－2）.由得由得故所求三角形的面积为×2×｜－（－）｜＝.
13.3 解析：设N（x1，y1），M（x2，y2），F（，0），由＝3，得又 则－9＝2p（x1－9x2），即（y1＋3y2）（y1－3y2）＝2p（x1－9x2），所以x1－9x2＝0.由 则N（p，p），M（p，－p），所以kMN＝，即∠NFE＝60°，又｜NF｜＝｜FE｜＝2p，所以S△NFE＝×2p×2p×＝p2，又S△MNE＝S△NFE，所以×p2＝12 p＝3.
14.C 由＝知，当N为偶数时，，均有＋1个不同的取值.由方程是椭圆的方程知，≠，故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为（＋1）·，令（＋1）·＝12，解得N＝6.当N为奇数时，，均有个不同的取值.故方程可表示的不同的椭圆方程的个数为·，令·＝12，解得N＝7.综上所述，N＝6或7.故选C.
15.C 由题意得y'＝2x，圆C1的圆心为（0，a1），半径r1＝1，设圆C1与曲线y＝x2相切于点（x1，）（x1≠0），则解得a1＝.圆Cn的圆心为（0，an），半径为rn，设圆Cn与曲线y＝x2相切于点（xn，）（xn≠0），则
解得an＝＋，又an＋1＝an＋rn＋rn＋1，所以＋＝＋＋rn＋rn＋1，则（rn＋1－）2＝（rn＋）2，因为rn≥1，所以rn＋1＝rn＋1，所以{rn}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以rn＝n.
4 / 4第16讲 圆锥曲线的方程与性质
【备考指南】 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及其应用，多以选择题、填空题或解答题一问的形式命题，难度中等，有时会以多选题或新形式题出现在压轴题的位置.
1.圆锥曲线的定义
（1）椭圆：｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）；
（2）双曲线：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a（0＜2a＜｜F1F2｜）；
（3）抛物线：｜MF｜＝d（d为点M到准线的距离）.
1.已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且｜O1O2｜＝8，若动圆M与圆O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
2.在椭圆中：c2＝a2－b2，长轴长为2a，短轴长为2b.
2.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3.在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
3.（2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.2
4.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离.
4.（2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则｜AF｜＝（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.双曲线焦点在x轴上的渐近线为y＝±x，在y轴上的渐近线为y＝±x，不要混淆.
6.（1）椭圆的焦点三角形面积S＝b2tan，记∠F1PF2＝θ；
（2）双曲线的焦点三角形面积S＝，记∠F1PF2＝θ.
5.（2025·安徽皖南八校联考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
6.设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝ .
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【通性通法】 求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
（1）所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；
（2）所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
【例1】 （1）（2025·云南昆明质检）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段AB的中点，若点M的横坐标为p，｜AB｜＝12，则p＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.6
（2）（2024·天津高考8题）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【训练1】 （1）（2025·山东威海一模）设直线l：x＝－4，点F1（－2，0），F2（2，0），已知点P到l的距离与它到F1的距离之比为，则（ ）
A.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝16 B.｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8
C.｜PF1｜＋｜PF2｜＝16 D.｜PF1｜＋｜PF2｜＝4
【瓶颈突破】 由＝3，联想到双曲线的定义，取双曲线的右焦点F，连接NF，MF，进而利用cos∠NF1F＋cos∠MF1F＝0，建立函数关系式得解.
（2）过双曲线C：－y2＝1的左焦点F1作倾斜角为θ的直线l交C于M，N两点.若＝3，则｜cos θ｜＝（ ）
A. B.
C. D.
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
【通性通法】 椭圆、双曲线性质应用的常见类型
（1）由性质可求椭圆、双曲线的标准方程，反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质；
（2）对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解；
（3）范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积（周长）等最值问题时，往往涉及动点坐标的取值范围（极端点的位置问题），可将问题转化为函数最值处理.
【例2】 （1）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，延长PF2交椭圆C于点M，且△F1PM为等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
（2）〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则（ ）
A.∠A1MA2＝
B.｜MA1｜＝2｜MA2｜
C.C的离心率为
D.当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8
【瓶颈突破】 由题意可得｜PF2｜＝｜OP｜＝a，利用余弦定理可得｜PF1｜，从而得解.
【训练2】 （1）（2025·辽宁部分重点中学协作体考试）已知双曲线C的离心率为，F1，F2为C的左、右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则＝（ ）
A. B.
C.2 D.
【瓶颈突破】 根据给定条件，利用椭圆的定义，结合三角形的三边关系以及共线关系确定△FMN周长范围.
【通性通法】 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少运算量.
（2）〔创新题设条件〕设F是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为（m，n]，若n＝3m，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
考点三 抛物线的几何性质
【例3】 （1）（2025·浙江宁波一模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为C上一点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
【常用结论】 设直线方程时，反设直线可大大减少运算量.
【瓶颈突破】 由切线方程为y－x－1＝0，故切点必在第一象限，将抛物线方程y2＝2px，化为y＝，利用导数的几何意义可得p值，进而利用A，B，F三点共线求最值.
（2）〔多选〕（2025·湖南常德模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（1，2），其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A（x1，y1），B（x2，y2），设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A.p＝2 B.｜AB｜≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
【训练3】 （1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M（x0，2）（x0＞）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点.若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程为 ；
（2）抛物线C：y2＝2px（p＞0）在其上一点处的切线方程为y－x－1＝0，点A，B为C上两动点，且｜AB｜＝6，则AB的中点M到y轴距离的取值范围为 .
第16讲 圆锥曲线的方程与性质
【基础·回扣】
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.2
【典例·讲解】
【例1】 （1）C 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为线段AB的中点M的横坐标为p，即x1＋x2＝2p，又因为弦AB过抛物线y2＝2px的焦点，所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2p＋p＝3p＝12.故p＝4，故选C.
（2）C 由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，＝｜PF1｜｜PF2｜＝×4a×2a＝4a2，又＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
【训练1】 （1）D 设点P（x，y），则点P到l的距离d＝｜x＋4｜，｜PF1｜＝，由＝＝得，＋＝1，∴点P的轨迹是以原点为中心，以F1，F2为左、右焦点的椭圆，其中a＝2，根据椭圆定义得，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4.故选D.
（2）D 设双曲线的右焦点为F，连接MF，NF，由题意可得a＝2，b＝1，c＝，设｜｜＝3｜｜＝3t，｜｜＝2a＋3t＝4＋3t，｜｜＝2a＋t＝4＋t，由余弦定理可得cos∠NF1F＋cos∠MF1F＝＋＝0，即＋＝0，解得t＝，所以cos∠MF1F＝＝－，故｜cos θ｜＝.
【例2】 （1）B 如图，由椭圆的定义知，△F1PM的周长为｜F1P｜＋｜F1M｜＋｜PM｜＝｜F1P｜＋｜F2P｜＋｜F1M｜＋｜F2M｜＝4a.因为△F1PM为等边三角形，所以｜F1P｜＝｜F1M｜＝｜PM｜＝a.又｜F1P｜＋｜PF2｜＝2a，所以｜PF2｜＝.在△PF1F2中，由余弦定理得（2c）2＝（a）2＋（a）2－2×a×acos ，整理得c2＝a2，所以e＝＝.
（2）ACD 根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边形，因为∠NA1M＝，所以∠A1MA2＝，A正确；设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则＋＝c2，又y0＝x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为∠A1MA2＝，所以＝cos＝≠，B错误；根据13a2＝c2，得e＝，C正确；当a＝时，｜MA1｜＝4，｜MA2｜＝2，所以四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜·sin＝4×2×＝8，D正确.
【训练2】 （1）D 根据题意，e＝＝，则c＝a，b＝＝a，可知渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，且F2（a，0），则｜PF2｜＝＝a，｜F1F2｜＝2a，∠POF2＝，可得｜OP｜＝＝a，∠PF2F1＝，在△PF1F2中，由余弦定理可得，＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF2｜·｜F1F2｜·cos∠PF2F1＝a2＋8a2－2a×2a×＝5a2，即｜PF1｜＝a，所以＝.故选D.
（2）A 令椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）右焦点为E（c，0），｜MF｜＋｜ME｜＝2a，｜NF｜＋｜NE｜＝2a，△FMN周长｜MN｜＋｜MF｜＋｜NF｜＝｜MN｜＋2a－｜ME｜＋2a－｜NE｜＝4a＋｜MN｜－（｜ME｜＋｜NE｜）≤4a＋｜MN｜－｜MN｜＝4a，当且仅当M，N，E三点共线时取等号，则3m＝4a，即m＝，又｜MN｜＋｜MF｜＋｜NF｜＞｜MF｜＋｜MF｜＝2｜MF｜≥2（a－c），因此m＝2（a－c），＝2（a－c），解得＝，所以C的离心率为.故选A.
【例3】 （1）A 如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H.则｜PH｜＝｜PF｜＝3，又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所以y2＝4×2＝8 y＝2.所以S△OPF＝·｜OF｜·｜y｜＝×1×2＝.
（2）ABD 因为抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（1，2），所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，0），设直线l：x＝my＋1，则消去x整理得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2，x1x2＝（my1＋1）（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋y2）＋1＝1，所以｜AB｜＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为＝（x1，y1），＝（x2，y2），所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；k1k2＝·＝－4，故D正确.
【训练3】 （1）y2＝4x
解析：过点M作MD⊥EG，垂足为D.∵M（x0，2）（x0＞）在抛物线上，∴8＝2px0，则px0＝4 ①，由题意可知｜DM｜＝x0－.∵sin∠MFG＝，∴｜DM｜＝｜MF｜，即x0－＝（x0＋），解得x0＝p ②，由①②得x0＝p＝－2（舍去）或x0＝p＝2，∴抛物线C的方程是y2＝4x.
（2）[2，＋∞）
解析：依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一象限，设切点为（，y0），由y＝求导可得y'＝，依题，＝1，化简得y0＝p，故切点为（，p），代入y－x－1＝0中，解得p＝2，故C：y2＝4x.如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则M（，），点M到y轴的距离为d＝＝－1＝－1≥－1＝2，当且仅当线段AB经过点F时，等号成立.故AB的中点M到y轴距离的取值范围为[2，＋∞）.
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第16讲
圆锥曲线的方程与性质
备考指南
圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、简单的几何性质及其应用，多以选择题、填空题或解答题一问的形式命题，难度中等，有时会以多选题或新形式题出现在压轴题的位置.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知圆O1和圆O2的半径分别为2和4，且｜O1O2｜＝8，若动圆M与圆
O1内切，与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线的一支 D. 抛物线
圆锥曲线的定义
（1）椭圆：｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜F1F2｜）；
（2）双曲线：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a（0＜2a＜
｜F1F2｜）；
（3）抛物线：｜MF｜＝d（d为点M到准线的距离）.
√
解析： 设动圆M的半径为R，由题意得｜MO1｜＝R－2，｜MO2｜＝
R＋4，所以｜MO2｜－｜MO1｜＝6（常数），且6＜8＝｜O1O2｜，所以
动圆圆心M的轨迹是以O1，O2为焦点的双曲线的一支.
2. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2 的椭圆方程是
（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
√
在椭圆中：c2＝a2－b2，长
轴长为2a，短轴长为2b.
解析： 椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为 ＋ ＝1，焦点在y轴上，
设所求椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），依题意有
所以a2＝25，b2＝20，所求椭圆方程为 ＋ ＝
1.故选B.
3. （2025·全国Ⅰ卷3题）已知双曲线C的虚轴长是实轴长的 倍，则C的
离心率为（ ）
A. B. 2
C. D. 2
√
在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝ ＝ .
解析： 设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a，2b，2c，由题知，b
＝ a，于是c2＝a2＋b2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2 a，即e＝ ＝2 .
故选D.
4. （2025·全国Ⅱ卷6题）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A
在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为y＝－2x
＋2，则｜AF｜＝（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
√
抛物线上的点到焦点的距
离等于其到准线的距离.
解析： 对lBF：y＝－2x＋2，令y＝0，则x＝1，所以
F（1，0），p＝2，即抛物线C：y2＝4x，故抛物线的准
线方程为x＝－1，故B（－1，4），则yA＝4，代入抛物
线C：y2＝4x得xA＝4.所以｜AF｜＝｜AB｜＝xA＋ ＝
4＋1＝5.故选C.
5. （2025·安徽皖南八校联考）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ）
A. y＝±2x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
√
双曲线焦点在x轴上的渐近线为y＝± x，在y轴上的渐近线为y＝± x，不要混淆.
解析： 根据题意，双曲线C的离心率为e＝ ＝ ＝ ＝ c＝
a，所以b＝ ＝ ＝ a，则双曲线C： － ＝1
（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝± x＝± x.故选B.
6. 设F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的左、右焦点，点P在C上，若
· ＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝ .
（1）椭圆的焦点三角形面积S＝b2tan ，记∠F1PF2＝θ；
（2）双曲线的焦点三角形面积S＝ ，记∠F1PF2＝θ.
2
解析：法一（二级结论法） ∵ · ＝0，∴∠F1PF2＝90°.由题意
可知b2＝1，则 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜＝b2·tan ＝1，解得｜
PF1｜·｜PF2｜＝2.
法二（通解） 由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵ ·
＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜
＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝
＝ ＝2.
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一 圆锥曲线的定义及标准方程
【例1】 （1）（2025·云南昆明质检）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）
的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，点M为线段AB的中
点，若点M的横坐标为p，｜AB｜＝12，则p＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
√
【通性通法】 求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
（1）所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；
（2）所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值.
解析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为线段AB的中点M的横坐
标为p，即x1＋x2＝2p，又因为弦AB过抛物线y2＝2px的焦点，所以｜
AB｜＝x1＋x2＋p＝2p＋p＝3p＝12.故p＝4，故选C.
（2）（2024·天津高考8题）已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为
2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
√
解析： 由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得
tan∠PF2F1＝ ＝2，根据双曲线定义｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，
得｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a， ＝ ｜PF1｜｜PF2｜＝
×4a×2a＝4a2，又 ＝8，所以a2＝2，所以｜F1F2｜2＝｜
PF1｜2＋｜PF2｜2＝（4a）2＋（2a）2＝20a2＝40.又｜F1F2｜2＝
4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为
－ ＝1，故选C.
【训练1】 （1）（2025·山东威海一模）设直线l：x＝－4，点F1（－
2，0），F2（2，0），已知点P到l的距离与它到F1的距离之比为 ，则
（ ）
A. ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝16
B. ｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8
C. ｜PF1｜＋｜PF2｜＝16
D. ｜PF1｜＋｜PF2｜＝4
√
解析： 设点P（x，y），则点P到l的距离d＝｜x＋4｜，｜PF1｜＝
，由 ＝ ＝ 得， ＋ ＝1，
∴点P的轨迹是以原点为中心，以F1，F2为左、右焦点的椭圆，其中a＝
2 ，根据椭圆定义得，｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4 .故选D.
（2）过双曲线C： －y2＝1的左焦点F1作倾斜角为θ的直线l交C于
M，N两点.若 ＝3 ，则｜ cos θ｜＝（ ）
A. B.
C. D.
√
【瓶颈突破】 由 ＝3 ，联想到双曲线的定义，取双曲线的右焦点F，连接NF，MF，进而利用 cos ∠NF1F＋ cos ∠MF1F＝0，建立函数关系式得解.
解析： 设双曲线的右焦点为F，连接MF，NF，
由题意可得a＝2，b＝1，c＝ ，设｜ ｜＝
3｜ ｜＝3t，｜ ｜＝2a＋3t＝4＋3t，
｜ ｜＝2a＋t＝4＋t，由余弦定理可得 cos ∠NF1F＋ cos ∠MF1F＝ ＋ ＝0，即 ＋ ＝0，解得t＝ ，所以 cos ∠MF1F＝ ＝－ ，故｜ cos θ｜＝ .
考点二 椭圆、双曲线的几何性质
【例2】 （1）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别
为F1，F2，P是椭圆C上的一点，延长PF2交椭圆C于点M，且△F1PM为
等边三角形，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B.
√
【通性通法】 椭圆、双曲线性质应用的常见类型
（1）由性质可求椭圆、双曲线的标准方程，反之，由标准方程可得出椭圆、双曲线的性质；
（2）对称性的应用：椭圆、双曲线的对称性是几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解；
（3）范围的应用：在求解以椭圆、双曲线为载体的某内接几何图形的面积（周长）等最值问题时，往往涉及动点坐标的取值范围（极端点的位置问题），可将问题转化为函数最值处理.
C. D.
解析： 如图，由椭圆的定义知，△F1PM的周长为｜
F1P｜＋｜F1M｜＋｜PM｜＝｜F1P｜＋｜F2P｜＋｜
F1M｜＋｜F2M｜＝4a.因为△F1PM为等边三角形，所
以｜F1P｜＝｜F1M｜＝｜PM｜＝ a.又｜F1P｜＋｜PF2｜＝2a，所以｜PF2｜＝ .在△PF1F2中，由余弦定理得（2c）2＝（ a）2＋（ a）2－2× a× a cos ，整理得c2＝ a2，所以e＝ ＝ .
（2）〔多选〕（2025·全国Ⅱ卷11题）双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直
径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝ ，则（ ）
A. ∠A1MA2＝
B. ｜MA1｜＝2｜MA2｜
C. C的离心率为
D. 当a＝ 时，四边形NA1MA2的面积为8
√
√
√
解析： 根据双曲线和圆的对称性，知四边形A1MA2N为平行四边
形，因为∠NA1M＝ ，所以∠A1MA2＝ ，A正确；设M（x0，y0）（x0
＞0，y0＞0），则 ＋ ＝c2，又y0＝ x0，a2＋b2＝c2，联立可得x0＝
a，y0＝b，所以M（a，b），所以MA2⊥x轴，在Rt△A1A2M中，因为
∠A1MA2＝ ，所以 ＝ cos ＝ ≠ ，B错误；根据13a2＝c2，得
e＝ ，C正确；当a＝ 时，｜MA1｜＝4 ，｜MA2｜＝2 ，所以
四边形NA1MA2的面积为｜MA1｜｜MA2｜· sin ＝4 ×2 × ＝
8 ，D正确.
【训练2】 （1）（2025·辽宁部分重点中学协作体考试）已知双曲线C的
离心率为 ，F1，F2为C的左、右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂
线，垂足为P，O为坐标原点，则 ＝（ ）
A. B.
C. 2 D.
√
【瓶颈突破】 由题意可得｜PF2｜＝｜OP｜＝a，利用余弦定理可得｜PF1｜，从而得解.
解析： 根据题意，e＝ ＝ ，则c＝ a，b＝
＝a，可知渐近线方程为y＝±x，即x±y
＝0，且F2（ a，0），则｜PF2｜＝ ＝a，
｜F1F2｜＝2 a，∠POF2＝ ，可得｜OP｜＝ ＝a，∠PF2F1＝ ，在△PF1F2中，由余弦定理可得，｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2－2｜PF2｜·｜F1F2｜· cos ∠PF2F1＝a2＋8a2－2a×2 a× ＝5a2，即｜PF1｜＝ a，所以 ＝ .故选D.
（2）〔创新题设条件〕设F是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左焦
点，M，N是C上的任意两点，△FMN周长的取值范围为（m，n]，若n
＝3m，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
√
【瓶颈突破】 根据给定条件，利用椭圆的定义，结合三角形的三边关系以及共线关系确定△FMN周长范围.
解析： 令椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）右焦点为E（c，0），｜
MF｜＋｜ME｜＝2a，｜NF｜＋｜NE｜＝2a，△FMN周长｜MN｜
＋｜MF｜＋｜NF｜＝｜MN｜＋2a－｜ME｜＋2a－｜NE｜＝4a＋｜
MN｜－（｜ME｜＋｜NE｜）≤4a＋｜MN｜－｜MN｜＝4a，当且仅
当M，N，E三点共线时取等号，则3m＝4a，即m＝ ，又｜MN｜
＋｜MF｜＋｜NF｜＞｜MF｜＋｜MF｜＝2｜MF｜≥2（a－c），因
此m＝2（a－c）， ＝2（a－c），解得 ＝ ，所以C的离心率为 .
故选A.
考点三 抛物线的几何性质
【例3】 （1）（2025·浙江宁波一模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P
为C上一点且｜PF｜＝3，O为坐标原点，则S△OPF＝（ ）
A. B.
C. 1 D. 2
√
【通性通法】 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少运算量.
解析： 如图，不妨设点P（x，y）在第一象限，过
点P作PH与抛物线的准线x＝－1垂直，垂足为H. 则｜
PH｜＝｜PF｜＝3，又｜PH｜＝x＋1，所以x＝2，所
以y2＝4×2＝8 y＝2 .所以S△OPF＝ ·｜OF｜·｜y｜
＝ ×1×2 ＝ .
（2）〔多选〕（2025·湖南常德模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）经过
点M（1，2），其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于点A（x1，
y1），B（x2，y2），设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（ ）
A. p＝2 B. ｜AB｜≥4
C. · ＝－4 D. k1k2＝－4
√
√
√
【常用结论】 设直线方程时，
反设直线可大大减少运算量.
解析： 因为抛物线y2＝2px（p＞0）经过点M（1，2），所以22＝
2p，解得p＝2，故A正确；所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点F（1，
0），设直线l：x＝my＋1，则 消去x整理得y2－4my－4＝
0，则Δ＝16m2＋16＞0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，则x1＋x2＝m（y1
＋y2）＋2＝4m2＋2，x1x2＝（my1＋1）（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋
y2）＋1＝1，所以｜AB｜＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；因为
＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），所以 · ＝x1x2＋y1y2＝－3，故C
错误；k1k2＝ · ＝－4，故D正确.
【训练3】 （1）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，M
（x0，2 ）（x0＞ ）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝
交于E，G两点.若 sin ∠MFG＝ ，则抛物线C的方程为 ；
解析：过点M作MD⊥EG，垂足为D. ∵M（x0，2 ）
（x0＞ ）在抛物线上，∴8＝2px0，则px0＝4 ①，由题
意可知｜DM｜＝x0－ .∵ sin ∠MFG＝ ，∴｜DM｜＝
｜MF｜，即x0－ ＝ （x0＋ ），解得x0＝p ②，由①②得x0＝p＝－2（舍去）或x0＝p＝2，∴抛物线C的方程是y2＝4x.
y2＝4x
（2）抛物线C：y2＝2px（p＞0）在其上一点处的切线方程为y－x－1＝
0，点A，B为C上两动点，且｜AB｜＝6，则AB的中点M到y轴距离的
取值范围为 .
[2，＋∞）
【瓶颈突破】 由切线方程为y－x－1＝0，故切点必在第一象限，将抛物线方程y2＝2px，化为y＝ ，利用导数的几何意义可得p值，进而利用A，B，F三点共线求最值.
解析：依题意，因切线斜率为1，故切点必在第一象限，
设切点为（ ，y0），由y＝ 求导可得y'＝ ，依
题， ＝1，化简得y0＝p，故切点为（ ，p），代入
y－x－1＝0中，解得p＝2，故C：y2＝4x.如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则M（ ， ），点M到y轴的距离为d＝ ＝ －1＝ －1≥ －1＝2，当且仅当线段AB
经过点F时，等号成立.故AB的中点M到y轴距离的取值范围为[2，＋∞）.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：78分）
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一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1. （2025·河北石家庄质量检测）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的实半轴长为 ，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双
曲线C的渐近线方程为（ ）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
√
解析： 易知a＝ ，又上焦点到一条渐近线的距离为3，则b＝3，故
其渐近线方程为y＝± x.
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2. （2025·北京海淀区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为
F，点M（ ，y0）在C上，｜MF｜＝2，则｜y0｜＝（ ）
A. 1 B.
C. D. 2
√
解析： 由抛物线定义知：｜MF｜＝ ＋ ＝2，解出p＝1，故抛物线
C：y2＝2x，又点M（ ，y0）在C上，则 ＝2× ＝3，｜y0｜＝ ，
故选C.
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3. （2024·新高考Ⅱ卷5题）已知曲线C：x2＋y2＝16（y＞0），从C上任
意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为
（ ）
A. ＋ ＝1（y＞0） B. ＋ ＝1（y＞0）
C. ＋ ＝1（y＞0） D. ＋ ＝1（y＞0）
√
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解析： 设点M（x，y），则P（x，y0），P'（x，0），因为M为
PP'的中点，所以y0＝2y，即P（x，2y），又P在圆x2＋y2＝16（y＞0）
上，所以x2＋4y2＝16（y＞0），即 ＋ ＝1（y＞0），即点M的轨迹
方程为 ＋ ＝1（y＞0）.故选A.
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4. 设B，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右顶点和上焦点，
点P在C上，且 ＝2 ，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
√
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解析： 由题意，得B（b，0），F2（0，c），则 ＝（－b，c）.
设P（x，y），则 ＝（x，y－c）.由 ＝2 ，得
所以 因为点P在椭圆C上，所以 ＋ ＝
1，所以 ＝ ，所以e＝ ＝ .故选A.
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5. 已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上一个动点，A（－1，
3），则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
√
解析： 由题意可知抛物线x2＝4y的焦点坐标为F（0，
1），准线l的方程为y＝－1，过P作PQ⊥l于Q，如图所
示，由抛物线定义可知｜PF｜＝｜PQ｜，所以｜PF｜
＋｜PA｜＝｜PQ｜＋｜PA｜，则当A，P，Q三点共线
时，｜PQ｜＋｜PA｜取得最小值，所以｜PF｜＋｜PA｜的最小值为3－（－1）＝4.
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6. （2025·广东汕头模拟）如图，设F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点
P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆
交于点Q，若｜PF1｜＝4｜QF2｜，则直线PF2的斜率为（ ）
A. － B. －1
C. －2 D. －3
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解析： 连接QF1，由P在以F1F2为直径的圆上，故PF1
⊥PF2.又P，Q在椭圆上，故有｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，
｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a.设｜QF2｜＝m，则｜PF1｜＝
4｜QF2｜＝4m，则有｜PQ｜＝2a－4m＋m＝2a－3m，｜F1Q｜＝2a－m.又｜PF1｜2＋｜PQ｜2＝｜F1Q｜2，即（4m）2＋（2a－3m）2＝（2a－m）2，解得a＝3m，故｜PF2｜＝2a－4m＝2m，则tan∠PF2F1＝ ＝2，故 ＝tan（π－∠PF2F1）＝－tan∠PF2F1＝－2.
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7. （2025·浙江台州二模）已知F1，F2为双曲线C： － ＝1（a＞0，
b＞0）的左、右焦点，过F2作直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，
且｜AB｜＝｜BF1｜， cos ∠ABF1＝ ，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由双曲线定义得，｜AF1｜－｜AF2｜＝｜BF1｜
－｜BF2｜＝2a，｜F1F2｜＝2c，设｜BF1｜＝｜AB｜
＝m，则｜BF2｜＝m－2a，由图，｜AF2｜＝｜AB｜－
｜BF2｜＝2a，｜AF1｜＝4a，在△ABF1中，由余弦定理
得 cos ∠ABF1＝ ＝ ，解得m＝3a，∴｜BF2｜＝m－2a＝a.在△BF1F2中，由余弦定理得 cos ∠F2BF1＝ cos ∠ABF1＝ ＝ ，∴7a2＝3c2，故离心率e＝ ＝ ＝ .故选B.
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二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8. 双曲线C： － ＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线
上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线C的离心率为
B. 双曲线 － ＝1与双曲线C的渐近线相同
C. 若PO⊥PF，则△PFO的面积为
D. ｜PF｜的最小值为2
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解析： 因为a＝2，b＝ ，所以c＝ ＝ ，所以e＝ ＝
，故A正确；双曲线 － ＝1的渐近线方程为y＝± x，双曲线C的
渐近线方程为y＝± x，故B正确；因为PO⊥PF，点F（ ，0）到渐
近线 x－2y＝0的距离d＝ ＝ ，所以｜PF｜＝ ，所
以｜PO｜＝ ＝2，所以△PFO的面积为 × ×2
＝ ，故C正确；｜PF｜的最小值即为点F到渐近线的距离，即｜PF｜
min＝ ，故D不正确.
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9. （2025·广西南宁质检）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），过C的焦
点F作直线l：x＝ty＋1，若C与l交于A，B两点， ＝2 ，则下列
结论正确的有（ ）
A. p＝2
B. ｜AF｜＝3
C. t＝2 或－2
D. 线段AB中点的横坐标为
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解析： 法一（代数法） ∵C：y2＝2px（p＞0），∴点F在x轴
正半轴上.又直线l恒过点（1，0），∴F（1，0），∴p＝2，故A正确；
由 得y2－4ty－4＝0，Δ＝16（t2＋1）＞0.设A（x1，y1），
B（x2，y2），由根与系数的关系得y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∵ ＝
2 ，∴y1＝－2y2，解得y1＝－2 ，y2＝ 或y1＝2 ，y2＝－ ，
∵t＝ ，∴t＝ 或－ ，故C错误；x1＝ ＝2，x2＝ ＝ ，｜
AB｜＝x1＋ ＋x2＋ ＝x1＋x2＋p＝2＋ ＋2＝ ，｜AF｜＝ ｜AB｜＝
× ＝3，故B正确；线段AB中点的横坐标为 ＝ ＝ ，故D正确.
故选A、B、D.
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法二 ∵C：y2＝2px（p＞0），∴点F在x轴正半轴上.又直线l恒过点
（1，0），∴F（1，0），∴p＝2，故A正确；由 ＋ ＝ ，
及｜AF｜＝2｜FB｜得 ＋ ＝1，∴｜AF｜＝3，故B正确；
设A（x1，y1），则由｜AF｜＝3，得点A到准线x＝－1的距离为3，∴x1
＝2，代入C的方程得y1＝±2 ，∴ ＝kAF＝±2 ，∴t＝± ，故C
错误；设B（x2，y2），由 得y2－4ty－4＝0，Δ＝16（t2＋
1）＞0，∴y1＋y2＝4t，x1＋x2＝t（y1＋y2）＋2＝4t2＋2＝4×（± ）2
＋2＝ ，∴线段AB中点的横坐标为 ＝ ，故D正确.故选A、B、D.
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10. （2025·山东济南一模）已知F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1的左、
右焦点，O为坐标原点，P为C上异于左、右顶点的一点，H是线段PF2
的中点，则（ ）
A. ｜OH｜＋｜HF2｜＝2
B. ｜OH｜＞1
C. △OHF2内切圆半径的最大值为
D. △HF1F2外接圆半径的最小值为1
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解析： 对于A，由三角形中位线得｜OH｜＝ ｜PF1｜，则｜
OH｜＋｜HF2｜＝ （｜PF1｜＋｜PF2｜）＝ ×2a＝a＝2，故A正确；
对于B，因为当点P在第二、三象限时，｜PF1｜＜2，此时｜OH｜＜1，
故B错误；对于C，因为｜OH｜＋｜HF2｜＋｜OF2｜＝3， ＝b2tan ＝3tan ，其中θ＝∠F1PF2，当点P在上顶点时，θ最大，所以0＜θ≤ ，所以0＜tan ≤ ，所以0＜ ≤ ，所以由三角形相似可得0＜ ≤ ，设内切圆半径为r，又 ＝ r（｜OH｜＋｜HF2｜
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＋｜OF2｜）＝ r，所以△OHF2内切圆半径的最大值为 ＝ ，故C正
确；对于D，设△HF1F2的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝
＝ R≥1，故D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
11. 已知椭圆 ＋ ＝1（0＜b＜2）与x轴正半轴交于点A，与y轴正半
轴交于点B，点F是椭圆的一个焦点，若△ABF是等腰三角形，则b2
＝ .
解析：由题意可知，A（b，0），B（0，2），因为0＜b＜2，所以a＝
2，c＝ ，因为△ABF是等腰三角形，所以由椭圆的性质可知F是
椭圆的下焦点，所以｜BF｜＝｜AB｜ 2＋ ＝ b2＝
2 .
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12. 过双曲线 －y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双
曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 .
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解析：如图，根据双曲线的对称性，不妨设倾斜角为
60°的直线过双曲线的右焦点.由双曲线的方程可得，
双曲线的右焦点坐标为（2，0），渐近线方程为y＝
± x，故倾斜角为60°的直线的方程为y＝tan 60°（x－2），即y＝ （x－2）.由 得 由 得 故所求三角形的面积为 ×2×｜ －（－ ）｜＝ .
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13. 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于点
M，N（点N在x轴上方），点E为x轴上F右侧的一点，如图所示，若｜
NF｜＝｜EF｜＝3｜MF｜，S△MNE＝12 ，则p＝ .
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解析：设N（x1，y1），M（x2，y2），F（ ，0），由 ＝3，得
又 则 －9 ＝2p（x1
－9x2），即（y1＋3y2）（y1－3y2）＝2p（x1－9x2），所以x1－9x2＝0.
由 则N（ p， p），M（ p，－
p），所以kMN＝ ，即∠NFE＝60°，又｜NF｜＝｜FE｜＝2p，所以
S△NFE＝ ×2p×2p× ＝ p2，又S△MNE＝ S△NFE，所以 × p2＝
12 p＝3.
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【高考新风向】（每小题5分，共10分）
14. 〔创新交汇〕设N为正整数，在平面直角坐标系xOy中，若 x2＋
y2＝1（0≤m≤N，0≤n≤N，且m，n∈Z）恰好能表示出12个不同的椭
圆方程，则N的一个可能取值为（ ）
A. 12 B. 8
C. 7 D. 5
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解析： 由 ＝ 知，当N为偶数时， ， 均有 ＋1个不同的
取值.由方程是椭圆的方程知， ≠ ，故方程可表示的不同的椭圆方
程的个数为（ ＋1）· ，令（ ＋1）· ＝12，解得N＝6.当N为奇数
时， ， 均有 个不同的取值.故方程可表示的不同的椭圆方程的个
数为 · ，令 · ＝12，解得N＝7.综上所述，N＝6或7.故选C.
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15. 〔创新交汇〕两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线相同.如图所示，一列圆Cn：x2＋（y－an）2＝ （an＞0，rn＞0，n＝1，2，…）逐个外切，且均与曲线y＝x2相切，若r1＝1，则rn＝（ ）
A. B.
C. n D. n2
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解析： 由题意得y'＝2x，圆C1的圆心为（0，a1），半径r1＝1，设圆
C1与曲线y＝x2相切于点（x1， ）（x1≠0），则
解得a1＝ .圆Cn的圆心为（0，
an），半径为rn，设圆Cn与曲线y＝x2相切于点（xn， ）（xn≠0），
则 解得an＝ ＋ ，又an＋1＝an＋
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rn＋rn＋1，所以 ＋ ＝ ＋ ＋rn＋rn＋1，则（rn＋1－ ）2＝（rn＋
）2，因为rn≥1，所以rn＋1＝rn＋1，所以{rn}是以1为首项，1为公差的
等差数列，所以rn＝n.
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演示完毕 感谢观看
