第17讲 直线与圆锥曲线的位置关系
（时间：60分钟，满分：91分）
一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1.若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一个公共点，则a＝（ ）
A. B.
C. D.1
2.（2025·广东湛江二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.已知双曲线C：－＝1（m＞0，n＞0）的焦距为4，点P（，）在双曲线上，则该双曲线在点P处的切线的斜率为（ ）
A.－1 B.1
C. D.
4.（2025·四川泸州三模）已知点M（4，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则｜MN｜＝（ ）
A. B.
C. D.
5.已知F1为椭圆＋＝1的左焦点，过F1作倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A. B.
C. D.3
6.（2025·陕西安康模拟）已知双曲线C：x2－＝1，O为坐标原点，若直线y＝x＋2与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，则△OAB内切圆的半径等于（ ）
A.－1 B.2－
C.2－ D.－1
二、多项选择题（每小题6分，共12分）
7.设F1，F2为双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l：x－y＝0为双曲线C的一条渐近线，则（ ）
A.b＝
B.弦｜PQ｜的最小值为6
C.存在点P，使得｜PF1｜＝3
D.点P到直线m：x－y＋2＝0距离的最小值为1
8.（2025·山东聊城一模）设动直线l：y＝kx－k＋2与抛物线C：x2＝2y相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则（ ）
A.直线l经过一定点
B.抛物线C的焦点为（，0）
C.点P到坐标原点的距离不小于
D.△PAB的面积的最小值为3
三、填空题（每小题5分，共10分）
9.（2024·北京高考13题）若直线y＝k（x－3）与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为 .
10.已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，F1，F2分别为其左、右焦点，P是E上位于第二象限内的点，过点P作E的切线交直线x＝2于点Q，则直线PF2与直线QF1的斜率之积为 .
四、解答题（共28分）
11.（13分）（2025·浙江杭州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上点M（2，y0）满足｜MF｜＝3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设点D（－1，0），过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：x＝1是∠AFB的平分线.
12.（15分）（2025·广东惠州第二次调研）已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（2）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为，求实数k的值.
☆高考新风向（13题5分，14题6分，共11分）
13.〔创新定义〕蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点P在直线x－y－6＝0上.若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A.（0，） B.（0，） C.（，1） D.（，1）
14.〔创新设问〕〔多选〕将曲线C：y＝＋经过旋转可得到双曲线E：－＝1，若直线y＝m与C只有一个公共点，与E交于A，B两点，则（ ）
A.m＝2 B.a＝2 C.b＝2 D.｜AB｜＝2
第17讲 直线与圆锥曲线的位置关系
1.C 因为方程x2＋3y2＝a表示的曲线为椭圆，则a＞0，将直线y＝x－1的方程与椭圆的方程联立，得可得4x2－6x＋3－a＝0，则Δ＝36－4×4×（3－a）＝16a－12＝0，解得a＝.
2.D 设A（x1，y1），B（x2，y2），则整理得＝＝1，因为线段AB中点的横坐标为7，所以线段AB中点的纵坐标为4，则y1＋y2＝8，从而可得p＝4，故选D.
3.D 由题意，知c＝2，又点P在双曲线上，所以解得m2＝1，n2＝3，故双曲线C：x2－＝1，则双曲线在点P处的切线方程为x－y＝1，即y＝x－，故k＝.
4.A 将点M（4，4）代入抛物线方程y2＝2px，可得16＝2p×4，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，所以F（1，0），准线方程为x＝－1，所以直线MN的斜率k＝＝，所以直线MN的方程为y＝（x－1），令x＝－1，得y＝－，所以N（－1，－），所以｜MN｜＝＝.
5.A 如图，因为直线AB的倾斜角为，所以斜率为，又直线AB过点F1（－，0），所以直线AB：y＝（x＋），联立消去x并整理得11y2－12y－36＝0，Δ＝144＋4×11×36＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝－，所以｜y1－y2｜＝＝＝，所以S△AOB＝·｜OF1｜·｜y1－y2｜＝××＝.
6.C 双曲线C：x2－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x，联立方程解得同理联立解得不妨设A（＋1，3＋），B（1－，3－），则｜OA｜＝2（＋1），｜OB｜＝2（－1），｜AB｜＝2，点O到直线y＝x＋2的距离d＝＝，设△OAB内切圆的半径为r，则有S△OAB＝｜AB｜·d＝（｜OA｜＋｜OB｜＋｜AB｜）r，即2×＝[2（＋1）＋2（－1）＋2]r，解得r＝2－.故选C.
7.AB 由题知，a＝1，渐近线x－y＝0 y＝x ＝ b＝，c＝2，故A正确；｜PQ｜为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，即与x轴垂直时最短，｜PQ｜min＝＝2×3＝6，故B正确；根据双曲线定义知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a ｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜≥2a＋c－a＝a＋c＝1＋2＝3，∴当P为双曲线右顶点（1，0）时，｜PF1｜取最小值3，但此时F2P与双曲线的右支没有两个交点，故C错误；∵直线m和双曲线的渐近线l平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错误.故选A、B.
8.ACD 对于A，l：y＝kx－k＋2化简为k（x－1）＋2－y＝0，无论k为何值时，令2－y＝0，x－1＝0，可得定点为（1，2），故A正确；对于B，C：x2＝2y的焦点在y轴上且2p＝2，所以＝，所以抛物线C的焦点为（0，），故B错误；对于C，将l：y＝kx－k＋2与抛物线方程联立有x2－2kx＋2k－4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－4，由y＝ y'＝x，所以PA，PB的斜率分别为x1，x2，又因为y1＝，y2＝，则两切线PA：y＝x1x－，PB：y＝x2x－，联立两直线方程解得x＝＝k，y＝＝k－2，所以P（k，k－2），点P到坐标原点的距离为＝＝≥，当k＝1时点P到坐标原点的最小距离为，故C正确；对于D，P到l的距离为d＝，｜AB｜＝·｜x1－x2｜＝·＝2·，所以S△PAB＝d｜AB｜＝｜k2－2k＋4｜＝（）3，当k＝1时（k2－2k＋4）min＝3，此时S△PAB取最小值3，故D正确.故选A、C、D.
9.（或－） 解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k（x－3）过定点（3，0）.因为点（3，0）在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±.
10.－ 解析：∵e＝＝，2c＝2，∴c＝1，a＝，b＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1，F1（－1，0），F2（1，0）.设P（x0，y0）（－＜x0＜0，y0＞0），则过点P的椭圆的切线方程为＋y0y＝1，于是Q（2，），∴＝，＝，∴·＝－.
11.解：（1）由｜MF｜＝xM＋＝3，可得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.
（2）证明：根据题意，直线AB斜率不为0，设其方程为：x＝my－1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y2－4my＋4＝0，由Δ＝16m2－16＞0，可得：m＞1或m＜－1，由根与系数的关系得：y1＋y2＝4m，y1y2＝4.
则kFA＋kFB＝＋＝
＝
＝
＝
＝0，即直线FA与直线FB的倾斜角互补，所以x＝1是∠AFB的平分线.
12.解：（1）由题意知，直线l与双曲线C有两个不同的交点，则方程组有两组不同的实数根，
消去y并整理得（1－k2）x2＋2kx－2＝0，
由解得－＜k＜且k≠±1，
故双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是（－，－1）∪（－1，1）∪（1，）.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知双曲线C与直线l的方程联立消元后所得的方程为（1－k2）x2＋2kx－2＝0，当－＜k＜且k≠±1时，二者有两个不同的交点.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
则｜AB｜＝｜x2－x1｜
＝·
＝·
＝·.
又点O到直线l的距离d＝，
所以S△OAB＝｜AB｜·d＝＝，
解得k＝0或k＝±，
又－＜k＜且k≠±1，所以k＝0或k＝±，
所以当△OAB的面积为时，实数k的值为0或或－.
13.B 因为椭圆C的焦点在x轴上，所以m＞3，又直线x＝±，y＝±都与椭圆＋＝1相切，因此直线x＝±，y＝±所围成矩形的外接圆x2＋y2＝3＋m为椭圆＋＝1的蒙日圆，如图，由A，B为椭圆＋＝1上任意两个动点，
且∠APB恒为锐角，得点P在圆x2＋y2＝3＋m外，又动点P在直线x－y－6＝0上，因此直线x－y－6＝0与圆x2＋y2＝3＋m相离，即＞，得m＜9，得e2＝＝1－∈（0，），又0＜e＜1，所以0＜e＜，所以椭圆C的离心率的取值范围为（0，）.故选B.
14.BC 对于A，若直线y＝m与C：y＝＋只有一个公共点，由对勾函数性质可得m＝±2，故A错误；对于B、C，由题意将曲线C：y＝＋夹在中间的两条渐近线方程为y＝x，x＝0，所以这两条渐近线所形成的那个锐角的一半为θ＝＝，曲线C：y＝＋的两条渐近线y＝x，x＝0的中间那条直线为y＝x，联立y＝x以及C：y＝＋，解得或由旋转的性质可得，＝tan θ＝，2a＝2＝4，解得a＝2，b＝2，故B、C正确；对于D，要求｜AB｜，由双曲线的对称性可知，只需联立y＝2与E：－＝1，解得或即｜AB｜＝12，故D错误.故选B、C.
2 / 2第17讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【备考指南】 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.
1.在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数是否为0，另还需注意斜率不存在的情形.
1.已知直线l：y＝kx＋1，椭圆C：＋y2＝1，则“k＝0”是“l与C相切”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.弦长公式｜AB｜＝·｜xA－xB｜或｜AB｜＝·｜yA－yB｜.
2.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是（ ）
A.2 B.4
C.8 D.16
3.圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率：（1）椭圆（＋＝1）：k＝－；
（2）双曲线（－＝1）：k＝；
（3）抛物线（y2＝2px）：k＝.
3.已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M（3，2），则直线AB的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
4.椭圆＋＝1（a＞b＞0）在（x0，y0）处的切线方程为＋＝1（双曲线类似）；抛物线y2＝2px（p＞0）在（x0，y0）处的切线方程为y0y＝p（x＋x0）.
4.如图，已知点P（x0，y0）是双曲线C1：－＝1上的点，过点P作椭圆C2：＋＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线于点E，F，O是坐标原点，则·＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
考点一 弦长问题
【易错提醒】 （1）设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等；
（2）涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ＞0易漏掉；
（3）｜AB｜＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
【例1】 （2025·全国Ⅱ卷16题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4.
（1）求C的方程；
（2）过点（0，－2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为，求｜AB｜.
【训练1】 （1）过双曲线－＝1的右焦点F，且倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A. B.
C. D.
【瓶颈突破】
S△OAB＝｜OF｜｜yA－yB｜.
【通性通法】 （1）处理中点弦问题的常用方法：①根与系数的关系；②点差法；③常用结论.
（2）用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤：①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
（2）（2025·湖北武汉二调）已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若｜AB｜＝12，△OAB面积为4，则p＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.3
考点二 中点弦问题
【例2】 （1）已知双曲线x2－＝1，过点P（1，1）的直线l与该双曲线相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A.2x－y－1＝0 B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0 D.该直线不存在
【易错提醒】 利用点差法时需注意直线与曲线相交，即必须保证判别式Δ＞0.
（2）（2025·江苏南京第二次模考）已知椭圆C：＋y2＝1的上顶点为A，直线l：y＝kx＋m交C于M，N两点.若△AMN的重心为（，0），则实数k＝ .
【训练2】 （1）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝－2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（－2，4），则直线PQ的方程为（ ）
A.x＋2y－6＝0 B.x＋3y－10＝0
C.2x＋y＝0 D.2x＋3y－8＝0
【瓶颈突破】 C，D是线段AB的三等分点，故线段CD的中点为线段AB的中点.
【通性通法】 求圆锥曲线切线方程的一般方法
（1）圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法解决；
（2）根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用判别式Δ＝0，即可解出切线方程.
（2）〔创新设问〕已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ：＋y2＝1于A，B两点，交x，y轴分别于C，D两点，且C，D是线段AB的三等分点，则直线l的斜率为 .
考点三 圆锥曲线的切线问题
【例3】 （1）（2025·山东济南一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线x2＝2py（p＞0），单位圆O分别相切于A，B两点，当｜AB｜最小时，p＝（ ）
A.2 B.2
C. D.
（2）设点P（x0，y0）在直线x＝m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2－y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，已知定点M（，0）.求证：A，M，B三点共线.
【瓶颈突破】 设P（－2，t），得出直线PC的方程，与椭圆联立，根据相切 Δ＝0，求出k，进而求出C点的坐标，设CD与PB交于点E，由CD⊥AB，得xE＝xC，代入直线PB得yE，由三角形面积公式及yE与yC的关系得到.
【训练3】 （2025·浙江绍兴二模）已知椭圆Γ：＋＝1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（，）.
（1）求Γ的方程；
（2）设A，B为Γ的左、右顶点，在过点A且垂直于x轴的直线上任取一点P，过P作Γ的切线，切点为C（异于A），作CD⊥AB，垂足为D.记△PBC和△PBD的面积分别为S1，S2，求的值.
第17讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【基础·回扣】
1.C 2.C 3.D 4.C
【典例·讲解】
【例1】 解：（1）因为长轴长为4，所以a＝2，又离心率为，所以c＝，
所以b＝，故椭圆C的方程为＋＝1.
（2）由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入＋＝1消去y并化简得（1＋2k2）x2－8kx＋4＝0，
由Δ＝16（2k2－1）＞0，得k2＞，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
S△OAB＝×2×｜x2－x1｜＝＝＝，解得k2＝.
所以｜AB｜＝｜x2－x1｜＝×＝.
【训练1】 （1）C 由双曲线的方程得F（3，0），直线AB的方程为y＝（x－3） ①，将其代入双曲线方程消去y得，5x2＋6x－27＝0，解得x1＝－3，x2＝.将x1，x2代入①，得y1＝－2，y2＝－，故｜AB｜＝＝.
（2）A 抛物线y2＝2px的焦点为F（，0），设直线AB：x＝ty＋，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝t（y1＋y2）＋2p＝2p（t2＋1）＝12，即p（t2＋1）＝6，｜y1－y2｜＝＝＝2p，S△OAB＝｜OF｜｜y1－y2｜＝p2＝4，则p2＝8，因此p3＝64，所以p＝4.故选A.
【例2】 （1）D 设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，代入双曲线方程得两式相减得－＝－，得（x1＋x2）（x1－x2）＝，若P是线段AB的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，所以＝2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.联立得2x2－4x＋3＝0，则Δ＝16－4×2×3＝－8＜0，方程无解，所以直线l不存在.
（2） 解析：法一 由题意得A（0，1）.如图，设△AMN的重心为G，连接AG并延长，与MN交于点B，则点B为MN的中点，且＝2，又G（，0），∴（，－1）＝2（xB－，yB），解得xB＝，yB＝－.故xM＋xN＝，yM＋yN＝－1.∵＋＝1，＋＝1，∴两式相减得（－）＋－＝0，即k＝＝－×＝.
法二 同法一，求得B（，－），连接OB，由椭圆的二级结论得kMN×kOB＝－＝－，∴k×＝－，解得k＝.
【训练2】 （1）A 由抛物线C：x2＝2py的准线方程为y＝－2，可得－＝－2，p＝4，所以x2＝8y，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得两式相减，可得－＝（x2－x1）（x2＋x1）＝8（y2－y1），又x1＋x2＝－4，可得kPQ＝＝＝－，所以直线PQ的方程为y－4＝－（x＋2），即x＋2y－6＝0.
（2） 解析：设直线AB为y＝kx＋b，k＞0，若b＝0，此时C，D均与原点重合，｜CD｜＝0，但｜AB｜≠0，故不合要求，所以b≠0，y＝kx＋b与＋y2＝1联立得（1＋4k2）x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4（1＋4k2）（4b2－4）＞0，解得4k2－b2＋1＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，故＝－，y＝kx＋b中，令x＝0得y＝b，故D（0，b），令y＝0得x＝－，故C（－，0），CD的中点坐标为E（－，），C，D是线段AB的三等分点，故线段CD的中点为线段AB的中点，故－＝－，解得k＝，负值舍去.
【例3】 （1）C 令A（x0，y0），则｜AB｜＝＝.y＝，y'＝，则k＝，切线方程为y－y0＝（x－x0）即2x0x－2py－＝0，直线又与单位圆相切，则＝1，即p＝，则｜AB｜＝＝≥＝2，当且仅当－1＝即＝3，即y0＝，p＝时取“＝”.故选C.
（2）证明：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2）.由已知，可得y1y2≠0，且－＝1，－＝1.
设切线PA的方程为y－y1＝k（x－x1）.
由得（1－k2）x2－2k（y1－kx1）x－（y1－kx1）2－1＝0，∴Δ＝4k2（y1－kx1）2＋4（1－k2）（y1－kx1）2＋4（1－k2）＝0，解得k＝，∴PA的方程为y1y＝x1x－1.
同理可得PB的方程为y2y＝x2x－1.
∵P（m，y0）在PA，PB上，
∴y1y0＝mx1－1，y2y0＝mx2－1，
即点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y＝mx－1上.
又∵M（，0）也在直线y0y＝mx－1上，
∴A，M，B三点共线.
【训练3】 解：（1）由题意知c＝1，且过点（，），即a2－b2＝1，＋＝1，
解得a2＝4，b2＝3，所以Γ的方程为＋＝1.
（2）设P（－2，t），直线PC的方程为y＝k（x＋2）＋t，
代入Γ的方程得（3＋4k2）x2＋8k（2k＋t）x＋4（2k＋t）2－12＝0.
因为直线PC与Γ相切，所以Δ＝64k2（2k＋t）2－4（3＋4k2）[4（2k＋t）2－12]＝0.
化简得4kt＋t2－3＝0，所以k＝，
所以xC＝－＝，代入直线PC的方程得yC＝，
设PB与CD交于点E，又B（2，0），直线PB的方程为y＝－（x－2），
因为xE＝xC＝，代入直线PB的方程得yE＝，所以yE＝yC，所以E为CD中点.因此点C，D到直线PB的距离相等，所以＝1.
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第17讲
直线与圆锥曲线的位置关系
备考指南
直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知直线l：y＝kx＋1，椭圆C： ＋y2＝1，则“k＝0”是“l与C相
切”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√
在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x（或y），得到关于y（或x）的方程，如果是椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数是否为0，另还需注意斜率不存在的情形.
解析： 当k＝0时，直线l：y＝1，直线与椭圆相切，充分性成立；当
“l与C相切”时，联立 得（4k2＋1）x2＋8kx＝0，令Δ＝
（8k）2－4×（4k2＋1）×0＝0，得k＝0，必要性成立.所以“k＝0”是
“l与C相切”的充要条件.
2. 已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长
是（ ）
A. 2 B. 4
C. 8 D. 16
√
弦长公式｜AB｜＝ ·｜xA－xB｜或｜AB｜＝ ·｜yA－yB｜.
解析： 联立 消去y并整理得x2－6x＋1＝0，则Δ＞0，设A
（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以｜AB｜＝
· ＝ × ＝8.
3. 已知点A，B是双曲线C： － ＝1上的两点，线段AB的中点是M
（3，2），则直线AB的斜率为（ ）
A. B.
√
圆锥曲线以P（x0，y0）（y0≠0）为中点的弦所在直线的斜率：
（1）椭圆（ ＋ ＝1）：k＝－ ；
（2）双曲线（ － ＝1）：k＝ ；
（3）抛物线（y2＝2px）：k＝ .
C. D.
解析： 法一 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B是双曲线
C上的两点，所以 － ＝1， － ＝1，两式相减得
＝ ，因为M（3，2）是线段AB的中点，所以x1＋x2＝
6，y1＋y2＝4，所以 ＝ ，所以kAB＝ ＝ .
法二 kAB＝ ＝ × ＝ .
4. 如图，已知点P（x0，y0）是双曲线C1： － ＝1上的点，过点P作
椭圆C2： ＋ ＝1的两条切线，切点为A，B，直线AB交C1的两渐近线
于点E，F，O是坐标原点，则 · ＝（ ）
A. B.
C. 1 D. 2
√
椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）在（x0，y0）处的切线方程为 ＋ ＝1（双曲线类似）；抛物线y2＝2px（p＞0）在（x0，y0）处的切线方程为y0y＝p（x＋x0）.
解析： 椭圆C2关于点P（x0，y0）的切点弦AB的方程为 ＋ ＝
1，即3x0x＋4y0y＝12，由 解得E（ ，
），同理F（ ， ），则 · ＝ ＋
＝ ＝1.
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一 弦长问题
【例1】 （2025·全国Ⅱ卷16题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的
离心率为 ，长轴长为4.
（1）求C的方程；
解： 因为长轴长为4，所以a＝2，又离心率为 ，所以c＝ ，
所以b＝ ，故椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
（2）过点（0，－2）的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点，若
△OAB的面积为 ，求｜AB｜.
【易错提醒】 （1）设直线方程时，需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在、斜率为0等；
（2）涉及直线与圆锥曲线相交时，Δ＞0易漏掉；
（3）｜AB｜＝x1＋x2＋p是抛物线过焦点的弦的弦长公式，其他情况该公式不成立.
解： 由题意得l的斜率存在，设l：y＝kx－2，代入 ＋ ＝1消去y
并化简得（1＋2k2）x2－8kx＋4＝0，由Δ＝16（2k2－1）＞0，得k2＞ ，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
S△OAB＝ ×2×｜x2－x1｜＝ ＝ ＝ ，解
得k2＝ .所以｜AB｜＝ ｜x2－x1｜＝ × ＝ .
【训练1】 （1）过双曲线 － ＝1的右焦点F，且倾斜角为30°的直
线交双曲线于A，B两点，则｜AB｜＝（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 由双曲线的方程得F（3，0），直线AB的方程为y＝ （x－
3） ①，将其代入双曲线方程消去y得，5x2＋6x－27＝0，解得x1＝－
3，x2＝ .将x1，x2代入①，得y1＝－2 ，y2＝－ ，故｜AB｜＝
＝ .
（2）（2025·湖北武汉二调）已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px（p＞
0）焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若｜AB｜＝12，△OAB面积
为4 ，则p＝（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 3
√
【瓶颈突破】
S△OAB＝ ｜OF｜｜yA－yB｜.
解析： 抛物线y2＝2px的焦点为F（ ，0），设直线AB：
x＝ty＋ ，点A（x1，y1），B（x2，y2），由
消去x得y2－2pty－p2＝0，则y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，
｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝t（y1＋y2）＋2p＝2p（t2＋1）＝12，即p（t2＋1）＝6，｜y1－y2｜＝ ＝ ＝2p ，S△OAB＝ ｜OF｜｜y1－y2｜＝ p2 ＝4 ，则p2 ＝8 ，因此p3＝64，所以p＝4.故选A.
考点二 中点弦问题
【例2】 （1）已知双曲线x2－ ＝1，过点P（1，1）的直线l与该双曲
线相交于A，B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A. 2x－y－1＝0
B. 2x＋y－1＝0
C. 2x－y＋1＝0
D. 该直线不存在
√
【通性通法】
（1）处理中点弦问题的常用方法：①根与系数的关系；②点差法；③常用结论.
（2）用“点差法”解决有关中点弦问题的一般步骤：①设点：设出弦的两端点坐标；②代入：代入圆锥曲线方程；③作差：两式相减，再用平方差公式展开；④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
解析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，代入双曲线方程得
两式相减得 － ＝ － ，得（x1＋x2）（x1－x2）
＝ ，若P是线段AB的中点，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
所以 ＝2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB方程为y－1＝2（x－
1），即2x－y－1＝0.联立 得2x2－4x＋3＝0，则Δ＝
16－4×2×3＝－8＜0，方程无解，所以直线l不存在.
（2）（2025·江苏南京第二次模考）已知椭圆C： ＋y2＝1的上顶点为
A，直线l：y＝kx＋m交C于M，N两点.若△AMN的重心为（ ，0），
则实数k＝ .
【易错提醒】 利用点差法时需注意直线与曲线相交，即必须保证判别式Δ＞0.
解析：法一 由题意得A（0，1）.如图，设△AMN的重心为G，连接AG
并延长，与MN交于点B，则点B为MN的中点，且 ＝2 ，又G
（ ，0），∴（ ，－1）＝2（xB－ ，yB），解得xB＝ ，yB＝－ .故
xM＋xN＝ ，yM＋yN＝－1.∵ ＋ ＝1， ＋ ＝1，∴两式相减得
（ － ）＋ － ＝0，即k＝ ＝－ × ＝ .
法二 同法一，求得B（ ，－ ），连接OB，由椭圆的二级结论得
kMN×kOB＝－ ＝－ ，∴k× ＝－ ，解得k＝ .
【训练2】 （1）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线方程为y＝－
2，点P，Q在抛物线C上，且线段PQ的中点为（－2，4），则直线PQ
的方程为（ ）
A. x＋2y－6＝0 B. x＋3y－10＝0
C. 2x＋y＝0 D. 2x＋3y－8＝0
√
解析： 由抛物线C：x2＝2py的准线方程为y＝－2，可得－ ＝－2，
p＝4，所以x2＝8y，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得 两
式相减，可得 － ＝（x2－x1）（x2＋x1）＝8（y2－y1），又x1＋x2＝
－4，可得kPQ＝ ＝ ＝－ ，所以直线PQ的方程为y－4＝－
（x＋2），即x＋2y－6＝0.
（2）〔创新设问〕已知斜率大于零的直线l交椭圆Γ： ＋y2＝1于A，B
两点，交x，y轴分别于C，D两点，且C，D是线段AB的三等分点，则
直线l的斜率为 .
【瓶颈突破】 C，D是线段AB的三等分点，故线段CD的中点为线段AB的中点.
解析：设直线AB为y＝kx＋b，k＞0，若b＝0，此时C，D均与原点重
合，｜CD｜＝0，但｜AB｜≠0，故不合要求，所以b≠0，y＝kx＋b与
＋y2＝1联立得（1＋4k2）x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4（1＋
4k2）（4b2－4）＞0，解得4k2－b2＋1＞0，设A（x1，y1），B（x2，
y2），则x1＋x2＝－ ，故 ＝－ ，y＝kx＋b中，令x＝0
得y＝b，故D（0，b），令y＝0得x＝－ ，故C（－ ，0），CD的中
点坐标为E（－ ， ），C，D是线段AB的三等分点，故线段CD的中
点为线段AB的中点，故－ ＝－ ，解得k＝ ，负值舍去.
考点三 圆锥曲线的切线问题
【例3】 （1）（2025·山东济南一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l
与抛物线x2＝2py（p＞0），单位圆O分别相切于A，B两点，当｜AB｜
最小时，p＝（ ）
A. 2 B. 2
C. D.
√
【通性通法】 求圆锥曲线切线方程的一般方法
（1）圆锥曲线在某点处的切线方程可通过求导的方法解决；
（2）根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用判别式Δ＝0，即可解出切线方程.
解析： 令A（x0，y0），则｜AB｜＝ ＝
.y＝ ，y'＝ ，则k＝ ，切线方程为y－y0＝ （x－
x0）即2x0x－2py－ ＝0，直线又与单位圆相切，则 ＝1，即p
＝ ，则｜AB｜＝ ＝ ≥ ＝
2 ，当且仅当 －1＝ 即 ＝3，即y0＝ ，p＝ 时取“＝”.
故选C.
（2）设点P（x0，y0）在直线x＝m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P
作双曲线x2－y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，已知定点M
（ ，0）.求证：A，M，B三点共线.
证明：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2）.由已知，可
得y1y2≠0，且 － ＝1， － ＝1.
设切线PA的方程为y－y1＝k（x－x1）.
由 得（1－k2）x2－2k（y1－kx1）x－（y1－kx1）2－1＝0，
∴Δ＝4k2（y1－kx1）2＋4（1－k2）（y1－kx1）2＋4（1－k2）＝0，解得k＝ ，
∴PA的方程为y1y＝x1x－1.同理可得PB的方程为y2y＝
x2x－1.
∵P（m，y0）在PA，PB上，∴y1y0＝mx1－1，y2y0＝
mx2－1，
即点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y＝mx－1上.又∵M（ ，0）也在直线y0y＝mx－1上，∴A，M，B三点共线.
【训练3】 （2025·浙江绍兴二模）已知椭圆Γ： ＋ ＝1（a＞b＞0）
的焦距为2，且过点（ ， ）.
（1）求Γ的方程；
解： 由题意知c＝1，且过点（ ， ），即a2－b2＝1， ＋
＝1，
解得a2＝4，b2＝3，所以Γ的方程为 ＋ ＝1.
（2）设A，B为Γ的左、右顶点，在过点A且垂直于x轴的直线上任取一
点P，过P作Γ的切线，切点为C（异于A），作CD⊥AB，垂足为D. 记
△PBC和△PBD的面积分别为S1，S2，求 的值.
【瓶颈突破】 设P（－2，t），得出直线PC的方程，与椭圆联立，根据相切 Δ＝0，求出k，进而求出C点的坐标，设CD与PB交于点E，由CD⊥AB，得xE＝xC，代入直线PB得yE，由三角形面积公式及yE与yC的关系得到 .
解： 设P（－2，t），直线PC的方程为y＝k（x
＋2）＋t，
代入Γ的方程得（3＋4k2）x2＋8k（2k＋t）x＋4（2k＋
t）2－12＝0.
因为直线PC与Γ相切，所以Δ＝64k2（2k＋t）2－4（3＋4k2）[4（2k＋t）2－12]＝0.
化简得4kt＋t2－3＝0，所以k＝ ，
所以xC＝－ ＝ ，代入直线PC的方程得yC＝ ，
设PB与CD交于点E，又B（2，0），直线PB的方程为y＝－ （x－2），
因为xE＝xC＝ ，代入直线PB的方程得yE＝
，所以yE＝ yC，所以E为CD中点.因此点C，D到
直线PB的距离相等，所以 ＝1.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：60分钟，满分：91分）
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一、单项选择题（每小题5分，共30分）
1. 若直线y＝x－1与椭圆x2＋3y2＝a有且只有一个公共点，则a＝
（ ）
A. B.
√
C. D. 1
解析： 因为方程x2＋3y2＝a表示的曲线为椭圆，则a＞0，将直线y＝x
－1的方程与椭圆的方程联立，得 可得4x2－6x＋3－a＝
0，则Δ＝36－4×4×（3－a）＝16a－12＝0，解得a＝ .
2. （2025·广东湛江二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与直线l：x
－y－3＝0交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为7，则p＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
解析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 整理得
＝ ＝1，因为线段AB中点的横坐标为7，所以线段AB中点的纵坐标
为4，则y1＋y2＝8，从而可得p＝4，故选D.
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3. 已知双曲线C： － ＝1（m＞0，n＞0）的焦距为4，点P（ ，
）在双曲线上，则该双曲线在点P处的切线的斜率为（ ）
A. －1 B. 1
C. D.
√
解析： 由题意，知c＝2，又点P在双曲线上，所以 解
得m2＝1，n2＝3，故双曲线C：x2－ ＝1，则双曲线在点P处的切线方
程为 x－ y＝1，即y＝ x－ ，故k＝ .
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4. （2025·四川泸州三模）已知点M（4，4）在抛物线C：y2＝2px（p＞
0）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则｜MN｜＝
（ ）
A. B.
C. D.
√
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解析： 将点M（4，4）代入抛物线方程y2＝2px，
可得16＝2p×4，解得p＝2，所以抛物线C的方程为
y2＝4x，所以F（1，0），准线方程为x＝－1，所以
直线MN的斜率k＝ ＝ ，所以直线MN的方程为y
＝ （x－1），令x＝－1，得y＝－ ，所以N（－1，－ ），所以｜MN｜＝ ＝ .
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5. 已知F1为椭圆 ＋ ＝1的左焦点，过F1作倾斜角为 的直线与椭圆交
于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A. B.
C. D. 3
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解析： 如图，因为直线AB的倾斜角为 ，所以斜率为
，又直线AB过点F1（－ ，0），所以直线AB：y＝
（x＋ ），联立 消去x并整理得
11y2－12y－36＝0，Δ＝144＋4×11×36＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝ ，y1y2＝－ ，所以｜y1－y2｜＝ ＝ ＝ ，所以S△AOB＝ ·｜OF1｜·｜y1－y2｜＝ × × ＝ .
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6. （2025·陕西安康模拟）已知双曲线C：x2－ ＝1，O为坐标原点，若
直线y＝x＋2与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，则△OAB内切
圆的半径等于（ ）
A. －1 B. 2－
C. 2－ D. －1
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解析： 双曲线C：x2－ ＝1的渐近线方程为y＝± x＝± x，联立
方程 解得 同理联立 解得
不妨设A（ ＋1，3＋ ），B（1－ ，3－ ），
则｜OA｜＝2（ ＋1），｜OB｜＝2（ －1），｜AB｜＝2 ，点
O到直线y＝x＋2的距离d＝ ＝ ，设△OAB内切圆的半径为r，则有
S△OAB＝ ｜AB｜·d＝ （｜OA｜＋｜OB｜＋｜AB｜）r，即2 ×
＝[2（ ＋1）＋2（ －1）＋2 ]r，解得r＝2－ .故选C.
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二、多项选择题（每小题6分，共12分）
7. 设F1，F2为双曲线C：x2－ ＝1（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线
交双曲线C的右支于P，Q两点，直线l： x－y＝0为双曲线C的一条
渐近线，则（ ）
A. b＝
B. 弦｜PQ｜的最小值为6
C. 存在点P，使得｜PF1｜＝3
D. 点P到直线m： x－y＋2＝0距离的最小值为1
√
√
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解析： 由题知，a＝1，渐近线 x－y＝0 y＝ x ＝ b＝
，c＝2，故A正确；｜PQ｜为双曲线右支上的焦点弦，则其为通径，
即与x轴垂直时最短，｜PQ｜min＝ ＝2×3＝6，故B正确；根据双曲线
定义知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a ｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜≥2a＋c－a＝
a＋c＝1＋2＝3，∴当P为双曲线右顶点（1，0）时，｜PF1｜取最小值
3，但此时F2P与双曲线的右支没有两个交点，故C错误；∵直线m和双曲
线的渐近线l平行，故双曲线上点P到直线m的距离没有最小值，故D错
误.故选A、B.
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8. （2025·山东聊城一模）设动直线l：y＝kx－k＋2与抛物线C：x2＝2y
相交于A，B两点，分别过A，B作C的切线，设两切线相交于点P，则
（ ）
A. 直线l经过一定点
B. 抛物线C的焦点为（ ，0）
C. 点P到坐标原点的距离不小于
D. △PAB的面积的最小值为3
√
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解析： 对于A，l：y＝kx－k＋2化简为k（x－1）＋2－y＝0，无
论k为何值时，令2－y＝0，x－1＝0，可得定点为（1，2），故A正确；
对于B，C：x2＝2y的焦点在y轴上且2p＝2，所以 ＝ ，所以抛物线C
的焦点为（0， ），故B错误；对于C，将l：y＝kx－k＋2与抛物线方程联立有x2－2kx＋2k－4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），有x1＋x2＝2k，x1x2＝2k－4，由y＝ y'＝x，所以PA，PB的斜率分别为x1，x2，
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又因为y1＝ ，y2＝ ，则两切线PA：y＝x1x－ ，PB：y＝x2x－ ，联立两直线方程解得x＝ ＝k，y＝ ＝k－2，所以P（k，k－2），点P到坐标原点的距离为 ＝ ＝ ≥ ，当k＝1时点P到坐标原点的最小距离为 ，故C正确；对于D，P到l的距离为d＝ ，｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝
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2 · ，所以S△PAB＝ d｜AB｜＝｜k2－2k＋4｜ ＝（ ）3，当k＝1时（k2－2k＋4）min＝3，此时S△PAB取最小值3 ，故D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（每小题5分，共10分）
9. （2024·北京高考13题）若直线y＝k（x－3）与双曲线 －y2＝1只有
一个公共点，则k的一个取值为 .
解析：由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝± x，直线y＝k（x－
3）过定点（3，0）.因为点（3，0）在双曲线内，所以要使过该点的直线
与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝
± .
（或－ ）
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10. 已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为2，F1，
F2分别为其左、右焦点，P是E上位于第二象限内的点，过点P作E的切
线交直线x＝2于点Q，则直线PF2与直线QF1的斜率之积为 .
解析：∵e＝ ＝ ，2c＝2，∴c＝1，a＝ ，b＝1，
∴椭圆E的方程为 ＋y2＝1，F1（－1，0），F2（1，
0）.设P（x0，y0）（－ ＜x0＜0，y0＞0），则过点
P的椭圆的切线方程为 ＋y0y＝1，于是Q（2， ），∴ ＝ ， ＝ ，∴ · ＝－ .
－
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四、解答题（共28分）
11. （13分）（2025·浙江杭州一模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的
焦点为F，抛物线C上点M（2，y0）满足｜MF｜＝3.
（1）求抛物线C的方程；
解： 由｜MF｜＝xM＋ ＝3，可得p＝2，所以抛物线C的方程为y2
＝4x.
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（2）设点D（－1，0），过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：x
＝1是∠AFB的平分线.
解： 证明：根据题意，直线AB斜率不为0，设其方程为：x＝my－
1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得y2－4my＋4＝0，由Δ＝16m2－16＞0，可得：m＞1或
m＜－1，由根与系数的关系得：y1＋y2＝4m，y1y2＝4.
则kFA＋kFB＝ ＋ ＝ ＝
＝ ＝ ＝
0，即直线FA与直线FB的倾斜角互补，所以x＝1是∠AFB的平分线.
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12. （15分）（2025·广东惠州第二次调研）已知双曲线C：x2－y2＝1及直
线l：y＝kx－1.
（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
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解： 由题意知，直线l与双曲线C有两个不同的交点，则方程组
有两组不同的实数根，
消去y并整理得（1－k2）x2＋2kx－2＝0，
由 解得－ ＜k＜ 且
k≠±1，
故双曲线C与直线l有两个不同的交点时，k的取值范围是（－ ，－1）
∪（－1，1）∪（1， ）.
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（2）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为 ，求
实数k的值.
解： 设A（x1，y1），B（x2，y2），
由（1）知双曲线C与直线l的方程联立消元后所得的方程为（1－k2）x2＋
2kx－2＝0，当－ ＜k＜ 且k≠±1时，二者有两个不同的交点.
由根与系数的关系得，x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ ，
则｜AB｜＝ ｜x2－x1｜
＝ ·
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＝ ·
＝ · .
又点O到直线l的距离d＝ ，
所以S△OAB＝ ｜AB｜·d＝ ＝ ，
解得k＝0或k＝± ，又－ ＜k＜ 且k≠±1，所以k＝0或k＝± ，
所以当△OAB的面积为 时，实数k的值为0或 或－ .
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【高考新风向】（13题5分，14题6分，共11分）
13. 〔创新定义〕蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互
垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆C：
＋ ＝1的焦点在x轴上，A，B为椭圆上任意两点，动点P在直线x－
y－6＝0上.若∠APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率
的取值范围为（ ）
A. （0， ） B. （0， ）
√
C. （ ，1） D. （ ，1）
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解析： 因为椭圆C的焦点在x轴上，所以m＞3，
又直线x＝± ，y＝± 都与椭圆 ＋ ＝1相
切，因此直线x＝± ，y＝± 所围成矩形的外
接圆x2＋y2＝3＋m为椭圆 ＋ ＝1的蒙日圆，如
图，由A，B为椭圆 ＋ ＝1上任意两个动点，且∠APB恒为锐角，得点P在圆x2＋y2＝3＋m外，又动点P在直线x－ y－6＝0上，因此直线x－ y－6＝0与圆x2＋y2＝3＋m相离，即 ＞ ，得m＜9，得e2＝ ＝1－ ∈（0， ），又0＜e＜1，所以0＜e＜ ，所以椭圆C的离心率的取值范围为（0， ）.故选B.
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14. 〔创新设问〕〔多选〕将曲线C：y＝ ＋ 经过旋转可得到双曲
线E： － ＝1，若直线y＝m与C只有一个公共点，与E交于A，B两
点，则（ ）
A. m＝2 B. a＝2
C. b＝2 D. ｜AB｜＝2
√
√
解析： 对于A，若直线y＝m与C：y＝ ＋ 只有一个公共点，
由对勾函数性质可得m＝±2 ，故A错误；对于B、C，由题意将曲线C：
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y＝ ＋ 夹在中间的两条渐近线方程为y＝ x，x＝0，所以这两条渐近线所形成的那个锐角的一半为θ＝ ＝ ，曲线C：y＝ ＋ 的两条渐近线y＝ x，x＝0的中间那条直线为y＝ x，联立y＝ x以及C：y＝ ＋ ，解得 或 由旋转的性质可得， ＝tan θ＝ ，2a＝2 ＝4 ，解得a＝2 ，b＝2，故B、C正确；对于D，要求｜AB｜，由双曲线的对称性可知，只需联立y＝2 与E： － ＝1，解得 或 即｜AB｜＝12，故D错误.故选B、C.
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THANKS
演示完毕 感谢观看
