第18讲 范围、最值问题
（时间：45分钟，满分：68分）
一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1.已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，点F，A为椭圆＋＝1的右焦点与上顶点，则∠PFA的最小值为（ ）
A.15° B.30°
C.45° D.75°
2.（2025·上海高考15题）已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2－y2＝1（x≥1，y≥0）上，则△ABC的面积（ ）
A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值
C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值
二、多项选择题（6分）
3.（2025·山东济宁一模）若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P作圆（x－3）2＋y2＝1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）
A.若·＝0，则△PF1F2的面积为9
B.若Q为圆（x－3）2＋y2＝1上的一动点，则｜PF2｜＋｜PQ｜的最小值为3
C.四边形PAF2B面积的最小值为
D.·的最小值为2－3
三、填空题（5分）
4.（2025·海南海口二模）椭圆＋＝1上的点到直线4x－5y＋40＝0的最大距离是 .
四、解答题（共47分）
5.（15分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为4.
（1）求C的方程；
（2）若△F1AB的面积为，求l1的方程；
（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求｜MN｜－｜AB｜的最大值.
6.（15分）如图，已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为A'，与抛物线交于点P，已知AA'＝4，AF⊥PF，∠FAP＝30°.
（1）求p的值；
（2）斜率为k（k＞0）的直线过点D（0，－4），且与曲线C交于不同的两点M，N，若存在λ∈（4，＋∞），使得＝λ，求实数k的取值范围.
7.（17分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点E（，）（其中c＝），且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中点，Q为直线x＝上一点，且AP∥OQ，过点Q作QN⊥OM于点N，求△ABN面积的最大值.
第18讲 范围、最值问题
1.A 由题意知，F（2，0），A（0，2），且圆在椭圆内，当FP与圆相切且P在第一象限内时，∠PFA取得最小值，此时∠OFP＝30°，∠OFA＝45°，所以∠PFA＝∠OFA－∠OFP＝45°－30°＝15°，所以∠PFA的最小值为15°.故选A.
2.A 设曲线上一点为（a，b），则a2－b2＝1，则a＝，kAB＝＝1，AB的方程为：y－1＝x，即x－y＋1＝0，根据点到直线的距离公式，（a，b）到AB的距离为：＝＝，设f（b）＝－b＝，由于b≥0，显然f（b）关于b单调递减，f（b）max＝f（0），无最小值，即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值，又AB一定，故面积有最大值，无最小值.故选A.
3.BC 圆（x－3）2＋y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点为（±3，0），对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得＝＝＝8，故A错误；对于B，由双曲线的定义可得｜PF2｜＋｜PQ｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜－2≥5－2＝3，当P，F1，Q三点共线时取等号，故B正确；对于C，＝2＝2××｜PA｜×1，所以当｜PA｜最小时，四边形的面积最小，由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，｜PA｜最小，所以｜PA｜＝＝，所以四边形PAF2B面积的最小值为，故C正确；对于D，·＝｜｜2cos 2∠APF2＝（｜PF2｜2－1）（1－2sin2∠APF2）＝（｜PF2｜2－1）（1－2）＝｜PF2｜2＋－3≥2－3＝2－3，当｜PF2｜2＝时取等号，但｜PF2｜≥2，所以取不到等号，故D错误.故选B、C.
4. 解析：不妨设P（5cos α，3sin α），显然该点满足椭圆方程＋＝1，则该点到直线的距离为d＝＝｜5cos（α＋φ）＋8｜，其中tan φ＝，显然d≤×（5＋8）＝.
5.解：（1）设椭圆的半焦距为c（c＞0），由题意知2c＝2，所以c＝1，
△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝4，所以a＝，
所以b2＝a2－c2＝1，
故C的方程为＋y2＝1.
（2）易知l1的斜率不为0，设l1：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得（m2＋2）y2＋2my－1＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
所以｜y1－y2｜＝＝，
由＝｜F1F2｜｜y1－y2｜＝＝，解得m＝±1，
所以l1的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
（3）由（2）可知｜AB｜＝｜y1－y2｜＝＝2（1－），
因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，
得｜MN｜＝2（1－）.
所以｜MN｜－｜AB｜＝2（－）＝＝≤＝，
当且仅当m＝±1时，等号成立，所以｜MN｜－｜AB｜的最大值为.
6.解：（1）因为AF⊥PF，∠FAP＝30°，则在Rt△FAP中，｜PA｜＝2｜PF｜，
由抛物线的定义得，｜AA'｜＝｜AP｜＋｜PA'｜＝｜AP｜＋｜PF｜＝3｜PF｜，
故3｜PF｜＝4，则｜PF｜＝，
即｜PA'｜＝，
设P（m，n），则m＋＝，解得m＝－，
过点P作PE⊥OF于点E，
因为∠FAP＝30°，所以∠APF＝60°，
因为AP∥OF，所以∠PFO＝∠APF＝60°，
故｜EF｜＝｜PF｜＝，｜OE｜＝｜OF｜－｜EF｜＝－，
所以－＝－，解得p＝2.
（2）由（1）可知抛物线方程为：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：y＝kx－4，联立y2＝4x，整理得：k2x2－（8k＋4）x＋16＝0，
因为k＞0，所以Δ＝（8k＋4）2－64k2＝64k＋16＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
因为＝λ，则（x1，y1＋4）＝λ（x2，y2＋4），故λ＝，
故＋＋2＝＝＝＝4＋＋ （*），
将λ＝代入（*）式得λ＋＝＋＋2，
因为存在λ∈（4，＋∞），使得＝λ，
所以有＋＋2＝λ＋对λ∈（4，＋∞）有解，
而λ＋＞，所以＋＋2＞，
解得－＜k＜0，或0＜k＜2，
因为k＞0，所以0＜k＜2，
故实数k的取值范围为（0，2）.
7.解：（1）由双曲线C：－＝1过点E（，），得－＝1，
双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，
则双曲线C上的点（x'，y'）到两条渐近线的距离之积为·＝＝，
于是－＝－＝1，解得a2＝9，则＝，而c2＝a2＋b2，解得b2＝16，c2＝25，
所以双曲线C的标准方程为－＝1.
（2）由（1）知A（－3，0），B（3，0），显然直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y＝k（x＋3），k≠0，
由消去y并整理得（16－9k2）x2－54k2x－81k2－144＝0，显然16－9k2≠0，
设P（x1，y1），x1≠±3，则－3x1＝，解得x1＝，且y1＝，
于是线段AP的中点M（，），直线OM的斜率kOM＝，
由OM⊥QN，得直线QN的斜率kQN＝－k，而AP∥OQ，直线OQ的方程为y＝kx，则点Q（，k），
于是直线QN的方程为y＝－（x－）＋k，即y＝－（x－5），则直线QN过定点F（5，0），
因此点N在以OF为直径的圆上，该圆的圆心为（，0），半径为，
则点N到直线AB的最大距离为，此时点N的坐标为（，）或（，－），
而点N在直线OM上，即kOM＝＝1或kOM＝＝－1，得k＝或k＝－，满足k2≠，
所以点N到直线AB的距离的最大值为，△ABN面积的最大值为×6×＝.
1 / 2第18讲 范围、最值问题
【备考指南】 解析几何中的范围与最值问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.
1.建立函数关系求最值：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数关系再求最值.
1.（2025·北京市第二中学二模）过点（2，0）的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若M点的坐标为（－1，0），则｜MA｜2＋｜MB｜2的最小值为（ ）
A.16 B.17
C.32 D.34
2.构造不等关系求范围：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点分别为A，B，右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E，若直线AB的斜率小于，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率比值的取值范围为（ ）
A.（，） B.（，）
C.（，） D.（，1）
3.利用几何关系求最值（范围）：若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
3.若曲线Γ：－y2＝1（x＞0）的右顶点为A，若对线段OA上任意一点P（端点除外），在Γ上存在关于x轴对称的两点Q，R，使得△PQR为等边三角形，则正数a的取值范围是 .
【思维建模】 圆锥曲线中范围与最值问题的解题思路
【例1】 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）经过点A（－2，0），离心率为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）直线l过点D（3，0）且与双曲线C交于两点P，Q（异于点A）.过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.
【瓶颈突破】 由动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AR｜·｜AP｜＝3，联想到A，P，R三点共线，用向量表示A，P，R的关系，设＝λ.
【例2】 （2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝.
（1）求C的方程；
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3.
①设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；
②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值.
【瓶颈突破】 ∠ACB为钝角，则·＜0.
【训练1】 已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A（x0，y0）处的切线为l.
（1）求l的方程（用x0，y0表示）；
（2）若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.
【瓶颈突破】 四边形MANB为梯形，AB为梯形MANB的高.
【训练2】 已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.
第18讲 范围、最值问题
【基础·回扣】
1.D 2.C 3.（0，]
【典例·讲解】
【例1】 解：（1）令双曲线半焦距为c，依题意，a＝2，＝，
由c2＝a2＋b2，解得b＝4，
则双曲线C的方程为－＝1.
（2）设直线AP的方程为y＝k（x＋2），
则直线DM的方程为y＝－（x－3），
由
得点M的纵坐标yM＝.
联立双曲线与直线l，易知直线AP与直线AQ的斜率之积为定值－，
用－替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝，
则S1·S2＝｜yMyN｜＝＝，
而25k2＋≥2＝40，
当且仅当k＝±时取等号，
因此S1·S2≤，
所以S1·S2的最大值为.
【例2】 解：（1）由题可知，A（0，－b），B（a，0），所以解得a2＝9，b2＝1，c2＝8，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
（2）①设＝λ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝3 λ[m2＋（n＋1）2]＝3，所以λ＝，＝λ＝λ（m，n＋1）＝（，），
故点R的坐标为（，）.
②因为kOR＝＝，kOP＝，由kOR＝3kOP，可得＝，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋（n＋4）2＝18（m≠0），
所以点P在以N（0，－4）为圆心，3为半径的圆上（除去两个点），
如图，｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径，
法一 设Q（3cos θ，sin θ），所以｜QN｜2＝（3cos θ）2＋（sin θ＋4）2＝－8sin2θ＋8sin θ＋25＝－8（sin θ－）2＋27≤27，当且仅当sin θ＝时取等号，
所以｜PQ｜max＝＋3＝3＋3.
法二 设Q（xQ，yQ），则＋＝1，
｜QN｜2＝＋（yQ＋4）2＝9－9＋＋8yQ＋16＝－8＋8yQ＋25＝－8（yQ－）2＋27≤27，当且仅当yQ＝时取等号，
故｜PQ｜max＝＋3＝3＋3.
【训练1】 解：（1）抛物线E：x2＝4y即y＝，则y'＝x，
则在A（x0，y0）处切线l的斜率为k＝x0，
所以l：y－y0＝x0（x－x0），
即y＝x0x－y0.
（2）易知F（0，1），B（0，－y0）.
设C（x1，y1），直线AF：y＝kx＋1，
代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，
故x1x0＝－4，y0y1＝＝1，
因为∠ACB为钝角，所以·＜0，
即（－x1）（－x1）＋（1－y1）（－y0－y1）＝－y0－y1＋y1y0＋＜0，即3y1－＋1＋＜0 （*），
因为y1＞0，所以（*）式等价于＋3＋y1－1＜0，即（y1＋1）（y1＋1－）·（y1＋1＋）＜0，
解得0＜y1＜－1，所以y0＞＋1.
故y0的取值范围为（＋1，＋∞）.
【训练2】 解：（1）设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（，），
根据圆与y轴相切，可得＝｜PF｜＝，化简得y2＝4x，
所以C的方程为y2＝4x.
（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝1，
设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜·｜tan θ｜，｜BN｜＝｜BF｜｜tan θ｜，
所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，
因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝，
由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝｜AB｜·（｜AM｜＋｜BN｜）＝＝＝，
设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝＝8（t＋＋），
所以S'（t）＝8（1－－）＝8（）＝8，
当t＞时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜时，S'（t）＜0，S（t）单调递减，
所以当t＝，即｜k｜＝时，面积最小，此时k＝±，
故直线l的方程为y＝±（x－1），即x－y－＝0或x＋y－＝0.
2 / 2(共50张PPT)
第18讲 范围、最值问题
备考指南
解析几何中的范围与最值问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. （2025·北京市第二中学二模）过点（2，0）的直线与抛物线y2＝4x交
于A，B两点，若M点的坐标为（－1，0），则｜MA｜2＋｜MB｜2的最
小值为（ ）
A. 16 B. 17
C. 32 D. 34
√
建立函数关系求最值：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数关系再求最值.
解析： 设直线AB的方程为x＝ty＋2，代入抛物线方程y2＝4x得y2＝
4ty＋8.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4t，y1y2＝－8，∴x1
＋x2＝t（y1＋y2）＋4＝4t2＋4，x1x2＝4，｜MA｜2＋｜MB｜2＝（x1＋
1）2＋ ＋（x2＋1）2＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＋6（x1＋x2）＋2＝
（4t2＋4）2＋6（4t2＋4）－6＝（4t2＋7）2－15≥49－15＝34，当且仅当t
＝0时取等号.
2. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点分别为A，
B，右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E，若直线AB
的斜率小于 ，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率比值
的取值范围为（ ）
A. （ ， ） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ，1）
√
构造不等关系求范围：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
解析： 由已知得，直线AB的方程为y＝ x＋b，
设椭圆的焦距为2c（c＞0），由题意设点E（c，
y0），则y0＝ ＋b，即E（c， ＋b），所以
kOE＝ ＝ ，又kAB＝ ＜ ，所以e＝ ＝ ＞ ，即 ＜e＜1，设直线AB的斜率与直线OE的斜率比值为m，则m＝ ＝ ＝ ＝1－ ，又 ＜e＜1，所以 ＜m＜ .
3. 若曲线Γ： －y2＝1（x＞0）的右顶点为A，若对线段OA上任意一点
P（端点除外），在Γ上存在关于x轴对称的两点Q，R，使得△PQR为等
边三角形，则正数a的取值范围是 .
（0， ]
利用几何关系求最值（范围）：若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.
解析：由任意点P在线段OA上（端点除外），在Γ上存在
关于x轴对称的两点Q，R，使得△PQR为等边三角形，
即存在点Q使得∠QPx＝30°，所以存在点Q使得∠Qox
＜30°，由双曲线Γ： －y2＝1（x＞0）的其中一条渐近
线方程为y＝ x，则满足y＝ x的斜率大于或等于 ，即 ≥ ，所以a≤ ，又由a＞0，所以实数a的取值范围为（0， ].
【思维建模】 圆锥曲线中范围与最值问题的解题思路
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例1】 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）经过点A（－2，
0），离心率为 .
（1）求双曲线C的方程；
解： 令双曲线半焦距为c，依题意，a＝2， ＝ ，
由c2＝a2＋b2，解得b＝4，
则双曲线C的方程为 － ＝1.
（2）直线l过点D（3，0）且与双曲线C交于两点P，Q（异于点A）.过
点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，
△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.
解： 设直线AP的方程为y＝k（x＋2），
则直线DM的方程为y＝－ （x－3），
由 得点M的纵坐标yM＝ .
联立双曲线与直线l，易知直线AP与直线AQ的斜率之积为
定值－ ，
用－ 替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝ ，
则S1·S2＝ ｜yMyN｜＝ ＝ ，
而25k2＋ ≥2 ＝40，
当且仅当k＝± 时取等号，因此S1·S2≤ ，
所以S1·S2的最大值为 .
【例2】 （2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的
离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝ .
（1）求C的方程；
【瓶颈突破】 由动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AR｜·｜AP｜＝3，联想到A，P，R三点共线，用向量表示A，P，R的关系，设 ＝λ .
解： 由题可知，A（0，－b），B（a，0），所以
解得a2＝9，b2＝1，c2＝8，故椭圆C的方程为 ＋y2
＝1.
（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜
＝3.
①设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；
②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的
3倍，求｜PQ｜的最大值.
解： ①设 ＝λ ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝
3 λ[m2＋（n＋1）2]＝3，所以λ＝ ， ＝
λ ＝λ（m，n＋1）＝（ ，
），故点R的坐标为（ ， ）.
②因为kOR＝ ＝ ，kOP＝ ，由kOR＝
3kOP，可得 ＝ ，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即
m2＋（n＋4）2＝18（m≠0），
所以点P在以N（0，－4）为圆心，3 为半径的圆上（除
去两个点），
如图，｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径，
法一 设Q（3 cos θ， sin θ），所以｜QN｜2＝（3 cos θ）2＋（ sin θ
＋4）2＝－8 sin 2θ＋8 sin θ＋25＝－8（ sin θ－ ）2＋27≤27，当且仅
当 sin θ＝ 时取等号，
所以｜PQ｜max＝ ＋3 ＝3 ＋3 .
法二 设Q（xQ，yQ），则 ＋ ＝1，
｜QN｜2＝ ＋（yQ＋4）2＝9－9 ＋ ＋8yQ＋16＝－8 ＋8yQ＋25
＝－8（yQ－ ）2＋27≤27，当且仅当yQ＝ 时取等号，
故｜PQ｜max＝ ＋3 ＝3 ＋3 .
【训练1】 已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A（x0，
y0）处的切线为l.
（1）求l的方程（用x0，y0表示）；
解： 抛物线E：x2＝4y即y＝ ，则y'＝ x，
则在A（x0，y0）处切线l的斜率为k＝ x0，
所以l：y－y0＝ x0（x－x0），即y＝ x0x－y0.
（2）若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝
角，求y0的取值范围.
解： 易知F（0，1），B（0，－y0）.
设C（x1，y1），直线AF：y＝kx＋1，
代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，
故x1x0＝－4，y0y1＝ ＝1，
因为∠ACB为钝角，所以 · ＜0，
即（－x1）（－x1）＋（1－y1）（－y0－y1）＝ －y0－y1＋y1y0＋ ＜
0，即3y1－ ＋1＋ ＜0 （*），
【瓶颈突破】 ∠ACB为钝角，则 · ＜0.
因为y1＞0，所以（*）式等价于 ＋3 ＋y1－1＜0，即（y1＋1）（y1＋
1－ ）·（y1＋1＋ ）＜0，
解得0＜y1＜ －1，所以y0＞ ＋1.
故y0的取值范围为（ ＋1，＋∞）.
【训练2】 已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y
轴相切，点P的轨迹记为C.
（1）求C的方程；
解： 设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（ ， ），
根据圆与y轴相切，可得｜ ｜＝ ｜PF｜＝ ，化简
得y2＝4x，
所以C的方程为y2＝4x.
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴
于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N. 当四边形MANB的面积最
小时，求l的方程.
【瓶颈突破】 四边形MANB为梯形，AB为梯形MANB的高.
解： 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－
1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝1，
设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜＝｜
BF｜｜tan θ｜，
所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜
AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，
因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝ ＋2＝ ，
由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝ ｜AB｜·（｜AM｜＋｜
BN｜）＝ ＝ ＝ ，
设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝ ＝8（t＋ ＋ ），
所以S'（t）＝8（1－ － ）＝8（ ）＝8 ，
当t＞ 时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜ 时，S'（t）＜
0，S（t）单调递减，
所以当t＝ ，即｜k｜＝ 时，面积最小，此时k＝± ，
故直线l的方程为y＝± （x－1），
即 x－y－ ＝0或 x＋y－ ＝0.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：68分）
一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1. 已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，点F，A为椭圆 ＋ ＝1的右焦点与
上顶点，则∠PFA的最小值为（ ）
A. 15° B. 30°
C. 45° D. 75°
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√
解析： 由题意知，F（2，0），A（0，2），且圆在椭圆内，当FP与
圆相切且P在第一象限内时，∠PFA取得最小值，此时∠OFP＝30°，
∠OFA＝45°，所以∠PFA＝∠OFA－∠OFP＝45°－30°＝15°，所以
∠PFA的最小值为15°.故选A.
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2. （2025·上海高考15题）已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2－y2
＝1（x≥1，y≥0）上，则△ABC的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值
B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值
D. 既没有最大值，也没有最小值
√
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解析： 设曲线上一点为（a，b），则a2－b2＝1，则a＝ ，
kAB＝ ＝1，AB的方程为：y－1＝x，即x－y＋1＝0，根据点到直线的
距离公式，（a，b）到AB的距离为： ＝ ＝
，设f（b）＝ －b＝ ，由于b≥0，显然f
（b）关于b单调递减，f（b）max＝f（0），无最小值，即△ABC中，
AB边上的高有最大值，无最小值，又AB一定，故面积有最大值，无最小
值.故选A.
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二、多项选择题（6分）
3. （2025·山东济宁一模）若双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点分别为
F1，F2，过C的右支上一点P作圆（x－3）2＋y2＝1的切线，切点为A，
B，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 · ＝0，则△PF1F2的面积为9
B. 若Q为圆（x－3）2＋y2＝1上的一动点，则｜PF2｜＋｜PQ｜的最小
值为3
C. 四边形PAF2B面积的最小值为
D. · 的最小值为2 －3
√
√
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解析： 圆（x－3）2＋y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的
焦点为（±3，0），对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得
＝ ＝ ＝8，故A错误；对于B，由双曲线的定义可得｜
PF2｜＋｜PQ｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜－2≥5－2＝3，当P，F1，Q三点共
线时取等号，故B正确；对于C， ＝2 ＝2× ×｜PA｜×1，
所以当｜PA｜最小时，四边形的面积最小，由双曲线的性质可得当点P位
于右顶点时，｜PA｜最小，所以｜PA｜＝ ＝ ，所以四边形
PAF2B面积的最小值为 ，故C正确；
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对于D， · ＝｜ ｜2 cos 2∠APF2＝（｜PF2｜2－1）（1－2 sin
2∠APF2）＝（｜PF2｜2－1）（1－2 ）＝｜PF2｜2＋ －
3≥2 －3＝2 －3，当｜PF2｜2＝ 时取等号，
但｜PF2｜≥2，所以取不到等号，故D错误.故选B、C.
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三、填空题（5分）
4. （2025·海南海口二模）椭圆 ＋ ＝1上的点到直线4x－5y＋40＝0的
最大距离是 .
解析：不妨设P（5 cos α，3 sin α），显然该点满足椭圆方程 ＋ ＝
1，则该点到直线的距离为d＝ ＝ ｜5 cos （α＋
φ）＋8｜，其中tan φ＝ ，显然d≤ ×（5＋8）＝ .
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四、解答题（共47分）
5. （15分）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，且｜F1F2｜＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，
B两点，△F1AB的周长为4 .
（1）求C的方程；
解： 设椭圆的半焦距为c（c＞0），由题意知2c＝2，所以c＝1，
△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝4 ，
所以a＝ ，
所以b2＝a2－c2＝1，故C的方程为 ＋y2＝1.
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（2）若△F1AB的面积为 ，求l1的方程；
解： 易知l1的斜率不为0，设l1：x＝my＋1，A（x1，y1），B
（x2，y2），
联立 得（m2＋2）y2＋2my－1＝0，
所以y1＋y2＝ ，y1y2＝ .
所以｜y1－y2｜＝ ＝ ，
由 ＝ ｜F1F2｜｜y1－y2｜＝ ＝ ，解得m＝±1，
所以l1的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
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（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求｜MN｜
－｜AB｜的最大值.
解： 由（2）可知｜AB｜＝ ｜y1－y2｜＝ ＝
2 （1－ ），
因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，
得｜MN｜＝2 （1－ ）.
所以｜MN｜－｜AB｜＝2 （ － ）＝ ＝
≤ ＝ ，
当且仅当m＝±1时，等号成立，所以｜MN｜－｜AB｜的最大值为 .
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6. （15分）如图，已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为A'，与抛物线交于点P，已知AA'＝4，AF⊥PF，∠FAP＝30°.
（1）求p的值；
解： 因为AF⊥PF，∠FAP＝30°，则在Rt△FAP
中，｜PA｜＝2｜PF｜，
由抛物线的定义得，｜AA'｜＝｜AP｜＋｜PA'｜＝｜
AP｜＋｜PF｜＝3｜PF｜，
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故3｜PF｜＝4，则｜PF｜＝ ，即｜PA'｜＝ ，
设P（m，n），则m＋ ＝ ，解得m＝ － ，
过点P作PE⊥OF于点E，
因为∠FAP＝30°，所以∠APF＝60°，
因为AP∥OF，所以∠PFO＝∠APF＝60°，
故｜EF｜＝ ｜PF｜＝ ，｜OE｜＝｜OF｜－｜
EF｜＝ － ，所以 － ＝ － ，解得p＝2.
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（2）斜率为k（k＞0）的直线过点D（0，－4），且与曲线C交于不同的
两点M，N，若存在λ∈（4，＋∞），使得 ＝λ ，求实数k的取
值范围.
解： 由（1）可知抛物线方程为：y2＝4x，设M
（x1，y1），N（x2，y2），MN：y＝kx－4，联立y2＝
4x，整理得：k2x2－（8k＋4）x＋16＝0，
因为k＞0，所以Δ＝（8k＋4）2－64k2＝64k＋16＞0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
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因为 ＝λ ，则（x1，y1＋4）＝λ（x2，y2＋4），故λ＝ ，
故 ＋ ＋2＝ ＝ ＝ ＝4＋ ＋ （*），
将λ＝ 代入（*）式得λ＋ ＝ ＋ ＋2，
因为存在λ∈（4，＋∞），使得 ＝λ ，
所以有 ＋ ＋2＝λ＋ 对λ∈（4，＋∞）有解，
而λ＋ ＞ ，所以 ＋ ＋2＞ ，
解得－ ＜k＜0，或0＜k＜2，
因为k＞0，所以0＜k＜2，
故实数k的取值范围为（0，2）.
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7. （17分）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）过点E（ ， ）
（其中c＝ ），且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为
.
（1）求双曲线C的标准方程；
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解： 由双曲线C： － ＝1过点E（ ， ），得 － ＝1，
双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，
则双曲线C上的点（x'，y'）到两条渐近线的距离之积为
· ＝ ＝ ，
于是 － ＝ － ＝1，解得a2＝9，则 ＝ ，而c2＝a2＋
b2，解得b2＝16，c2＝25，
所以双曲线C的标准方程为 － ＝1.
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（2）记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线
C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中点，Q为直线x＝ 上一点，
且AP∥OQ，过点Q作QN⊥OM于点N，求△ABN面积的最大值.
解： 由（1）知A（－3，0），B（3，0），显然
直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y＝k
（x＋3），k≠0，
由 消去y并整理得（16－9k2）x2－54k2x－81k2－144＝0，显然16－9k2≠0，
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设P（x1，y1），x1≠±3，则－3x1＝ ，
解得x1＝ ，且y1＝ ，
于是线段AP的中点M（ ， ），直线OM的斜率kOM＝ ，由OM⊥QN，得直线QN的斜率kQN＝－ k，而AP∥OQ，直线OQ的方程为y＝kx，则点Q（ ， k），
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于是直线QN的方程为y＝－ （x－ ）＋ k，即y＝
－ （x－5），则直线QN过定点F（5，0），
因此点N在以OF为直径的圆上，该圆的圆心为（ ，
0），半径为 ，
则点N到直线AB的最大距离为 ，此时点N的坐标为（ ， ）或（ ，－ ），而点N在直线OM上，即kOM＝ ＝1或kOM＝ ＝－1，得k＝ 或k＝－ ，满足k2≠ ，所以点N到直线AB的距离的最大值为 ，△ABN面积的最大值为 ×6× ＝ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看
