微突破1 体育比赛与闯关
（时间：45分钟，满分：61分）
一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（ ）
A.若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大
B.若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等
C.若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D.若采用五局三胜制，乙先赢了一局，则甲获得冠军的概率小于50％
2.（2025·浙江强基联盟一模）现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为（3，2）的方块：可以通过一次操作变成以下状态中的任何一种：（3，1），（3），（2，2），（1，2）或（1，1，2）.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（ ）
A.（3，2，1） B.（4，2）
C.（2，1，1） D.（5，3）
二、多项选择题（6分）
3.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.下列说法正确的是（ ）
A.k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为
B.k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为
C.在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k
D.随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近
三、解答题（共45分）
4.（15分）某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是，后两关每关通过的概率都是.
（1）求该人获得奖金的概率；
（2）设该人通过的关数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
5.（15分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为，，.每场比赛结果相互独立.
（1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由；
（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
6.（15分）（2025·北京市第35中学一模）为丰富校园文化生活，学校举办了乒乓球比赛.决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在每局比赛中甲队获胜的概率为p（0＜p＜1），乙队获胜的概率为1－p，每局比赛的结果互不影响.
（1）若p＝，求乙队以2∶0获胜的概率；
（2）若p＝，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
（3）若比赛打满3局的概率记为f（p），请直接写出f（p）的最大值及此时p的值，并解释此时的实际意义.
微突破1 体育比赛与闯关
1.B 对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为，甲以2∶1获胜的概率为×××＝＜，故A错误；对于B，若采用五局三胜制，甲以3∶0获胜的概率为，甲以3∶1获胜的概率为×（）2××＝，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为＋＝，采用五局三胜制甲胜的概率为＋＋×（）2×（）2×＝，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为和，所以采用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为（）3＋（）2××＝＞，故D错误.
2.A 对于选项A，（3，2，1）经过甲操作可以变为（3，2），（3，1），（3，1，1），（2，2，1），（1，2，1）或（1，1，2，1）.对于（3，2），乙操作成（2，2）；对于（3，1），乙操作成（1，1）；对于（3，1，1），乙操作成（1，1，1，1）；对于（2，2，1），乙操作成（2，2）；对于（1，2，1），乙操作成（1，1）；对于（1，1，2，1），乙操作成（1，1，1，1）.此时甲操作后，乙可以采取对称策略，保证自己能拿到最后一个方块，无论如何乙都能赢，所以A正确；对于选项B，甲将（4，2）操作为（2，2），此时乙可以操作为（2），（2，1），（1，2），甲必胜；对于选项C，甲将（2，1，1）操作为（1，1），甲必胜；对于选项D，甲将（5，3）操作为（1，2，3），由选项A知甲必胜.故选A.
3.BCD 对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为××＝，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，乙赢得比赛的概率为·（）4＋·（）4＝，故B正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为2k×＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛的概率为·［1－·（）2k］，故随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近，故D正确.
4.解：（1）设事件Ai为“第i关通过”，事件A为“获得奖金”，
∴P（A）＝P（A1A2A3A4A5）＋P（A1A2A3·A4A5）＋P（A1A2A3A4A5）
＝（）3×（）2＋（）3×××＋（）3×××＝，
故所求概率为.
（2）X的所有取值为0，1，2，3，4，5，
则P（X＝0）＝P（）＝，
P（X＝1）＝P（A1）＝×＝，
P（X＝2）＝P（A1A2）＝××＝，
P（X＝3）＝P（A1A2A3）＝（）3×（）2＝，
P（X＝5）＝P（A）＝，
∴P（X＝4）＝1－[P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＋P（X＝5）]＝.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
∴E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
5.解：（1）记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai，Bi，Ci（i＝1，2，3），每场比赛结果相互独立.丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，记丁三轮比赛两胜一平的事件为D，P（D）＝P（A1A2B3）＋P（A1B2A3）＋P（B1A2A3）＝3×（）2×＝，丁总分7分一定出线，理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.由于小组赛两队出线，所以丁一定出线.
（2）第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁.又丁总分为6分，则丁对战甲、乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，①第二轮中若甲负于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P1＝［（＋）×］×＝；
②第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此时丙、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P2＝（×）×［×（＋）］＝；
③第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线的概率为，丁队出线的概率为P3＝（×）×（×）×＝.
综上，丁以6分出线的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝＝.
6.解：（1）乙队以2∶0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的概率为1－p，因此乙队以2∶0获胜的概率为P（乙队2∶0获胜）＝（1－p）2.
代入p＝，得P（乙队2∶0获胜）＝（1－）2＝（）2＝.
（2）比赛结束时甲队获胜的局数X的所有可能取值为0，1，2.则
P（X＝0）＝（1－p）2，
P（X＝1）＝2p（1－p）2，
P（X＝2）＝p2＋2p2（1－p）＝p2（3－2p）.
因此X的期望为E（X）＝0×P（X＝0）＋1×P（X＝1）＋2×P（X＝2），
代入p＝，得E（X）＝0×＋1×2××（）2＋2×（）2×（3－）＝.
（3）比赛打满3局的概率f（p）表示比赛进行到第3局才分出胜负.
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此f（p）＝2p（1－p）.
将f（p）视为关于p的函数，其最大值出现在p＝处，最大值为f（）＝2××（1－）＝.
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大.
2 / 2微突破1 体育比赛与闯关
【备考指南】 此类问题主要涉及体育比赛或闯关问题中的n局m胜制、连胜制及比分差距制等，考查题型既有选择、填空题也有解答题，难度中等偏上.
1.n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
1.甲、乙两队举行排球比赛，比赛采取五局三胜制，已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲以3∶1获胜的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.连胜制：这种规则的特点为规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有一方达到m场连胜.
2.甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终止，已知甲获胜的概率为，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3.淘汰制：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前（m－1）个阶段均能通关.
3.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.则该选手被淘汰的概率为 .
4.比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
4.甲、乙两人进行5局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为，比赛规则规定领先3局者获胜，则甲获胜的概率为 .
【思维建模】 体育比赛与闯关问题的解题技法
（1）深刻理解题意，确定赛事规则；
（2）善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”；
（3）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再利用对立事件的性质求出所求事件的概率.在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率.
【瓶颈突破】 先确定赛事规则，类似“n局m胜制”，甲校以3∶1获胜，则最后一局甲校必胜，前3局甲校胜2局，再根据具体赛事规则求概率即可.
【例1】 甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局的学校获胜，比赛结束），约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负.按照以往比赛经验，在男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，在女生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为，乙校获胜的概率为，每局比赛结果相互独立.
（1）求甲校以3∶1获胜的概率；
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的分布列及期望.
【瓶颈突破】 赛事规则类似为“比分差距制”，最后一球甲胜，8∶8平后的4球甲胜3球，注意哪位同学发球.
【例2】 乒乓球比赛的规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分，败者得0分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为.如果在一局比赛中，由乙同学先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
【瓶颈突破】 先确定赛事规则，类似“连胜制”，甲在4局以内（含4局）赢得比赛的可能有比赛2局.甲全胜，比赛3局甲第2，3局获胜，比赛4局，甲第1，3，4局胜3种情况.
【训练1】 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.
【瓶颈突破】 比赛规则为“淘汰制”，对于第（1）问，利用独立事件的乘法公式即可得到答案；
对于第（2）问，分别求出B与A在第1，2，3轮对决且胜利的概率，最后相加即可；
对于第（3）问，求出B没有与A对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可.
【训练2】 （2025·湖北武汉二调）有A，B，C，D，E，F，G，H八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军，八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号.已知B～H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为，A运动员与其他运动员对决时，A获胜的概率为，每场对决没有平局，且结果相互独立.
（1）求这八名运动员各自获得冠军的概率；
（2）求B与A对决过且最后获得冠军的概率；
（3）求B与C对决过且最后获得冠军的概率.
微突破1 体育比赛与闯关
【基础·回扣】
1.A 2.B 3. 4.
【典例·讲解】
【例1】 解：（1）甲校以3∶1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲校全胜，第三局比赛中甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为P1＝（）2×（1－）×＝；
②前两局男排比赛中甲校1胜1负，第三局比赛中甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为P2＝××（1－）××＝.
所以甲校以3∶1获胜的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，则ξ的所有可能取值为1，2，3，
P（ξ＝1）＝（）2×＋（）2×＝，
P（ξ＝2）＝＋［××××＋（）2××］＝，
P（ξ＝3）＝1－P（ξ＝1）－P（ξ＝2）＝，
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＝.
【例2】 解：（1）甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝×（）2×（）2＋（）2××＝.
（2）设发球3次后甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（）2×＝，
P（X＝1）＝×（）2×＋（）2×＝，
P（X＝2）＝×（）2×＋（）2×＝，
P（X＝3）＝（）2×＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【训练1】 解：（1）设事件Ai＝“甲在第i局获胜”，事件A＝“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，所以P（A）＝P（A1A2）＋P（A2A3）＋P（A1A3A4）＝×＋××＋×××＝，故所求概率为.
（2）X的可能取值为2，3，4，5，则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P（）＝（）2＋（）2＝，P（X＝3）＝P（A2A3）＋P（A1）＝×（）2＋×（）2＝＝，
P（X＝4）＝P（A1A3A4）＋P（A2）＝××（）2＋××（）2＝，
P（X＝5）＝P（A1A3）＋P（A2·A4）＝×××＋×××＝，
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
所以E（X）＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
【训练2】 解：（1）A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为（）3＝.
由题意，B～H七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1.
所以B～H七名运动员各自夺冠的概率均为×（1－）＝.
（2）记事件B＝“B获得冠军”，事件A＝“B与A对决过”，事件Ai＝“B与A在第i轮对决”，i＝1，2，3.
不妨设A在①号位，则B在第1，2，3轮能与A对决时其位置编号分别为②，③④，⑤⑥⑦⑧.
P（AB）＝P（（A1＋A2＋A3）B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P（A3B），
P（A1B）＝×（1－）××＝，
P（A2B）＝×××（1－）×＝，
P（A3B）＝×××××（1－）＝，
所以P（AB）＝＋＋＝，
故所求概率为.
（3）记事件C＝“B与C对决过”.
B没有与A对决过且最后获得冠军的概率为P（B）＝P（B）－P（AB）＝－＝.
P（BC）＝P（（A＋）BC）＝P（ABC）＋P（BC）＝P（AB）P（C｜AB）＋P（B）·P（C｜B）.
由题意，C～H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运动员对决.
所以P（C｜AB）＝，P（C｜B）＝，代入得P（BC）＝×＋×＝，故所求概率为.
1 / 2(共47张PPT)
微突破1 体育比赛与闯关
备考指南
此类问题主要涉及体育比赛或闯关问题中的n局m胜制、连胜制及比分差距制等，考查题型既有选择、填空题也有解答题，难度中等偏上.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 甲、乙两队举行排球比赛，比赛采取五局三胜制，已知每局比赛甲获胜
的概率为 ，则甲以3∶1获胜的概率为（ ）
A. B.
C. D.
√
n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛，所以若比赛提前结束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜.
解析： 若比分为3∶1，则第四局甲获胜，前三局的比分为2∶1，所以
所求概率为 （ ）2（ ）× ＝ .
2. 甲、乙两队举行比赛，比赛共有7局，若有一方连胜3局，则比赛立即终
止，已知甲获胜的概率为 ，则甲在第5局终止比赛并获胜的概率为（ ）
A. B.
√
C. D.
连胜制：这种规则的特点为规定某方连胜m场即终止比赛，所以若提前结束比赛，则最后m场某方连胜且之前没有一方达到m场连胜.
解析：若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3，4，5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果.所以所求概率为 ×（ ）3＝ .
3. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一
轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的
概率分别为 ， ， ，且各轮问题能否正确回答互不影响.则该选手被淘
汰的概率为 .
淘汰制：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰.此类问题要注意若达到第m阶段，则意味着前（m－1）个阶段均能通关.
法二 设事件Ai为“选手正确回答第i轮问题”，事件A为“选手被淘
汰”，所以P（A）＝1－P（ ）＝1－P（A1A2A3）＝1－ × × ＝
.
解析：法一 选手在第一轮被淘汰，则P1＝ ，选手在第二轮被淘汰，则
P2＝ × ＝ ，选手在第三轮被淘汰，则P3＝ × × ＝ ，故选手被
淘汰的概率为P＝P1＋P2＋P3＝ .
比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于m.
4. 甲、乙两人进行5局羽毛球比赛（无平局），每局甲获胜的概率均为 ，
比赛规则规定领先3局者获胜，则甲获胜的概率为 .
解析：甲领先3局获胜，则比分只能是3∶0或4∶1.当以3∶0结束比赛甲获
胜的概率为P1＝ × × ＝ ；当以4∶1结束比赛甲获胜则前3局中甲胜2
局，第4，5局甲获胜，故甲获胜的概率为P2＝ （ ）2（ ）·（ ）2＝
，故甲获胜的概率为P＝P1＋P2＝ .
【思维建模】 体育比赛与闯关问题的解题技法
（1）深刻理解题意，确定赛事规则；
（2）善于引入变量表示事件：可用“字母＋变量角标”的形式表示事件
“第几局胜利”；
（3）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对
立事件的概率，再利用对立事件的性质求出所求事件的概率.在处理离散
性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少
的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件的概率.
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例1】 甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3局
的学校获胜，比赛结束），约定比赛规则如下：先进行男生排球比赛，共
比赛两局，后进行女生排球比赛，直到分出胜负.按照以往比赛经验，在
男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 ，乙校获胜的概率为 ，在女生
排球比赛中，每局甲校获胜的概率为 ，乙校获胜的概率为 ，每局比赛结
果相互独立.
【瓶颈突破】 先确定赛事规则，类似“n局m胜制”，甲校以3∶1获胜，则最后一局甲校必胜，前3局甲校胜2局，再根据具体赛事规则求概率即可.
（1）求甲校以3∶1获胜
的概率；
解： 甲校以3∶1获胜的情况有：①前两局男排比赛中甲校全胜，第
三局比赛中甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为P1＝（ ）2×（1－ ）
× ＝ ；
②前两局男排比赛中甲校1胜1负，第三局比赛中甲校胜，第四局比赛甲校
胜，概率为P2＝ × ×（1－ ）× × ＝ .
所以甲校以3∶1获胜的概率为P＝P1＋P2＝ ＋ ＝ .
（2）记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，求ξ的分布列及期望.
解： 记比赛结束时女生比赛的局数为ξ，则ξ的所有可能取值为
1，2，3，
P（ξ＝1）＝（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（ξ＝2）＝ ＋［ × × × × ＋（ ）2× × ］＝ ，
P（ξ＝3）＝1－P（ξ＝1）－P（ξ＝2）＝ ，
所以ξ的分布列为
ξ 1 2 3
P
所以E（ξ）＝1× ＋2× ＋3× ＝ .
【例2】 乒乓球比赛的规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员
发球2次，两者交替，胜者得1分，败者得0分.在一局比赛中，先得11
分的一方为胜方（胜方至少比对方多2分），10平后，先多得2分的一
方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得
1分的概率为 ，乙在一次发球中，得1分的概率为 .如果在一局比赛
中，由乙同学先发球.
（1）甲、乙的比分暂时为8∶8，求最终甲以11∶9赢得比赛的概率；
【瓶颈突破】 赛事规则类似为“比分差距制”，最后一球甲胜，8∶8平后的4球甲胜3球，注意哪位同学发球.
解： 甲以11∶9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在
最后一次获胜，最终甲以11∶9赢得比赛的概率为P＝ ×（ ）2×（ ）
2＋（ ）2× × ＝ .
（2）求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.
解：设发球3次后甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3.
P（X＝0）＝（ ）2× ＝ ，
P（X＝1）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝2）＝ ×（ ）2× ＋（ ）2× ＝ ，
P（X＝3）＝（ ）2× ＝ ，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ .
【训练1】 甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比
赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局比
赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
【瓶颈突破】 先确定赛事规则，类似“连胜制”，甲在4局以内（含4局）赢得比赛的可能有比赛2局.甲全胜，比赛3局甲第2，3局获胜，比赛4局，甲第1，3，4局胜3种情况.
解： 设事件Ai＝“甲在第i局获胜”，事件A＝“甲在4局以内（含4
局）赢得比赛”，所以P（A）＝P（A1A2）＋P（ A2A3）＋P（A1
A3A4）＝ × ＋ × × ＋ × × × ＝ ，故所求概率为 .
（2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望.
解： X的可能取值为2，3，4，5，则P（X＝2）＝P（A1A2）＋P
（ ）＝（ ）2＋（ ）2＝ ，P（X＝3）＝P（ A2A3）＋P
（A1 ）＝ ×（ ）2＋ ×（ ）2＝ ＝ ，
P（X＝4）＝P（A1 A3A4）＋P（ A2 ）＝ × ×（ ）2＋
× ×（ ）2＝ ，
P（X＝5）＝P（A1 A3 ）＋P（ A2 A4）＝ × × × ＋ ×
× × ＝ ，
X 2 3 4 5
P
所以E（X）＝2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝ .
所以X的分布列为
【训练2】 （2025·湖北武汉二调）有A，B，C，D，E，F，G，H八
名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛、半决赛和决赛三轮淘汰制决
定最后的冠军，八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号.
已知B～H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 ，A运动员与
其他运动员对决时，A获胜的概率为 ，每场对决没有平局，且结果相互
独立.
【瓶颈突破】 比赛规则为“淘汰制”，对于第（1）问，利用独立事件的乘法公式即可得到答案；
对于第（2）问，分别求出B与A在第1，2，3轮对决且胜利的概率，最后相加即可；
对于第（3）问，求出B没有与A对决过且最后获得冠军的概率，再利用条件概率和全概率公式计算即可.
（1）求这八名运动员各自获
得冠军的概率；
解： A夺冠即为三轮比赛都获胜，所以A夺冠的概率为（ ）3＝ .
由题意，B～H七名运动员水平相同，且八名运动各自夺冠概率之和为1.
所以B～H七名运动员各自夺冠的概率均为 ×（1－ ）＝ .
（2）求B与A对决过且最后获得冠军的概率；
解： 记事件B＝“B获得冠军”，事件A＝“B与A对决过”，事件
Ai＝“B与A在第i轮对决”，i＝1，2，3.
不妨设A在①号位，则B在第1，2，3轮能与A对决时其位置编号分别为
②，③④，⑤⑥⑦⑧.
P（AB）＝P（（A1＋A2＋A3）B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋P
（A3B），
P（A1B）＝ ×（1－ ）× × ＝ ，
P（A2B）＝ × × ×（1－ ）× ＝ ，
P（A3B）＝ × × × × ×（1－ ）＝ ，
所以P（AB）＝ ＋ ＋ ＝ ，故所求概率为 .
（3）求B与C对决过且最后获得冠军的概率.
解： 记事件C＝“B与C对决过”.
B没有与A对决过且最后获得冠军的概率为P（ B）＝P（B）－P
（AB）＝ － ＝ .
P（BC）＝P（（A＋ ）BC）＝P（ABC）＋P（ BC）＝P（AB）
P（C｜AB）＋P（ B）·P（C｜ B）.
由题意，C～H六名运动员与B对决过的概率相同，B夺冠时共与三名运
动员对决.
所以P（C｜AB）＝ ，P（C｜ B）＝ ，代入得P（BC）＝ ×
＋ × ＝ ，
故所求概率为 .
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：61分）
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一、单项选择题（每小题5分，共10分）
1. 在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛，决赛采用五局三胜
制和三局两胜制其中一种，若每局比赛甲胜乙的概率都为 ，没有和局，
且各局比赛的胜负互不影响，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若采用三局两胜制，甲获得冠军时，比分为2∶1的可能性最大
B. 若采用五局三胜制，甲获得冠军时，比分为3∶0和3∶1的可能性相等
C. 若采用五局三胜制，则比赛对乙更有利
D. 若采用五局三胜制，乙先赢了一局，则甲获得冠军的概率小于50%
√
解析： 对于A，若采用三局两胜制，甲以2∶0获胜的概率为 ，甲以
2∶1获胜的概率为 × × × ＝ ＜ ，故A错误；对于B，若采用五
局三胜制，甲以3∶0获胜的概率为 ，甲以3∶1获胜的概率为 ×（ ）
2× × ＝ ，故B正确；对于C，因为采用三局两胜制甲胜的概率为 ＋
＝ ，采用五局三胜制甲胜的概率为 ＋ ＋ ×（ ）2×（ ）2×
＝ ，所以采用三局两胜制和五局三胜制乙胜的概率分别为 和 ，所以
采用三局两胜制对乙更有利，故C错误；对于D，若采用五局三胜制，乙先赢了一局，甲获得冠军的概率为（ ）3＋ （ ）2× × ＝ ＞ ，故D错误.
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2. （2025·浙江强基联盟一模）现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从
中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次
操作.如图所示，状态为（3，2）的方块：可以通过一次操作变成以下状
态中的任何一种：（3，1），（3），（2，2），（1，2）或（1，1，
2）.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人
获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是
（ ）
A. （3，2，1） B. （4，2）
C. （2，1，1） D. （5，3）
√
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解析： 对于选项A，（3，2，1）经过甲操作可以变为（3，2），（3，
1），（3，1，1），（2，2，1），（1，2，1）或（1，1，2，1）.对于
（3，2），乙操作成（2，2）；对于（3，1），乙操作成（1，1）；对于
（3，1，1），乙操作成（1，1，1，1）；对于（2，2，1），乙操作成
（2，2）；对于（1，2，1），乙操作成（1，1）；对于（1，1，2，
1），乙操作成（1，1，1，1）.此时甲操作后，乙可以采取对称策略，保
证自己能拿到最后一个方块，无论如何乙都能赢，所以A正确；对于选项
B，甲将（4，2）操作为（2，2），此时乙可以操作为（2），（2，1），
（1，2），甲必胜；对于选项C，甲将（2，1，1）操作为（1，1），甲必
胜；对于选项D，甲将（5，3）操作为（1，2，3），由选项A知甲必胜.故
选A.
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二、多项选择题（6分）
3. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛打满2k（k∈N*）局，且每局甲获胜
的概率和乙获胜的概率均为 .若某人获胜的局数大于k，则此人赢得比赛.
下列说法正确的是（ ）
A. k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为
B. k＝2时，甲赢得比赛与乙赢得比赛的概率均为
C. 在2k局比赛中，甲获胜的局数的期望为k
D. 随着k的增大，甲赢得比赛的概率会越来越接近
√
√
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解析： 对于A，k＝1时，甲、乙比赛结果为平局的概率为 ×
× ＝ ，故A错误；对于B，k＝2时，甲赢得比赛的概率为 ·（ ）4＋
·（ ）4＝ ，乙赢得比赛的概率为 ·（ ）4＋ ·（ ）4＝ ，故B
正确；对于C，由二项分布的数学期望公式知，在2k局比赛中，甲获胜的
局数的期望为2k× ＝k，故C正确；对于D，在2k局比赛中，甲赢得比赛
的概率为 ·［1－ ·（ ）2k］，故随着k的增大，甲赢得比赛的概率会
越来越接近 ，故D正确.
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三、解答题（共45分）
4. （15分）某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖
金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开
始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关
通过的概率都是 ，后两关每关通过的概率都是 .
（1）求该人获得奖金的概率；
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解： 设事件Ai为“第i关通过”，事件A为“获得奖金”，
∴P（A）＝P（A1A2A3A4A5）＋P（A1A2A3· A4A5）＋P
（A1A2A3A4 A5）
＝（ ）3×（ ）2＋（ ）3× × × ＋（ ）3× × × ＝ ，
故所求概率为 .
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（2）设该人通过的关数为X，求随机变量X的分布列及数学期望.
解： X的所有取值为0，1，2，3，4，5，
则P（X＝0）＝P（ ）＝ ，
P（X＝1）＝P（A1 ）＝ × ＝ ，
P（X＝2）＝P（A1A2 ）＝ × × ＝ ，
P（X＝3）＝P（A1A2A3 ）＝（ ）3×（ ）2＝ ，
P（X＝5）＝P（A）＝ ，
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∴P（X＝4）＝1－[P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝
3）＋P（X＝5）]＝ .
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
∴E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＝ .
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5. （15分）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比赛分三轮，每
轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一轮 甲VS乙 丙VS丁
第二轮 甲VS丙 乙VS丁
第三轮 甲VS丁 乙VS丙
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规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，
三轮比赛结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排
名前两位的球队出线.假设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、
负、平的概率均为 ，丁的水平较弱，面对其他任意一支球队胜、负、平
的概率都分别为 ， ， .每场比赛结果相互独立.
（1）求丁的总分为7分的概率，判断此时丁能否出线，并说明理由；
解： 记第i轮比赛丁胜、平、负的事件分别为Ai，Bi，Ci（i＝1，
2，3），每场比赛结果相互独立.丁总分为7分，则丁三场比赛两胜一平，
记丁三轮比赛两胜一平的事件为D，P（D）＝P（A1A2B3）＋P
（A1B2A3）＋P（B1A2A3）＝3×（ ）2× ＝ ，丁总分7分一定出线，
理由如下：丁三场比赛中赢两场，这两场丁的对手比分最多6分.由于小组
赛两队出线，所以丁一定出线.
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（2）若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队的积分分别为3，0，
3，0，求丁以6分的成绩出线的概率.
解： 第一轮比赛，甲胜乙，丙胜丁.又丁总分为6分，则丁对战甲、
乙都获胜，此时，乙队总分最多3分，少于丁队总分，①第二轮中若甲负
于丙或平丙时，甲总分最多4分，少于丁队总分，此时甲、乙两队总分少
于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P1＝［（ ＋ ）× ］×
＝ ；
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②第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙平乙或负于乙时，丙总分最多4分，此
时丙、乙两队总分少于丁队总分，丁一定出线，其相应的概率为P2＝（
× ）×［ ×（ ＋ ）］＝ ；
③第二轮中若甲胜丙，第三轮中丙胜乙时，甲、丁、丙队总分均为6分，
此时由抽签确定出线，三队中有两队出线，每队出线的概率为 ，丁队出
线的概率为P3＝（ × ）×（ × ）× ＝ .
综上，丁以6分出线的概率为P1＋P2＋P3＝ ＋ ＋ ＝ ＝ .
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6. （15分）（2025·北京市第35中学一模）为丰富校园文化生活，学校举
办了乒乓球比赛.决赛采用三局二胜制的比赛规则（先赢得2局的队伍获胜
并结束比赛）.已知甲、乙两队进入决赛，且根据以往比赛统计得知，在
每局比赛中甲队获胜的概率为p（0＜p＜1），乙队获胜的概率为1－p，
每局比赛的结果互不影响.
（1）若p＝ ，求乙队以2∶0获胜的概率；
解： 乙队以2∶0获胜意味着乙队在前两局中均获胜.乙队每局获胜的
概率为1－p，因此乙队以2∶0获胜的概率为P（乙队2∶0获胜）＝（1－
p）2.
代入p＝ ，得P（乙队2∶0获胜）＝（1－ ）2＝（ ）2＝ .
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（2）若p＝ ，比赛结束时甲队获胜的局数记为X，求X的期望；
解： 比赛结束时甲队获胜的局数X的所有可能取值为0，1，2.则
P（X＝0）＝（1－p）2，P（X＝1）＝2p（1－p）2，
P（X＝2）＝p2＋2p2（1－p）＝p2（3－2p）.
因此X的期望为E（X）＝0×P（X＝0）＋1×P（X＝1）＋2×P（X
＝2），
代入p＝ ，得E（X）＝0× ＋1×2× ×（ ）2＋2×（ ）2×（3－
）＝ .
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（3）若比赛打满3局的概率记为f（p），请直接写出f（p）的最大值及
此时p的值，并解释此时的实际意义.
解： 比赛打满3局的概率f（p）表示比赛进行到第3局才分出胜负.
这种情况发生当且仅当前两局双方各胜1局，因此f（p）＝2p（1－p）.
将f（p）视为关于p的函数，其最大值出现在p＝ 处，最大值为f（ ）
＝2× ×（1－ ）＝ .
实际意义是当甲、乙两队实力相当时，比赛打满3局的概率最大.
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