1.3.3 完全平方公式的认识同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版数学七年级下册

1.3 乘法公式
第3课时 完全平方公式的认识
一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A．(－2a－1)2＝－4a2－4a＋1 B．(2a＋1)2＝4a2＋1
C．(－a－1)2＝－a2－2a＋1 D．(2a－1)2＝4a2－4a＋1
2．下列运算：①(3x＋y)2＝9x2＋y2；②(a－2b)2＝a2－4b2；③(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2；
④＝x2－2x＋.其中，运算错误的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是( )
A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．b(a－b)＝ab－b2
4．已知a＋＝3，则a2＋的值是(　　)
A．4　　 B．9 　　C．7　　 D．6
5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(　　)
A．＋10xy　　B．＋10xy或－10xy C．＋20xy　　D．＋20xy或－20xy
6．对于任意有理数x，y，现用*定义一种运算：a*b＝a2－b2.根据这个定义，代数式(x＋y)*y可以化简为(　　)
A．xy＋x2　　B．xy－y2 C．x2＋2xy　　D．x2
7．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)
A．3　　 B．4　　 C．5　　　 D．6
8．已知(x－2025)2＋(x－2027)2＝34，则(x－2026)2的值是(　　)
A．4　 　B．8　 　C．12　　 D．16
9．若x满足(x－2026)(2027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　)
A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25
二、填空题
10．计算：
(1)(a＋3)2＝__________________；
(2)(5＋3p)2＝__________________；
(3)(2x－7y)2＝_____________________．
11．若(x－y)2＝(x＋y)2＋a，则a＝____________．
12．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________．
13．已知(3a－m)2＝9a2＋3a＋，则m＝__________．
14．若a，k为整数，且不论x取何值，关于x的整式(x＋a)2和x2＋(k＋2)x＋9的值都相等，则k的值为_______．
15．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1＋S2＝45，则图中阴影部分的面积为______．
16．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
则代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，x的值为_________．
三、解答题
17．利用完全平方公式计算：
(1)(m－2ab)2.
(2)(－3x＋)2.
(3)(a－b2)2；
(4)(－x2－4y)2.
18．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13.求：
(1)a2＋b2的值；
(2)4a2－3ab＋4b2的值．
19．已知a＝x＋20，b＝x＋23，c＝x＋24，求代数式2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值.
20．我们知道，(a－b)2≥0，
由乘法公式，得a2－2ab＋b2≥0，
移项，得a2＋b2≥2ab，
即：当a＝b时，a2＋b2＝2ab；当a≠b时，a2＋b2＞2ab.
(1)由此可知，代数式x2＋≥_______；(填常数)
(2)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整，甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a(其中a＞0，b＞0，a≠b)，则哪个商场提价最多？说明理由．
21．【阅读】求x2＋6x＋11的最小值．
解：x2＋6x＋11＝x2＋6x＋9＋2＝(x＋3)2＋2.
因为(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2＋2的最小值为2，即x2＋6x＋11的最小值为2.
【问题解决】
(1)对于多项式x2＋y2－2x＋2y＋5，当x，y取何值时有最小值？最小值为多少？
(2)若多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求mn的值．
(3)多项式－x2＋10x－36是否有最值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由．
22．阅读下面的材料：
若a＋＝2，则＝a2＋2·a·＋＝4，所以a2＋＝4－2·a·＝4－2＝2，所以a4＋＝－2·a2·＝4－2＝2.
解决下列问题：
(1)若a＋＝n，则a2＋＝________，a4＋＝__________.(用含n的式子表示)
(2)若a＋＝2，下列等式：
①＋＋…＋＝2n；
②＋＋…＋＝2n.
有且仅有一个成立(n为自然数)，请判断，并说明理由．
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参考答案
一、选择题
1．下列计算正确的是( )
A．(－2a－1)2＝－4a2－4a＋1 B．(2a＋1)2＝4a2＋1
C．(－a－1)2＝－a2－2a＋1 D．(2a－1)2＝4a2－4a＋1
【答案】D
2．下列运算：①(3x＋y)2＝9x2＋y2；②(a－2b)2＝a2－4b2；③(－x－y)2＝x2＋2xy＋y2；
④＝x2－2x＋.其中，运算错误的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
3．如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，小颖将阴影部分的面积用两种不同的方法表示，能验证的等式是( )
A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D．b(a－b)＝ab－b2
【答案】A
4．已知a＋＝3，则a2＋的值是(　　)
A．4　　 B．9 　　C．7　　 D．6
【答案】C
5．小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2＋25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是(　　)
A．＋10xy　　B．＋10xy或－10xy C．＋20xy　　D．＋20xy或－20xy
【答案】D
6．对于任意有理数x，y，现用*定义一种运算：a*b＝a2－b2.根据这个定义，代数式(x＋y)*y可以化简为(　　)
A．xy＋x2　　B．xy－y2 C．x2＋2xy　　D．x2
【答案】C
7．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)
A．3　　 B．4　　 C．5　　　 D．6
【答案】B
【解析】因为正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，所以AB2＋AD2＝17.因为长方形ABCD的周长是10，所以AB＋AD＝×10＝5，所以(AB＋AD)2＝25，所以AB2＋AD2＋2AB·AD＝25，所以17＋2AB·AD＝25，所以AB·AD＝4.所以长方形ABCD的面积是4.
8．已知(x－2025)2＋(x－2027)2＝34，则(x－2026)2的值是(　　)
A．4　 　B．8　 　C．12　　 D．16
【答案】D
9．若x满足(x－2026)(2027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　)
A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25
【答案】B
【解析】(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(x－2 026＋2 027－x)2－2(x－2 026)(2 027－x)＝1－2×0.25＝0.5.
二、填空题
10．计算：
(1)(a＋3)2＝__________________；
(2)(5＋3p)2＝__________________；
(3)(2x－7y)2＝_____________________．
【答案】a2＋6a＋9
25＋30p＋9p2
4x2－28xy＋49y2
11．若(x－y)2＝(x＋y)2＋a，则a＝____________．
【答案】－4xy
12．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________．
【答案】－3
13．已知(3a－m)2＝9a2＋3a＋，则m＝__________．
【答案】－
14．若a，k为整数，且不论x取何值，关于x的整式(x＋a)2和x2＋(k＋2)x＋9的值都相等，则k的值为_______．
【答案】－8或4
15．如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1＋S2＝45，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】9
16．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下了《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a＋b)n展开式的系数规律．
则代数式x4－12x3＋54x2－108x＋81的值为1时，x的值为_________．
【答案】4或2
三、解答题
17．利用完全平方公式计算：
(1)(m－2ab)2.
解：原式＝m2－4abm＋4a2b2
(2)(－3x＋)2.
解：原式＝9x2－3x＋
(3)(a－b2)2；
解：原式＝a2－ab2＋b4
(4)(－x2－4y)2.
解：原式＝x4＋8x2y＋16y2
18．已知(a＋b)2＝17，(a－b)2＝13.求：
(1)a2＋b2的值；
(2)4a2－3ab＋4b2的值．
解：(1)因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝17，①
(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13，②
所以①＋②，得2(a2＋b2)＝30.
所以a2＋b2＝15.
(2)①－②，得4ab＝4，
即ab＝1.
所以4a2－3ab＋4b2＝4(a2＋b2)－3ab＝4×15－3×1＝57.
19．已知a＝x＋20，b＝x＋23，c＝x＋24，求代数式2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值.
解：原式＝(a2－2ab＋b2)＋(a2－2ac＋c2)＋(b2－2bc＋c2)＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2.
由题意可得a－b＝－3，a－c＝－4，b－c＝－1，
所以原式＝9＋16＋1＝26.
20．我们知道，(a－b)2≥0，
由乘法公式，得a2－2ab＋b2≥0，
移项，得a2＋b2≥2ab，
即：当a＝b时，a2＋b2＝2ab；当a≠b时，a2＋b2＞2ab.
(1)由此可知，代数式x2＋≥_______；(填常数)
【答案】2
(2)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整，甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a(其中a＞0，b＞0，a≠b)，则哪个商场提价最多？说明理由．
解：(2)设原价为单位“1”，则两次调价后甲商场的价格为(1＋a)(1＋b)，乙商场的价格为，丙商场的价格为(1＋b)(1＋a)，
(1＋a)(1＋b)＝1＋a＋b＋ab，
2＝1＋a＋b＋，
因为a≠b，所以a2＋b2＞2ab.
所以＞＝ab.
所以乙商场提价最多．
21．【阅读】求x2＋6x＋11的最小值．
解：x2＋6x＋11＝x2＋6x＋9＋2＝(x＋3)2＋2.
因为(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2＋2的最小值为2，即x2＋6x＋11的最小值为2.
【问题解决】
(1)对于多项式x2＋y2－2x＋2y＋5，当x，y取何值时有最小值？最小值为多少？
解：x2＋y2－2x＋2y＋5＝x2－2x＋12＋y2＋2y＋12＋
3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3.因为(x－1)2和(y＋1)2的结果都为非负数，所以当x＝1，y＝－1时，(x－1)2＋(y＋1)2＋3的最小值为3，即x2＋y2－2x＋2y＋5的最小值为3.
(2)若多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求mn的值．
解：因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
所以m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
因为(m＋n)2与(n－3)2的值都是非负数，
所以m＋n＝0，n－3＝0.
所以m＝－3，n＝3.所以mn＝－9.
(3)多项式－x2＋10x－36是否有最值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由．
解：有最大值．－x2＋10x－36＝－(x2－10x＋36)＝－(x2－10x＋25＋11)＝－(x－5)2－11.
因为(x－5)2≥0，所以－(x－5)2≤0.
所以－(x－5)2－11≤－11.
所以多项式－x2＋10x－36有最大值，最大值是－11.
22．阅读下面的材料：
若a＋＝2，则＝a2＋2·a·＋＝4，所以a2＋＝4－2·a·＝4－2＝2，所以a4＋＝－2·a2·＝4－2＝2.
解决下列问题：
(1)若a＋＝n，则a2＋＝________，a4＋＝__________.(用含n的式子表示)
【答案】n2－2 n4－4n2＋2
【解析】因为a＋＝n，所以＝n2，则a2＋＝－2·a·＝n2－2，
所以＝(n2－2)2＝n4－4n2＋4，所以a4＋＝－2·a2·＝n4－4n2＋2.
(2)若a＋＝2，下列等式：
①＋＋…＋＝2n；
②＋＋…＋＝2n.
有且仅有一个成立(n为自然数)，请判断，并说明理由．
解：①成立．理由：由(1)得，若a＋＝2，则a2＋＝2，a4＋＝2，所以a2n＋＝2，故＋＋…＋＝2＋2＋…＋2＝2n.
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