1.3.4 完全平方公式的验证与应用同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版数学七年级下册（含答案

1.3 乘法公式
第4课时 完全平方公式的验证与应用
一、选择题
1．与式子(a－b＋c)(－a＋b－c)相等的是( )
A．－(a－b＋c)2 B．c2－(a－b)2 C．(a－b)2－c2 D．c2－a＋b2
2．计算：(－a＋2b)2－(－a－2b)2＝( )
A．－8ab B．－4ab C．8ab D．4ab
3．化简(m－2n)2－(m＋2n)(m－2n)的结果是(　　)
A．8n2－4mn　　B．－4mn C．3n2－2mn　　D．2m2－2mn＋3n2
4．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　)
A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x
5．如图，在长为3m＋2n，宽为3m－2n的长方形铁片上，挖去边长为2(m－n)的小正方形铁片，则剩余部分的面积为( )
A．5m2 B．5m2＋8mn C．5m2－8mn D．5m2＋8mn－8n2
6．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　)
A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x
7．小刚把(2025x＋2022)2展开后得到ax2＋bx＋c，把(2024x＋2023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　)
A．1　　B．－1 C．4049　　D．－4049
二、填空题
8．化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__________．
9．若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为__________．
10．如图，在面积为4a2的正方形中央剪去一个边长为a＋2的小正方形(a>2)，将剩余部分沿虚线剪开并拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为______________．
11．若(x－1)3＝x3＋mx2＋nx－1，则(m＋n)2 026＝__________．
12．若(x＋1)4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，则a－b＋c－d＋e的值为_________．
13．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为________．
三、解答题
14．利用完全平方公式进行计算：
(1)5012；
(2)(19)2.
15．计算：
(1)(1＋a)(a－1)－(a＋3)2；
(2)(x－1)2－x(x－2)；
(3)(y＋x＋6)(y－x＋6).
(4)(x2＋4)2－16x2；
(5)(a－b)2(a＋b)2；
(6)(2x＋y－1)2；
(7)(a＋3b)2－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b)2.
16．先化简，再求值：(1)(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2.
(2)(x－2)2－10x(x－1)＋(3x－1)(3x＋1)，其中x＝－.
(3)［(a＋3b)(3b－a)－(2a－b)2＋5a2］＋a2－4b2，其中a，b的值满足(a－1)2＋|2a－b|＝0.
17．两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未重叠部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为S2.
(1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
(2)若a＋b＝10，ab＝20，求S1＋S2的值.
18．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图①可得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(1)写出图②所表示的数学等式：________________________________________．
(2)利用上述结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，bc＋ac＋ab＝38，求a2＋b2＋c2的值．
19．将完全平方公式：， 进行适当变形，可以解决很多数学问题。例如：若，，求 的值。
解：因为， ，
所以， 。
所以 。
所以 。
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)①若，，则 ____；
②若，，则 的值为___；
③若，，则 ____；
④若，则 _____；
(2)如图，点是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，已知，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。
20．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c(a≠b≠c)满足a2＋b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32＋42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”．
【问题解决】(1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有________(填序号)；
(2)“完美数”有很多的构造方法．试说明：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”；
(3)若按(2)中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2＋14t＋25(t是任意正整数)，求这组“完美数”中的最小数(用含t的代数式表示)．
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参考答案
一、选择题
1．与式子(a－b＋c)(－a＋b－c)相等的是( )
A．－(a－b＋c)2 B．c2－(a－b)2 C．(a－b)2－c2 D．c2－a＋b2
【答案】A
2．计算：(－a＋2b)2－(－a－2b)2＝( )
A．－8ab B．－4ab C．8ab D．4ab
【答案】A
3．化简(m－2n)2－(m＋2n)(m－2n)的结果是(　　)
A．8n2－4mn　　B．－4mn C．3n2－2mn　　D．2m2－2mn＋3n2
【答案】A
4．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　)
A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x
【答案】B
5．如图，在长为3m＋2n，宽为3m－2n的长方形铁片上，挖去边长为2(m－n)的小正方形铁片，则剩余部分的面积为( )
A．5m2 B．5m2＋8mn C．5m2－8mn D．5m2＋8mn－8n2
【答案】D
6．计算(2x＋1)2－4x(x＋1)的结果是(　　)
A．8x＋1　　B．1 C．4x－3　　D．1－4x
【答案】B
7．小刚把(2025x＋2022)2展开后得到ax2＋bx＋c，把(2024x＋2023)2展开后得到mx2＋nx＋q，则a－m的值为(　　)
A．1　　B．－1 C．4049　　D．－4049
【答案】C
二、填空题
8．化简：(a＋1)2－(a－1)2＝__________．
【答案】4a
9．若m＋n＝10，mn＝5，则m2＋n2的值为__________．
【答案】90
10．如图，在面积为4a2的正方形中央剪去一个边长为a＋2的小正方形(a>2)，将剩余部分沿虚线剪开并拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为______________．
【答案】3a2－4a－4
11．若(x－1)3＝x3＋mx2＋nx－1，则(m＋n)2 026＝__________．
【答案】0
12．若(x＋1)4＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，则a－b＋c－d＋e的值为_________．
【答案】0
13．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色长方形的面积为________．
【答案】8
【解析】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8.
三、解答题
14．利用完全平方公式进行计算：
(1)5012；
解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12＝250 000＋1 000＋1＝251 001
(2)(19)2.
解：原式＝(20－)2＝202－2×20×＋()2＝400－5＋＝395
15．计算：
(1)(1＋a)(a－1)－(a＋3)2；
解：原式＝a2－1－a2－6a－9＝－6a－10
(2)(x－1)2－x(x－2)；
解：原式＝x2－2x＋1－x2＋2x＝1
(3)(y＋x＋6)(y－x＋6).
解：原式＝[(y＋6)＋x][(y＋6)－x]＝(y＋6)2－x2＝y2＋12y＋36－x2
(4)(x2＋4)2－16x2；
解：原式＝(x2)2＋2×4×x2＋42－16x2＝x4＋8x2＋16－16x2＝x4－8x2＋16
(5)(a－b)2(a＋b)2；
解：原式＝[(a－b)(a＋b)]2＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4
(6)(2x＋y－1)2；
解：原式＝(2x＋y)2－2×(2x＋y)×1＋12＝(2x)2＋2×2x×y＋y2－4x－2y＋1＝4x2＋4xy＋y2－4x－2y＋1
(7)(a＋3b)2－2(a＋3b)(a－3b)＋(a－3b)2.
解：原式＝a2＋6ab＋9b2－2(a2－9b2)＋(a2－6ab＋9b2)＝a2＋6ab＋9b2－2a2＋18b2＋a2－6ab＋9b2＝36b2
16．先化简，再求值：(1)(x＋y)2＋x(x－2y)，其中x＝1，y＝－2.
解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＝2x2＋y2，当x＝1，y＝－2时，原式＝2×12＋(－2)2＝6
(2)(x－2)2－10x(x－1)＋(3x－1)(3x＋1)，其中x＝－.
解：原式＝x2－4x＋4－10x2＋10x＋9x2－1＝6x＋3.
将x＝－代入，得原式＝6×＋3＝0.
(3)［(a＋3b)(3b－a)－(2a－b)2＋5a2］＋a2－4b2，其中a，b的值满足(a－1)2＋|2a－b|＝0.
解：原式＝(9b2－a2－4a2＋4ab－b2＋5a2)＋a2－4b2＝(8b2＋4ab)＋a2－4b2＝(2b＋a)2.
因为(a－1)2＋|2a－b|＝0，
所以a－1＝0，2a－b＝0，
解得a＝1，b＝2，
所以原式＝(2×2＋1)2＝25.
17．两个边长分别为a和b的正方形如图1放置，其未重叠部分(阴影)面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图2，两个小正方形重叠部分(阴影)面积为S2.
(1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
(2)若a＋b＝10，ab＝20，求S1＋S2的值.
解：(1)由图可得S1＝a2－b2，
S2＝a2－a(a－b)－b(a－b)－b(a－b)＝2b2－ab.
(2)S1＋S2＝a2－b2＋2b2－ab＝a2＋b2－ab.
因为a＋b＝10，ab＝20，
所以S1＋S2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝100－3×20＝40.
18．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图①可得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
(1)写出图②所表示的数学等式：________________________________________．
【答案】(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
(2)利用上述结论，解决下列问题：已知a＋b＋c＝11，bc＋ac＋ab＝38，求a2＋b2＋c2的值．
解：由(1)可得a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－(2ab＋2bc＋2ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝112－2×38＝45
19．将完全平方公式：， 进行适当变形，可以解决很多数学问题。例如：若，，求 的值。
解：因为， ，
所以， 。
所以 。
所以 。
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)①若，，则 ____；
②若，，则 的值为___；
③若，，则 ____；
④若，则 _____；
【答案】13 7 12 124
(2)如图，点是线段上的一点，以， 为边向两边作正方形，已知，两正方形的面积和 ，求图中阴影部分的面积。
解：设，，则， 。
因为，所以 。
因为，所以，所以 ，所以
，所以 ，
所以，即 ，
所以阴影部分的面积为 。
20．【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c(a≠b≠c)满足a2＋b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32＋42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”．
【问题解决】(1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有________(填序号)；
【答案】③
(2)“完美数”有很多的构造方法．试说明：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”；
解：因为m，n为任意正整数，且m＞n，(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”．
(3)若按(2)中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2＋14t＋25(t是任意正整数)，求这组“完美数”中的最小数(用含t的代数式表示)．
解：由题意得m2＋n2＝2t2＋14t＋25＝t2＋8t＋16＋t2＋6t＋9＝(t＋4)2＋(t＋3)2.
因为t是正整数，所以t＋4＞t＋3.
所以m＝t＋4，n＝t＋3.
所以m2－n2＝(t＋4)2－(t＋3)2＝2t＋7，2mn＝2(t＋4)(t＋3)＝2t2＋14t＋24＞2t＋7.
所以这组“完美数”中的最小数为2t＋7.
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