人教版小学数学六年级上册 数学广角—鸽巢问题教案设计
文档属性
| 名称 | 人教版小学数学六年级上册 数学广角—鸽巢问题教案设计 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 639.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-31 00:00:00 | ||
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文档简介
鸽巢问题（1）
一、教学内容
教科书P67-68例1例2
二、教学目标
1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2. 通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对“抽屉原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。
3.在探究过程中，经历将具体数学问题数学化的过程，培养学生的模型思维。
三、教学重难点
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，掌握“鸽巢原理”的一般形式，会运用除法算式来解决实际问题。
教学难点：理解“抽屉原理”，建立基本的模型。
四、教学过程
（一）、创设情境，游戏激趣
师：同学们， 老师今天给大家带来一个魔术，这是一副扑克牌，大家知道一副扑克牌有54张，我取走大王和小王，还剩52张，请五名同学上来配合我一下，谁愿意来？每人随意抽一张牌，不要让我看到，我猜这五张牌中至少有2张是同一种花色的，你们信吗？
（生：有的信，有的不信。）
师：那么我们就来验证一下。请五名同学同时亮牌。验证至少有2张是同一种花色的。 师：谁还想来？ （反复抽几组）
师：如果再请5名同学来做这个魔术，我还敢肯定地说：抽取的这5张牌中至少有2张是同一花色的，你们知道老师为什么猜的那么准吗？因为它属于今天我们要学习的一类有趣的数学问题-------鸽巢问题。通过今天的学习，大家就能解释这个现象了。
（二）、经历过程，初步感知“鸽巢原理”模型
1.呈现问题，引出探究。
课件出示教科书P67例1。
师：谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？
【学情预设】预设1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。
预设2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。
师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。）
2.用枚举法研究问题。
【学情预设】预设1：我是用画一画的方法来证明：
预设2：我用摆一摆的方法来证明：
预设3：我写出了8种放法：（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。
预设4：我写出了4种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。
3.汇报交流。
师：同学们用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4支
铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。你有什么想法呢？
【学情预设】预设1：第一个同学只画了一种放法，一种情况太少了。
预设2：我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一种放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一种放法。
预设3：我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。
师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放，教师演示课件。）
根据学生的回答，教师板书4种不同的放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。
4.引导观察，初步感知模型。
师：看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？
【学情预设】引导学生观察这4种不同的放法，发现每一种放法中最多的那一个笔筒里最少都有2支铅笔。
师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。
［教师板书：枚举法 假设法（平均分） 算式］
【设计意图】“总有”和“至少”这两个关键词，学生总是很难理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使学生真正理解——不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔，初步建立模型。
4.类推与归纳。
课件出示表格。
师：同学们请任意选择一组数据画一画或算一算，你有什么发现？
【学情预设】引导学生发现：只要铅笔数量比盒子数量多1，那么总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n+1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有一个盒子里至少放进了2支铅笔。
【设计意图】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变数据（铅笔数比盒子数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般性结论，构建出数学模型。
5.游戏现象解释
师：现在谁能解释扑克牌魔术的道理？
生：5张牌相当于5个物体，4种花色相当于4个抽屉，总是至少有2张牌是同一花色的。
（三）、提升思维，构建“鸽巢原理”模型
1.课件出示教科书P68例2。
例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。为什么？
师：请你试着证明这个结论。（学生用自己的方式证明。）
【学情预设】预设1：我随便放放看，一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。
预设2：我用假设法来思考，如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，最后的1本书一定会放到3个抽屉中的任何一个，可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。
预设3：我用算式来证明：7÷3=2……1，2+1=3。
师：你能理解这道算式表示的意思吗？（板书算式：7÷3=2……1，2+1=3）
【学情预设】指导学生规范表达：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩一本。剩下的一本不管怎么放，总有1个抽屉至少放进3本书。
师：其实用有余数的除法算式来证明的方法，它的思路是假设法，是按照平均分的思路来分析证明的。这种表达方式非常简洁、清晰！
2.拓展建模。
（1）运用有余数的除法算式解决问题。
师：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。如果有8本书会怎样？你能用算式来表达自己想法吗？
学生思考并汇报交流。
【学情预设】预设1：8÷3=2……2,2+2=4，如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书。
预设2：8÷3=2……2,2+1=3，如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。
师：你同意哪一种说法呢？为什么？
【学情预设】引导学生分析并说出，虽然余数是2，但要求的是“至少数”，把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩2本。剩下的2本再平均分，所以总有1个抽屉里至少放进3本书。（教师根据学生的汇报板书算式：8÷3=2……2，2+1=3）
（2）概括规律，建立模型。
师：如果我们把9本书、10本书放到3个抽屉里，你能快速说出总有一个抽屉里至少放的书的本数吗？
学生独立完成后在小组内交流，再集体汇报。
【学情预设】预设1：9÷3=3,如果把9本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。
预设2：10÷3=3……1,3+1=4，如果把10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书。（教师根据学生的汇报板书算式:9÷3=310÷3=3……1，3+1=4）
师：听了大家的汇报，认真观察这些算式，想一想，至少数都是怎么求出来的？
【学情预设】预设1：用书本数除以抽屉数，要是有余数，就用所得的商加1。
预设2：至少数=商+1。
师：同学们的发现真了不起。把书本放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有1个抽屉里至少放“商+1”本书，如果没有剩余，至少数等于商。而且当余数等于1时,至少数为商加1；当余数大于1时，至少数仍为商加1。
引导学生小结：a÷n=b……c（c≠0），至少数=b+1。（板书）
【设计意图】“鸽巢原理”规律性强，具有建模的必要性。此环节引导学生进行辨析、观察、思考，强化学生对新知的深刻认识，并建立正确的鸽巢问题模式，有利于提高学生解决问题的能力。
（四）、运用模型，扩展练习
1.随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
学生独立完成后在小组内说一说。
【学情预设】把12个属相看成12个“抽屉”，把13位老师放进12个“抽屉”里，至少有2位老师在同一个“抽屉”里，即至少有2位老师的属相相同。用算式表示为13÷12=1……1,1+1=2。
2.5只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
学生独立思考后，汇报交流。
【学情预设】学生会用算式5÷4=1……1，1+1=2来解释。
3.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
学生独立思考后，汇报交流。
【学情预设】学生会用算式11÷4=2……3，2+1=3来解释。如果学生出现“商+余数”的错误解答，可以让学生讨论后订正。
4.小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽一张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
【学情预设】学生会用算式9÷4=2……1，2+1=3来解释。如果学生出现“商+余数”的错误解答，可以让学生讨论后订正。
【设计意图】在完成这些题时，指导学生分析：要突出题目与“抽屉原理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。
（五）、课末总结，梳理提升
师：鸽巢原理不仅应用在数学中，在现实生活中也随处可见。运用它时，关键是要找出谁是鸽子，谁是鸽巢。
师：这节课你收获了什么呢？
、作业布置
完成教科书上做一做
板书设计
鸽巢问题（1）
（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）
学生铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
5÷2=2……1
7÷2=3……1
9÷2=4……1
要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。
六、教学反思
本课教学通过实物模拟、图示法、数的分解等方法进行分析，引导学生通过观察、对比，从枚举法中找到求至少数的简便方法——假设法，最后用有余数的算式表示出平均分的过程，让学生经历从具体的问题到抽象提炼的过程，使学生在实际操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学模型思想，真正地让数学模型思想在与知识能力形成的过程中共同生成。在运用“鸽巢原理”解释实际问题时，要注意指导学生语言描述的规范性、完整性。
一、教学内容
教科书P67-68例1例2
二、教学目标
1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2. 通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对“抽屉原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。
3.在探究过程中，经历将具体数学问题数学化的过程，培养学生的模型思维。
三、教学重难点
教学重点：经历“抽屉原理”的探究过程，掌握“鸽巢原理”的一般形式，会运用除法算式来解决实际问题。
教学难点：理解“抽屉原理”，建立基本的模型。
四、教学过程
（一）、创设情境，游戏激趣
师：同学们， 老师今天给大家带来一个魔术，这是一副扑克牌，大家知道一副扑克牌有54张，我取走大王和小王，还剩52张，请五名同学上来配合我一下，谁愿意来？每人随意抽一张牌，不要让我看到，我猜这五张牌中至少有2张是同一种花色的，你们信吗？
（生：有的信，有的不信。）
师：那么我们就来验证一下。请五名同学同时亮牌。验证至少有2张是同一种花色的。 师：谁还想来？ （反复抽几组）
师：如果再请5名同学来做这个魔术，我还敢肯定地说：抽取的这5张牌中至少有2张是同一花色的，你们知道老师为什么猜的那么准吗？因为它属于今天我们要学习的一类有趣的数学问题-------鸽巢问题。通过今天的学习，大家就能解释这个现象了。
（二）、经历过程，初步感知“鸽巢原理”模型
1.呈现问题，引出探究。
课件出示教科书P67例1。
师：谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？
【学情预设】预设1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。
预设2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。
师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。）
2.用枚举法研究问题。
【学情预设】预设1：我是用画一画的方法来证明：
预设2：我用摆一摆的方法来证明：
预设3：我写出了8种放法：（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。
预设4：我写出了4种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。
3.汇报交流。
师：同学们用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4支
铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。你有什么想法呢？
【学情预设】预设1：第一个同学只画了一种放法，一种情况太少了。
预设2：我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一种放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一种放法。
预设3：我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。
师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放，教师演示课件。）
根据学生的回答，教师板书4种不同的放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。
4.引导观察，初步感知模型。
师：看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？
【学情预设】引导学生观察这4种不同的放法，发现每一种放法中最多的那一个笔筒里最少都有2支铅笔。
师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。
［教师板书：枚举法 假设法（平均分） 算式］
【设计意图】“总有”和“至少”这两个关键词，学生总是很难理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使学生真正理解——不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔，初步建立模型。
4.类推与归纳。
课件出示表格。
师：同学们请任意选择一组数据画一画或算一算，你有什么发现？
【学情预设】引导学生发现：只要铅笔数量比盒子数量多1，那么总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n+1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有一个盒子里至少放进了2支铅笔。
【设计意图】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变数据（铅笔数比盒子数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般性结论，构建出数学模型。
5.游戏现象解释
师：现在谁能解释扑克牌魔术的道理？
生：5张牌相当于5个物体，4种花色相当于4个抽屉，总是至少有2张牌是同一花色的。
（三）、提升思维，构建“鸽巢原理”模型
1.课件出示教科书P68例2。
例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。为什么？
师：请你试着证明这个结论。（学生用自己的方式证明。）
【学情预设】预设1：我随便放放看，一个抽屉1本，一个抽屉2本，一个抽屉4本。可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。
预设2：我用假设法来思考，如果每个抽屉最多放2本，那么3个抽屉最多放6本，最后的1本书一定会放到3个抽屉中的任何一个，可以证明总有一个抽屉里至少放进3本书。
预设3：我用算式来证明：7÷3=2……1，2+1=3。
师：你能理解这道算式表示的意思吗？（板书算式：7÷3=2……1，2+1=3）
【学情预设】指导学生规范表达：把7本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩一本。剩下的一本不管怎么放，总有1个抽屉至少放进3本书。
师：其实用有余数的除法算式来证明的方法，它的思路是假设法，是按照平均分的思路来分析证明的。这种表达方式非常简洁、清晰！
2.拓展建模。
（1）运用有余数的除法算式解决问题。
师：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书。如果有8本书会怎样？你能用算式来表达自己想法吗？
学生思考并汇报交流。
【学情预设】预设1：8÷3=2……2,2+2=4，如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书。
预设2：8÷3=2……2,2+1=3，如果把8本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。
师：你同意哪一种说法呢？为什么？
【学情预设】引导学生分析并说出，虽然余数是2，但要求的是“至少数”，把8本书平均放进3个抽屉，每个抽屉里放2本，还剩2本。剩下的2本再平均分，所以总有1个抽屉里至少放进3本书。（教师根据学生的汇报板书算式：8÷3=2……2，2+1=3）
（2）概括规律，建立模型。
师：如果我们把9本书、10本书放到3个抽屉里，你能快速说出总有一个抽屉里至少放的书的本数吗？
学生独立完成后在小组内交流，再集体汇报。
【学情预设】预设1：9÷3=3,如果把9本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书。
预设2：10÷3=3……1,3+1=4，如果把10本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书。（教师根据学生的汇报板书算式:9÷3=310÷3=3……1，3+1=4）
师：听了大家的汇报，认真观察这些算式，想一想，至少数都是怎么求出来的？
【学情预设】预设1：用书本数除以抽屉数，要是有余数，就用所得的商加1。
预设2：至少数=商+1。
师：同学们的发现真了不起。把书本放进抽屉，如果平均分后有剩余，那么总有1个抽屉里至少放“商+1”本书，如果没有剩余，至少数等于商。而且当余数等于1时,至少数为商加1；当余数大于1时，至少数仍为商加1。
引导学生小结：a÷n=b……c（c≠0），至少数=b+1。（板书）
【设计意图】“鸽巢原理”规律性强，具有建模的必要性。此环节引导学生进行辨析、观察、思考，强化学生对新知的深刻认识，并建立正确的鸽巢问题模式，有利于提高学生解决问题的能力。
（四）、运用模型，扩展练习
1.随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？
学生独立完成后在小组内说一说。
【学情预设】把12个属相看成12个“抽屉”，把13位老师放进12个“抽屉”里，至少有2位老师在同一个“抽屉”里，即至少有2位老师的属相相同。用算式表示为13÷12=1……1,1+1=2。
2.5只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？
学生独立思考后，汇报交流。
【学情预设】学生会用算式5÷4=1……1，1+1=2来解释。
3.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？
学生独立思考后，汇报交流。
【学情预设】学生会用算式11÷4=2……3，2+1=3来解释。如果学生出现“商+余数”的错误解答，可以让学生讨论后订正。
4.小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽一张，至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？
【学情预设】学生会用算式9÷4=2……1，2+1=3来解释。如果学生出现“商+余数”的错误解答，可以让学生讨论后订正。
【设计意图】在完成这些题时，指导学生分析：要突出题目与“抽屉原理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。
（五）、课末总结，梳理提升
师：鸽巢原理不仅应用在数学中，在现实生活中也随处可见。运用它时，关键是要找出谁是鸽子，谁是鸽巢。
师：这节课你收获了什么呢？
、作业布置
完成教科书上做一做
板书设计
鸽巢问题（1）
（4，0，0）（0，1，3）（2,2,0）（2,1,1）
学生铅笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
5÷2=2……1
7÷2=3……1
9÷2=4……1
要把a个物体放进n个抽屉里，如果a÷n=b……c（c≠0），那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。
六、教学反思
本课教学通过实物模拟、图示法、数的分解等方法进行分析，引导学生通过观察、对比，从枚举法中找到求至少数的简便方法——假设法，最后用有余数的算式表示出平均分的过程，让学生经历从具体的问题到抽象提炼的过程，使学生在实际操作中亲身经历、感受、理解、掌握和领悟数学模型思想，真正地让数学模型思想在与知识能力形成的过程中共同生成。在运用“鸽巢原理”解释实际问题时，要注意指导学生语言描述的规范性、完整性。