山东省烟台市栖霞市2025-2026学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

2025-2026学年山东省烟台市栖霞市九年级上学期期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．青花瓷是中国传统陶瓷艺术的瑰宝，以其独特的蓝白相间图案闻名于世．如图所示的青花冰梅大碗是清代康熙年间文物，现为苏州博物馆藏品，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
2．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径（　　）
A．9米 B．米 C．米 D．10米
3．从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点（a，b）在函数图象上的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A． B． C． D．
5．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
6．2025年某省高考首次实行“3+1+2”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少？（　　）
A． B． C． D．
8．将抛物线y＝（x+2）2﹣1绕点B（1，0）旋转180°，得到新的图象，则新的图象对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣4）2+1 B．y＝﹣（x+4）2+1
C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x﹣4）2+1
9．如图，AD是△ABC的高，AB＝15，AC＝12，AD＝10，则△ABC的外接圆直径AE长为（　　）
A．20 B．18 C．16 D．10
10．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数y＝0.5x2﹣2x﹣3的图象形状相同的抛物线形，杯脚AB高7cm，杯口宽CD为8cm，则酒杯总高度为（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．16cm
11．如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（2，0）和（3，0）之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（　　）
A．a﹣b+c＜0
B．点、Q（3，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2
C．当x＞﹣3时，y随x增大而减小
D．若方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，则m≥﹣3
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果。）
13．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“一袋苹果”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“一袋苹果”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是　 　 ．
14．中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为 　 　 （结果保留π）．
15．如图所示的是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全相同，则该几何体的体积是　 　 （结果保留π）．
16．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　 　 m．
17．开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了84°，窗户底边OA长是60，则这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是　 　 （结果保留π）．
18．如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是　 　 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分。要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，顶点A（0，2）、B（1，0），反比例函数的图象经过C（4，n），D两点，求反比例函数的关系式及n的值．
20．（8分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2026马年新年，小红向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率．
21．（8分）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题．
飞行时间t/s 0 0.5 2
飞行高度h/m 0 8.25 24
（1）直接写出小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式（不写自变量取值范围）；
（2）若小球飞行时间不超过4s，则小球飞行高度能否达到15m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由；
（3）当t值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？
22．（8分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠ACB的度数．
23．（8分）抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的P点坐标．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B，求线段DF的长．
25．（8分）综合与实践
目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具 测角仪、卷尺
素材1 小敏借助测角仪测得：∠BED＝90°，∠CAB＝150°，∠ABE＝120°．
素材2 为计算篮球架的伸臂AC距离地面的高度，小明在点M处测得：EM＝4.8米，∠CME＝60°．在距离点M左侧1.2米的N处测得：∠CNE＝45°． （参考数据：，，）
任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂AC∥地面DE，支架BE⊥地面DE）．
任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度．（结果保留一位小数）
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接CB，DB，若在BC上方的抛物线上存在点E，满足∠CBD＝∠BDE，求点E的坐标．
参考答案
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D D D B A D A B C B
题号 12
答案 D
一、选择题（本大题共12小题，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。）
1．青花瓷是中国传统陶瓷艺术的瑰宝，以其独特的蓝白相间图案闻名于世．如图所示的青花冰梅大碗是清代康熙年间文物，现为苏州博物馆藏品，其俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
根据俯视图的定义即可求解．
解：根据所给图的正面图，可知该几何体的俯视图如图所示．
故选：C．
2．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径（　　）
A．9米 B．米 C．米 D．10米
根据垂径定理得到AD＝BD＝8米，设OA＝x米，则DO＝（x﹣4）米，利用勾股定理求出即可．
解：设圆心是O，拱高CD＝4米，跨度AB＝16米，
∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝8米，设BO＝x米，则DO＝（x﹣4）米，在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，即桥拱所在圆的半径是10米，
故选：D．
3．从1，2，3，4中任选不同的两个数，记为a和b，则点（a，b）在函数图象上的概率是（　　）
A． B． C． D．
利用列举法即可求解．
解：从1，2，3，4中任选两个数，记为a和b，则点（a，b）的所有可能组合有：
（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（2，1），（3，1），（4，1），（3，2），（4，2），（4，3），
共12种等可能结果，
若点（a，b）在反比例函数图象上，则ab＝6，
以上各点满足ab＝6的有：（2，3），（3，2），共2种，
故点（a，b）在反比例函数图象上的概率是，
故选：D．
4．二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A． B． C． D．
根据二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1的图象经过第一、二、四象限，可以画出草图，然后即可得到a＞0，a﹣1≥0，0，再求解即可．
解：∵二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1的图象经过第一、二、四象限，
∴a＞0，a﹣1≥0，0，
解得1≤a，
故选：D．
5．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则∠CAD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可．
解：∵点O是正六边形的中心，
∴△AOC是正三角形，
∴∠OAC＝60°，
又∵点O是正方形的中心，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠OAD＝45°，
∴∠CAD＝∠OAC﹣∠OAD＝60°﹣45°＝15°．
故选：B．
6．2025年某省高考首次实行“3+1+2”模式，高中生李明已选物理，然后要在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，则李明选中地理和生物的概率为（　　）
A． B． C． D．
画树状图求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解．
解：把思想政治、地理、化学、生物分别记为A，B，C，D，在思想政治，地理，化学，生物这4门中选2门进行考试，作树状图如下：
由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为地理、生物的结果有2种：（B，D），（D，B），
∴P（李明恰好选中地理、生物）．
故选：A．
7．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少？（　　）
A． B． C． D．
将圆锥的侧面展开如图所示，取SA′的中点C，连接AC，则AC是小虫爬行的最短路线．
解：如图，将圆锥侧面沿母线AS展开，取SA′的中点C，连接AC，
则AC是小虫爬行的最短路线，
设侧面展开图的扇形的圆心角为n°，
则，
∴n＝90°，即∠ASA′＝90°，
∵SA＝4，SC＝2，
∴．
∴小虫爬行的最短距离为．
故选：D．
8．将抛物线y＝（x+2）2﹣1绕点B（1，0）旋转180°，得到新的图象，则新的图象对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣4）2+1 B．y＝﹣（x+4）2+1
C．y＝（x+4）2+1 D．y＝（x﹣4）2+1
根据旋转的性质，可得原抛物线上任意一点（x，y）绕点B（1，0）旋转180°所得点的坐标，代入原函数解析式，化简整理即可得新的图象对应的函数表达式．
解：将抛物线y＝（x+2）2﹣1绕点B（1，0）旋转180°，
设原抛物线上任意一点（x，y）绕点B（1，0）旋转180°所得点的坐标为（x′，y′），则点B（1，0）为（x，y）和（x′，y′）的中点，
∴1，0，
∴x＝﹣x'+2，y＝﹣y'，
∴将﹣x'+2，﹣y'代入y＝（x+2）2﹣1得﹣y'＝（﹣x′+2+2）2﹣1，
y′＝﹣（x′﹣4）2+1．
∴新的图象对应的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+1．
故选：A．
9．如图，AD是△ABC的高，AB＝15，AC＝12，AD＝10，则△ABC的外接圆直径AE长为（　　）
A．20 B．18 C．16 D．10
连接BE，求出∠ADC＝∠ABE＝90°，∠C＝∠E，推出△ADC∽△ABE，得出比例式，代入求出即可．
解：
连接BE，
∵AE是直径，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ABE＝90°，
∵∠C＝∠E，
∴△ADC∽△ABE，
∴，
∴，
∴AE＝18，
故选：B．
10．如图是一个红酒杯，杯身是与二次函数y＝0.5x2﹣2x﹣3的图象形状相同的抛物线形，杯脚AB高7cm，杯口宽CD为8cm，则酒杯总高度为（　　）
A．10cm B．12cm C．15cm D．16cm
先确定抛物线的顶点坐标和对称轴，根据对称性确定点D坐标，求出点到直线的距离即可求解．
解：抛物线y＝0.5x2﹣2x﹣3的顶点坐标为
即A（2，﹣5），
∴对称轴为直线x＝2，
∵CD为8cm，
∴当时，代入解析式得y＝0.5×36﹣2×6﹣3＝3，
即D（6，3），
∴点A到CD的距离为3﹣（﹣5）＝8cm，
∴酒杯总高度为8+7＝15cm，
故选：C．
11．如图，点P在抛物线y＝x2﹣3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x＝±y，再判定一元二次方程是否有解即可．
解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x＝y或x＝﹣y，
当x＝y时，即x2﹣3x+1＝x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x＝﹣y时，即x2﹣3x+1＝﹣x，
∵Δ＝b2﹣4ac＝0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故选：B．
12．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（1，﹣3），与x轴的一个交点A在点（2，0）和（3，0）之间，其部分图象如图，则以下结论正确的是（　　）
A．a﹣b+c＜0
B．点、Q（3，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2
C．当x＞﹣3时，y随x增大而减小
D．若方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，则m≥﹣3
根据抛物线的对称性即可判断A；根据两点到对称轴的距离即可判断B；根据二次函数的性质即可判断C；根据函数与方程的关系即可判断D．
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（1，﹣3），
∴对称轴为直线x＝1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（2，0）和（3，0）之间，
∴另一个交点在点（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故A错误；
∵点到对称轴的距离大于点Q（3，y2）到对称轴的距离，抛物线开口向上，
∴y1＞y2，故B错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，故C错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（1，﹣3），
∴函数有最小值﹣3，
∴若m≥﹣3时，直线y＝m与抛物线有交点，
∴若方程ax2+bx+c﹣m＝0有实数根，则m≥﹣3，故D正确．
故选：D．
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果。）
13．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“一袋苹果”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“一袋苹果”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是　0.7　 ．
根据频率的定义，可得当n很大时，频率将会接近其概率．
解：当n很大时，频率将会接近0.7，
故获得“一袋苹果”的概率大约是0.7，
故答案为：0.7；
14．中国历来有“制扇王国”之称，中国扇文化是民族文化的重要组成部分．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，将折扇抽象为扇形，则折扇的扇面面积用含a的代数式表示为 　　 （结果保留π）．
根据图形可知：折扇的扇面面积＝大扇形的面积﹣小扇形的面积，然后代入数据计算即可．
解：折扇的扇面面积为：
．
故答案为：．
15．如图所示的是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图完全相同，则该几何体的体积是　48﹣3π　 （结果保留π）．
根据三视图判断几何体的形状，再根据长方体、圆柱体体积的计算方法进行计算即可．
解：由这个几何体的三视图的形状以及所标注的数据可知，这个几何体是底面边长为4，高为3的长方体中挖去一个底面直径为2，高为3的圆柱体的孔，
所以这个几何体的体积为4×4×3﹣π×（）2×3＝48﹣3π，
故答案为：48﹣3π．
16．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管高度应为　　 m．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令x＝0，求得y的值，即可得出答案．
解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
由题意可知抛物线的与x轴的一个交点为（3，0），顶点坐标为（1，3），
∴0＝a（3﹣1）2+3，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
当x＝0时，，
∴水柱落地处离池中心3m，水管的高度为，
故答案为：．
17．开窗通风是日常生活中保持室内空气流通的一种方法，图①是平开窗的打开实物图，图②是平开窗打开的效果图，此时，窗户打开了84°，窗户底边OA长是60，则这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是　28π　 （结果保留π）．
利用弧长公式解答即可．
解：这扇窗户底边端点A扫过区域的轨迹长（弧长）是：28π．
故答案为：28π．
18．如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上，且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是　　 ．
如图以O为圆心，1为半径作⊙O，首先算出∠ABD的正切值，根据圆周角定理可得∠AED＝∠ABD，进而得到∠AED的正切值．
解：如图以O为圆心，1为半径作⊙O，
∵AB＝2，AC＝1．
∴∠ABD的正切值，
∵∠AED＝∠ABD，
∴∠AED的正切值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分。要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，顶点A（0，2）、B（1，0），反比例函数的图象经过C（4，n），D两点，求反比例函数的关系式及n的值．
过点D作DE⊥OA于点E．构造全等三角形，利用全等三角形的性质确定D的坐标，然后利用待定系数法即可求解．
解：过点D作DE⊥OA于点E．
∵A（0，2）、B（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
∵AB⊥AD，DE⊥OE，
∴∠DEA＝∠DAB＝∠AOB＝90°，
∵∠DAE+∠OAB＝90°，∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAE＝∠ABO，
∵AD＝AB，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴AE＝OB＝1，DE＝AO＝2，
∴OE＝OA+AE＝3，
∴D（2，3），
∵反比例函数的图象经过C（4，n），D两点，
∴k＝2×3＝4n，
∴k＝6，n，
∴反比例函数解析式为y．
20．（8分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，中国古老的汉族传统民间艺术之一．它历史悠久，风格独特，深受大家的喜爱．为了迎接2026马年新年，小红向妈妈学习剪纸，装饰门窗烘托节日气氛．如图，现有4张背面完全一样的剪纸画卡片，将这4张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．
若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率．
先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可．
解：观察4张卡片，是轴对称图形的有B和C两张卡片，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的结果有2种：（B，C），（C，B），
∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为．
21．（8分）如图，以40m/s速度将小球沿着地面成30°的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足二次函数关系．小明在一次击球过程中测得一些数据，如表所示，根据相关信息解答下列问题．
飞行时间t/s 0 0.5 2
飞行高度h/m 0 8.25 24
（1）直接写出小球的飞行高度h关于飞行时间t的二次函数关系式（不写自变量取值范围）；
（2）若小球飞行时间不超过4s，则小球飞行高度能否达到15m？若能，求出此时t的值，若不能，说明理由；
（3）当t值为多少时，小球飞行的高度最大？最大高度是多少？
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）令h＝15，解一元二次方程，即可求解；
（3）将解析式配方成顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解．
解：（1）由题意可得：h＝at2+bt，
将（0.5，8.25），（2，24）代入得h＝at2+bt，
∴，
解得：．
∴h＝﹣3t2+18t；
（2）当h＝15，﹣3t2+18t＝15，
解得：t1＝1，t2＝5（舍去）．
∴小球飞行高度能达到15m，此时t＝1秒．
（3）h＝﹣3t2+18t＝﹣3（t﹣3）2+27
∵﹣3＜0
∴当t值为3秒时，小球飞行的高度最大，最大高度是27m．
22．（8分）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC＝30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求∠ACB的度数．
（1）根据垂径定理得出，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数：
（2）连接BD，根据圆内接四边形的性质便可求得结果．
解：（1）∵点A、B、C、D都在⊙O上，
∴，
由条件可知∠AOC＝∠BOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠BOC的度数为60°；
（2）连接BD，
由条件可知∠ADC＝∠BDC＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝120°．
23．（8分）抛物线y＝ax2+bx﹣2的图象经过M（﹣2，3），N（1，﹣3），与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的P点坐标．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）分别求出A、B、C点坐标，设P（x，y），根据对角线分三种情况讨论即可．
解：（1）将M（﹣2，3），N（1，﹣3）代入y＝ax2+bx﹣2，
∴，
解得，
∴yx2x﹣2；
（2）当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
当y＝0时，x2x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
设P（x，y），
当AB为平行四边形的对角线时，﹣1+4＝x，﹣2+y＝0，
∴P（3，2）；
当AC为平行四边形的对角线时，﹣1＝4+x，﹣2＝0+y，
∴P（﹣5，﹣2）
当AP为平行四边形的对角线时，﹣x﹣1＝4，y＝﹣2，
∴P（5，﹣2）；
综上所述：P点坐标为（3，2）或（﹣5，﹣2）或（5，﹣2）．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，以AD为直径的⊙O交AB边于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若BD＝5，sin∠B，求线段DF的长．
（1）利用垂径定理得出OD⊥EC，因为DF∥CE，可得OD⊥FD，结论得证；
（2）连接DE，由（1）知，DE＝CD，利用BD＝5，sin∠B，在直角三角形BDE中求得DE，BE；通过说明△BED∽△BCA求出线段AB，AE．利用△DEF∽△AED，求得线段EF，利用勾股定理在直角三角形EFD中，FD可求．
解：（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD．
∴．
∴OD⊥EC．
∵DF∥CE，
∴OD⊥DF．
∴DF是⊙O的切线．
（2）连接DE，如图，
∵，
∴ED＝DC．
∵AD是⊙O的直径，
∴DE⊥AE．
∴∠BED＝90°．
∵sin∠B，sin∠B，BD＝5，
∴DE＝3．
∴BE，DC＝DE＝3．
∴BC＝BD+CD＝5+3＝8．
∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BCA＝90°，
∴△BED∽△BCA．
∴．
∴BA＝2BD＝10，AC＝2DE＝6．
∴AE＝AB﹣BE＝10﹣4＝6．
∵∠ADF＝90°，DE⊥AF，
∴△DEF∽△AED．
∴．
∴EF．
∴FD．
25．（8分）综合与实践
目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具 测角仪、卷尺
素材1 小敏借助测角仪测得：∠BED＝90°，∠CAB＝150°，∠ABE＝120°．
素材2 为计算篮球架的伸臂AC距离地面的高度，小明在点M处测得：EM＝4.8米，∠CME＝60°．在距离点M左侧1.2米的N处测得：∠CNE＝45°． （参考数据：，，）
任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂AC∥地面DE，支架BE⊥地面DE）．
任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度．（结果保留一位小数）
任务一：根据题意得到BE⊥DE，合格，如图所示，过点B作BP∥DE，根据平行线的判定可得AC∥DE，合格，由此即可求解；
任务二：如图所示，过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHM＝90°，可得∠MCH＝30°，设MH＝x米，则，可得米，根据题意得到∠NCH＝45°，△CNH是等腰直角三角形，则HN＝HC，即，由此即可求解．
解：任务一：篮球架安装合格，
∵∠BED＝90°，
∴BE⊥DE，合格，
过点B作BP∥DE，
∴∠PBE＝∠BED＝90°，
∴∠ABP＝∠ABE﹣∠PBE＝120°﹣90°＝30°，
∴∠CAB+∠ABP＝150°+30°＝180°，
∴AC∥BP，
∴AC∥DE，合格，
任务二：如图所示，过点C作CH⊥DE于点H，则∠CHM＝90°，
∵∠CME＝60°，
∴∠MCH＝30°，
设MH＝x米，则，
∴米，
∵∠CNE＝45°，∠CHN＝90°，
∴HN＝HC，即，
，
∴米，
∴篮球架的伸臂AC距离地面DE的高度约为2.8米．
26．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，连接CB，DB，若在BC上方的抛物线上存在点E，满足∠CBD＝∠BDE，求点E的坐标．
（1）将点A和点B坐标代入求解即可；
（2）由题意可知CB∥DE，进而求出DE解析式，联立方程组求解．
解：（1）由条件可得，
解得
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D（1，4）；
（2）如图，由条件可知CB∥DE，
设直线DE的解析式为y＝﹣x+m，
将点D的坐标代入得：m＝5，
∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5，
联立，
解得：（舍）或，
∴E（2，3）．
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