第5章一元函数的导数及其应用重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第5章一元函数的导数及其应用重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 607.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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第5章一元函数的导数及其应用重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册
一、选择题
1．函数在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知函数则（ ）
A． B． C． D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
5．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是增函数
D．是奇函数，且在上是减函数
8．已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．在区间单调递减 D．有且仅有2个零点
10．若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在的值域为
C．函数在点处的切线方程为
D．关于的方程有2个不同的根当且仅当
三、填空题
12．已知直线与曲线相切，则= .
13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 .
14．已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数，其中.
（1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值；
（2）若是的极小值点，证明：.
16．已知函数.
（1）当时，求的极小值；
（2）若在上不具有单调性，求实数的取值范围.
17．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
18．过点有n条直线与函数的图像相切.
（1）若，求n的值并求切线的方程；
（2）当n取最大值时，求m的取值范围.
19．已知函数（a为实常数）．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,C
10．【答案】B,D
11．【答案】B,C
12．【答案】3
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题设，则，
所以在点处的切线为，
令，则；令，则，
所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积，可得.
（2）证明：由（1），且，，，
由是的极小值点，则且，可得，
要证，即，需证，即，
令且，只需证，而，
所以当时，，当时，，
所以上单调递减，上单调递增，故，
综上，只需，即即可，
若，则，故，
此时，且，
对于，则，显然时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，故单调递增，无极小值，不符合题设；
综上，，故得证.
16．【答案】（1）解：，
，
当时，.
当时，，单调递减；
当时，；
当时，，单调递增
的极小值为.
（2）解：由（1）知，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又在上不具有单调性，
，即，
实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：
当时，，则，
∴，则在点处的切线方程为；
（2）解：因为，
由题意，解得，检验符合，
故，列表如下：
4
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为．
由解析式易知，当时；当时，且，
所以．
综上，的增区间为、，减区间为，.
18．【答案】（1）解：当时，点在上，
函数定义域为，求导可得，
若为切点，则，切线方程为，即，
若不是切点，设切点为，则，切线方程为，
因为在切线方程上，所以，整理得，
令，，则，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，
又时，，故恒成立，
故，，无零点，
综上，，切线方程为；
（2）解：设切点为，，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程中得，
整理得，令，
则，
列表如下：
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由，得，解得或，
画出的图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值，
故n取最大值3时，m的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：由题设，则，
则在上有，故在上是增函数，得证；
（2）解：由题设，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以最小值为时，最大值为时；
（3）解：由题设在上能成立，则，
对于，则在上恒成立，
故在上单调递增，且时，即在上恒成立，
所以在上能成立，
令且，则，
对于且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，，即在上恒成立，
在上恒成立，则在上单调递增，故，
所以.
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第5章一元函数的导数及其应用重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册
一、选择题
1．函数在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
2．已知函数则（ ）
A． B． C． D．
3．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
5．若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知二次函数，设，若函数的导函数的图像如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是增函数
D．是奇函数，且在上是减函数
8．已知函数及其导函数的定义域为，是偶函数，其函数图象为连续不间断的曲线，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．在区间单调递减 D．有且仅有2个零点
10．若函数满足：对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在的值域为
C．函数在点处的切线方程为
D．关于的方程有2个不同的根当且仅当
三、填空题
12．已知直线与曲线相切，则= .
13．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 .
14．已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数，其中.
（1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求的值；
（2）若是的极小值点，证明：.
16．已知函数.
（1）当时，求的极小值；
（2）若在上不具有单调性，求实数的取值范围.
17．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
18．过点有n条直线与函数的图像相切.
（1）若，求n的值并求切线的方程；
（2）当n取最大值时，求m的取值范围.
19．已知函数（a为实常数）．
（1）若，求证：在上是增函数；
（2）当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值；
（3）若存在，使得成立，求实数a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,C
10．【答案】B,D
11．【答案】B,C
12．【答案】3
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题设，则，
所以在点处的切线为，
令，则；令，则，
所以切线与两坐标轴所围成三角形的面积，可得.
（2）证明：由（1），且，，，
由是的极小值点，则且，可得，
要证，即，需证，即，
令且，只需证，而，
所以当时，，当时，，
所以上单调递减，上单调递增，故，
综上，只需，即即可，
若，则，故，
此时，且，
对于，则，显然时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，故单调递增，无极小值，不符合题设；
综上，，故得证.
16．【答案】（1）解：，
，
当时，.
当时，，单调递减；
当时，；
当时，，单调递增
的极小值为.
（2）解：由（1）知，，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又在上不具有单调性，
，即，
实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：
当时，，则，
∴，则在点处的切线方程为；
（2）解：因为，
由题意，解得，检验符合，
故，列表如下：
4
0 0
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为、，减区间为．
由解析式易知，当时；当时，且，
所以．
综上，的增区间为、，减区间为，.
18．【答案】（1）解：当时，点在上，
函数定义域为，求导可得，
若为切点，则，切线方程为，即，
若不是切点，设切点为，则，切线方程为，
因为在切线方程上，所以，整理得，
令，，则，
令得或，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
又，，
又时，，故恒成立，
故，，无零点，
综上，，切线方程为；
（2）解：设切点为，，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程中得，
整理得，令，
则，
列表如下：
1
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由，得，解得或，
画出的图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值，
故n取最大值3时，m的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：由题设，则，
则在上有，故在上是增函数，得证；
（2）解：由题设，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，
所以最小值为时，最大值为时；
（3）解：由题设在上能成立，则，
对于，则在上恒成立，
故在上单调递增，且时，即在上恒成立，
所以在上能成立，
令且，则，
对于且，则，
当时，，即在上单调递减，
当时，，即在上单调递增，
当，，即在上恒成立，
在上恒成立，则在上单调递增，故，
所以.
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