第4章数列重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第4章数列重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 503.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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第4章数列重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册
一、选择题
1．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．12或3 B．1或 C．12 D．
2．已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．下列选项中，说法正确的是（ ）
A．若，则
B．向量，共线的充要条件是
C．命题“，”的否定是“，”
D．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充要条件
4．若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（ ）
A．1024 B．1023 C． D．
5．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（ ）
A．210 B．209 C．211 D．207
6．已知数列，则该数列的第211项为（ ）
A． B．421 C． D．423
7．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，且，，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
9．已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则单调递增 B．若，则单调递增
C．可能为等差数列 D．可能为等比数列
10．记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．是递增数列
C．当时，取得最小值 D．若，则n的最小值为11
11．对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列.下列数列中为周期数列的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知是等差数列的前项和，目，则 .
13．已知，，则通项公式 .
14．若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ．
四、解答题
15．已知为等差数列，为等比数列，且，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）若，记，求的值.
17．设函数，数列满足：.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．已知数列满足且，数列满足且
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
19．将有穷数列任两项之和按升序排列成一个新数列，称这个新数列为的伴随数列．若的伴随数列是公差不为0的等差数列，称具有性质．
（1）判断数列1，2，3和数列1，3，5，7是否具有性质；
（2）若递增数列1，3，，（，）具有性质，求和的值；
（3）若有穷数列具有性质，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】33
13．【答案】
14．【答案】6；
15．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，
所以；
因为，
所以，
所以．
（2）解：由（1）可得：
16．【答案】（1）解：设等差数列公差为，
则，
解得，.
所以数列的通项公式是.
（2）解：由题意知，
则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
又因为，
所以，.
17．【答案】（1）解：
得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，化简得，
因为，所以的通项公式为
（2）解：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
，
，
两式相减得，
所以，
故.
18．【答案】（1）解：因为，所以，又因为，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以
，
又因为也适合，所以；
（2）解：因为，所以①，②，
①-②得，
所以.
19．【答案】（1）解：数列1，2，3的伴随数列为3，4，5为公差不为0的等差数列，所以数列1，2，3具有性质P；
数列1，3，5，7的伴随数列为4，6，8，8，10，12不为等差数列，所以数列1，3，5，7不具有性质P．
（2）解：因为递增数列1，3，x，y具有性质P，
所以伴随数列的项为4，，，，，．
①若
则，解得，此时数列1，3，x，y的伴随数列为4，5，6，7，8，9，
符合题意；
③若
则，解得，
此时数列1，3，x，y的伴随数列为4，6，8，10，12，14，符合题意；
综上所述，x，y的值分别为4，5或5，9．
（3）解：由（1），（2）知，4满足要求．
下面假设时，，，…，两两之和的升序排列构成等差数列．
不妨设，d为伴随数列的公差．
显然，在和项中，最小，次小，次大，最大．
于是，，．故，且
．
若，则上式左端与右端为不同数对的和，与数对和之差至少为d矛盾．于是，时无解．
若，则，．
和数列第三最小和项为，
由，知第三最大和项为．
又，且每相邻两个和项之差均为d，
因此，为第四最小和项或第四最大和项．
由对称性不妨设为第四最小和项．则
．
故，从而，
这与矛盾．因此，时无解．综上，n的最大值为4．
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第4章数列重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第二册
一、选择题
1．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．12或3 B．1或 C．12 D．
2．已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
3．下列选项中，说法正确的是（ ）
A．若，则
B．向量，共线的充要条件是
C．命题“，”的否定是“，”
D．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的充要条件
4．若数列满足（且），则称数列为“幂数列”．已知正项数列是“幂2数列”且，设的前项积为，则（ ）
A．1024 B．1023 C． D．
5．对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（ ）
A．210 B．209 C．211 D．207
6．已知数列，则该数列的第211项为（ ）
A． B．421 C． D．423
7．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列满足，，且，，则m等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多项选择题
9．已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则单调递增 B．若，则单调递增
C．可能为等差数列 D．可能为等比数列
10．记等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A． B．是递增数列
C．当时，取得最小值 D．若，则n的最小值为11
11．对于数列，若存在正整数，使得对于任意正整数，都有，则称数列为周期数列.下列数列中为周期数列的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知是等差数列的前项和，目，则 .
13．已知，，则通项公式 .
14．若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ．
四、解答题
15．已知为等差数列，为等比数列，且，．
（1）求与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
16．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求；
（2）若，记，求的值.
17．设函数，数列满足：.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．已知数列满足且，数列满足且
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
19．将有穷数列任两项之和按升序排列成一个新数列，称这个新数列为的伴随数列．若的伴随数列是公差不为0的等差数列，称具有性质．
（1）判断数列1，2，3和数列1，3，5，7是否具有性质；
（2）若递增数列1，3，，（，）具有性质，求和的值；
（3）若有穷数列具有性质，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】33
13．【答案】
14．【答案】6；
15．【答案】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为
由题意可知，，
可得，
所以；
因为，
所以，
所以．
（2）解：由（1）可得：
16．【答案】（1）解：设等差数列公差为，
则，
解得，.
所以数列的通项公式是.
（2）解：由题意知，
则，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
又因为，
所以，.
17．【答案】（1）解：
得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，化简得，
因为，所以的通项公式为
（2）解：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
，
，
两式相减得，
所以，
故.
18．【答案】（1）解：因为，所以，又因为，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
因为，
所以
，
又因为也适合，所以；
（2）解：因为，所以①，②，
①-②得，
所以.
19．【答案】（1）解：数列1，2，3的伴随数列为3，4，5为公差不为0的等差数列，所以数列1，2，3具有性质P；
数列1，3，5，7的伴随数列为4，6，8，8，10，12不为等差数列，所以数列1，3，5，7不具有性质P．
（2）解：因为递增数列1，3，x，y具有性质P，
所以伴随数列的项为4，，，，，．
①若
则，解得，此时数列1，3，x，y的伴随数列为4，5，6，7，8，9，
符合题意；
③若
则，解得，
此时数列1，3，x，y的伴随数列为4，6，8，10，12，14，符合题意；
综上所述，x，y的值分别为4，5或5，9．
（3）解：由（1），（2）知，4满足要求．
下面假设时，，，…，两两之和的升序排列构成等差数列．
不妨设，d为伴随数列的公差．
显然，在和项中，最小，次小，次大，最大．
于是，，．故，且
．
若，则上式左端与右端为不同数对的和，与数对和之差至少为d矛盾．于是，时无解．
若，则，．
和数列第三最小和项为，
由，知第三最大和项为．
又，且每相邻两个和项之差均为d，
因此，为第四最小和项或第四最大和项．
由对称性不妨设为第四最小和项．则
．
故，从而，
这与矛盾．因此，时无解．综上，n的最大值为4．
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