第4章指数函数与对数函数期末重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版必修第一册

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第4章指数函数与对数函数期末重组练习-2025-2026学年数学人教A版必修第一册
一、选择题
1．，，，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．设函数，则的零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，则（　　）
A． B． C．1 D．
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为（为常数），其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当鲑鱼的游速时，鲑鱼的耗氧量的单位数为300，若鲑鱼的游速，则鲑鱼的耗氧量的单位数为（　　）
A．600 B．700 C．800 D．900
5．已知函数，正实数满足，则的最小值为（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．用二分法求方程的近似解时，所取的第一个区间可以是（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，则方程的根个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．函数图像的大致形状为（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．下列关于函数的说法正确的是（　　）
A．的图象关于原点对称
B．是增函数
C．的最大值是
D．若，则方程有四个不等实数根
10．已知函数若函数所有零点的乘积为1，则实数的值可以为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
11．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．和表示的是同一个函数
C．函数的单调递减区间是
D．已知不等式的解集为，则，
三、填空题
12．算法中常用复杂度表示所需算力，指数时间复杂度表示算法的时间复杂度随输入规模呈指数型增长.记最终所需算力为，由硬件导致的规模系数为（可视为常数），则有.当输入规模增加1时，所需算力变为原来的4倍，则　 　.
13．已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是　 　．
14．已知函数，则　 　；若关于的方程有4个不等的实数根，则的取值范围是　 　．
四、解答题
15．计算与解不等式
（1）计算：；
（2）计算：.
（3）解不等式：
16．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）求不等式的解集．
17．定义在上的函数是单调函数，，且.
（1）求，判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）若存在使得成立，求实数的取值范围.
18．为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为（单位：元）．
（1）求单株利润（单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
19．意大利画家列奥纳多 达 芬奇曾经提出，固定项链的两段，使其在重力的作用下自然下垂，项链所成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，历史上，莱布尼兹等人曾研究并得出了悬链线的方程，其中双曲余弦函数尤为特殊，与此类似的还有双曲正弦函数（是自然对数的底数，）．
（1）计算的值；
（2）类比两角差的余弦公式，写出两角差的双曲余弦公式______，并加以证明；
（3）判断函数的零点个数，并求出零点．
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】A,C,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】2
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式=
（3）解：，得，
所以不等式的解集为
16．【答案】（1）解：由题意，得，
则，
所以的定义域为．
（2）解：由题意，得，
由，
得，
则，
所以或，
因为的定义域为，
所以不等式的解集为．
17．【答案】（1）解：在等式中，
令，可得，
解得，
因为函数的定义域为，
令，可得，
所以，
则函数为奇函数.
（2）解：函数为上的增函数.
证明如下：任取，且，
则，
所以.
因为，
所以，
则函数在上为增函数.
（3）解：存在，使得，
可得.
因为函数在上为增函数，
所以.
令，其中，则，
所以，函数为偶函数，
任取，且，
则
，
因为，所以，
则，所以，
则，所以，函数在上单调递增，
则当时，，
所以，则当时，，
令，
则，
所以，所以，
可得.
令，其中，
由题意，可得，
因为函数在上单调递减，
所以，
则，
所以，实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由题意可得：，
即，整理得；
（2）解：当时，为对称轴开口向上的抛物线，则当时，，
当时，，
，当且仅当，即时等号成立，
则，即，
综上所述，当时，该水果单株利润最大，最大利润是240元.
19．【答案】（1）解：，
则；
（2）证明：，
证明如下：
；
（3）解：由于，
因此，设，由均值不等式，
因此，
令，可得或，而当且仅当，
可视为函数和的复合，由复合函数单调性，在上单调递增，在上单调递减，
若即，则有2解，原方程共有3个解；
令，设，方程可化为，解得故另两解为，
若即，此时关于的方程仅有一解，原方程有唯一解；
若即，此时无解，原方程有唯一解，
综上所述，时，原函数有1个零点；
时，原函数有3个零点，为．
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