第3章圆锥曲线的方程重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 第3章圆锥曲线的方程重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 731.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-01 00:00:00 | ||
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文档简介
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第3章圆锥曲线的方程重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第一册
一、选择题
1．顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2
C．2或 D．或
6．已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示的矩形画板中，.分别是矩形四条边的中点，点分别是线段上的四等分点，连结，与的交点分别为，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，则在椭圆上的点为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（ ）
A．曲线C可以是圆
B．若，则曲线C为椭圆
C．曲线C可以表示抛物线
D．若曲线C为双曲线，则或
10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
11．已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．双曲线的离心率为
C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为
D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个
三、填空题
12．若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的渐近线方程为 ，离心率为 ．
13．已知抛物线的焦点为，则的标准方程为 ；设点，点在上，则的最小值为 .
14．由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ．
四、解答题
15．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
16．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设为椭圆的右顶点.若直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限），直线与轴的正半轴交于点，直线NA与直线OM交于点为原点），且，求直线的方程.
17．拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点．
（1）当时，求；
（2）若的面积为，求的值．
18．已知抛物线（）的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点，，点在第一象限，为坐标原点.
（1）求的最小值（用表示）；
（2）若直线与抛物线的准线交于点
（ⅰ）求证：轴；
（ⅱ）若直线的斜率大于零，的中点为，过点作直线的垂线交抛物线的准线于点，与的面积相等，求直线的斜率.
19．已知抛物线的方程，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别为曲线在第一象限和第四象限的交点．
（1）求的长度．
（2）求直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值．
（3）求证：阴影区域的面积不大于32．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】；或
13．【答案】；4
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：由题意知，动点到点的距离等于到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以抛物线的方程为.
（2）解：设，，
则，
两式相减，得，
整理可得.
因为线段的中点坐标为，
所以，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
16．【答案】（1）解：依题意可得，所以，则，
所以椭圆的方程为，离心率；
（2）解：如图所示：
直线的斜率存在且为负数，不妨设直线的方程为，
则由题意有，，
所以直线的方程为，
将与椭圆方程联立，
消去并整理得，，
由题意直线与椭圆相切与点，
则，即，
所以，，
即点的坐标为，
所以直线的方程为，
将其与直线的方程联立，解得，，
即点的坐标为，
由题意，整理得，
结合以及，，解得，，
综上所述，满足题意的直线的方程为.
17．【答案】（1）解：拋物线的焦点，
则直线的方程为．
设，
由，得，
则，所以，
所以，
当时，．
（2）解：因为，
点到直线的距离，
所以，
化简得，解得，即．
18．【答案】（1）解： 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立方程，整理得，
所以，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值是.
（2）解：（ⅰ）易知直线的方程为，则，
由（1）知，所以，所以轴.
（ⅱ）过点的垂线方程为，所以与准线的交点为，
则，所以，则，
又，
，
记点，到直线的距离分别是，，
由相似知
所以，
由条件知，化简得，
解得，因为直线的斜率大于零，
所以直线的斜率.
19．【答案】（1）解：抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，
方程分别为、、，
由，解得或，则，由对称性可得，
所以.
（2）解：设直线与抛物线相切于点，
由消去得，由，得，，切点，
设直线与抛物线相切于点，
由消去得，由，得，，切点，
直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为.
（3）证明：抛物线，即，求导得，
则抛物线在点处的切线斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，因此在第一象限的半个花瓣的面积必小于，
所以原图中的阴影部分面积必小于，即不大于32.
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第3章圆锥曲线的方程重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第一册
一、选择题
1．顶点在坐标原点，焦点坐标为的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．双曲线的右焦点为，过的直线与的右支相交于两点，点为线段的中点，若的中垂线与轴交于点，则的横坐标为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．已知抛物线为上的动点，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．若双曲线的两条渐近线的夹角为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2
C．2或 D．或
6．已知是椭圆上的一点，分别是椭圆的左，右焦点，则（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图所示的矩形画板中，.分别是矩形四条边的中点，点分别是线段上的四等分点，连结，与的交点分别为，以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，则在椭圆上的点为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知曲线C的方程为，则下列说法正确的为（ ）
A．曲线C可以是圆
B．若，则曲线C为椭圆
C．曲线C可以表示抛物线
D．若曲线C为双曲线，则或
10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
11．已知椭圆的离心率为，双曲线的顶点与椭圆的焦点重合，一条渐近线与椭圆的一个交点为，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．双曲线的离心率为
C．过椭圆右顶点且垂直于轴的直线被双曲线截得的弦长为
D．椭圆上到直线（为原点）距离最大的点有2个
三、填空题
12．若对，直线与双曲线最多有一个公共点，则该曲线的渐近线方程为 ，离心率为 ．
13．已知抛物线的焦点为，则的标准方程为 ；设点，点在上，则的最小值为 .
14．由双曲线的光学性质可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．已知、分别为双曲线的左、右焦点，过右支上一点作双曲线的切线交轴于点，交轴于点，过点作，垂足为，为原点，求 ．
四、解答题
15．已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程.
16．已知椭圆的长轴长为4，焦距为2.
（1）求椭圆的方程和离心率；
（2）设为椭圆的右顶点.若直线与椭圆有唯一的公共点（在第一象限），直线与轴的正半轴交于点，直线NA与直线OM交于点为原点），且，求直线的方程.
17．拋物线的顶点为坐标原点，焦点为，过且斜率为的直线与交于两点．
（1）当时，求；
（2）若的面积为，求的值．
18．已知抛物线（）的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于点，，点在第一象限，为坐标原点.
（1）求的最小值（用表示）；
（2）若直线与抛物线的准线交于点
（ⅰ）求证：轴；
（ⅱ）若直线的斜率大于零，的中点为，过点作直线的垂线交抛物线的准线于点，与的面积相等，求直线的斜率.
19．已知抛物线的方程，现将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后得另外三条曲线，四条曲线相交围成如图阴影区域的封闭图形，、分别为曲线在第一象限和第四象限的交点．
（1）求的长度．
（2）求直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值．
（3）求证：阴影区域的面积不大于32．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A,D
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】；或
13．【答案】；4
14．【答案】2
15．【答案】（1）解：由题意知，动点到点的距离等于到直线的距离，
则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以抛物线的方程为.
（2）解：设，，
则，
两式相减，得，
整理可得.
因为线段的中点坐标为，
所以，
则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
16．【答案】（1）解：依题意可得，所以，则，
所以椭圆的方程为，离心率；
（2）解：如图所示：
直线的斜率存在且为负数，不妨设直线的方程为，
则由题意有，，
所以直线的方程为，
将与椭圆方程联立，
消去并整理得，，
由题意直线与椭圆相切与点，
则，即，
所以，，
即点的坐标为，
所以直线的方程为，
将其与直线的方程联立，解得，，
即点的坐标为，
由题意，整理得，
结合以及，，解得，，
综上所述，满足题意的直线的方程为.
17．【答案】（1）解：拋物线的焦点，
则直线的方程为．
设，
由，得，
则，所以，
所以，
当时，．
（2）解：因为，
点到直线的距离，
所以，
化简得，解得，即．
18．【答案】（1）解： 易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，
联立方程，整理得，
所以，，
，
当且仅当时等号成立，所以的最小值是.
（2）解：（ⅰ）易知直线的方程为，则，
由（1）知，所以，所以轴.
（ⅱ）过点的垂线方程为，所以与准线的交点为，
则，所以，则，
又，
，
记点，到直线的距离分别是，，
由相似知
所以，
由条件知，化简得，
解得，因为直线的斜率大于零，
所以直线的斜率.
19．【答案】（1）解：抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、所得仍为抛物线，
方程分别为、、，
由，解得或，则，由对称性可得，
所以.
（2）解：设直线与抛物线相切于点，
由消去得，由，得，，切点，
设直线与抛物线相切于点，
由消去得，由，得，，切点，
直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为.
（3）证明：抛物线，即，求导得，
则抛物线在点处的切线斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，因此在第一象限的半个花瓣的面积必小于，
所以原图中的阴影部分面积必小于，即不大于32.
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