第2章一元二次函数、方程和不等式期末重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版必修第一册

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第2章一元二次函数、方程和不等式期末重组练习-2025-2026学年数学人教A版必修第一册
一、选择题
1．“”是“”的 （　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．已知，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知实数，，满足，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为，设物体的真实质量为G，则（　　）
A． B． C． D．
5．不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．已知，，，均为实数，有下列命题：
（1）若，，则；
（2）若，，则；
（3）若，，则，
其中正确命题的个数是　　
A．0 B．1 C．2 D．3
8．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（　　）
A． B．，或
C．，或 D．
二、多项选择题
9．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
10．对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（　　）
A．
B．
C．的解集为
D．的解集为
三、填空题
12．不等式的解集为　 　．
13．设常数，若存在且，使得，则的取值范围是　 　.
14．一般认为，民用住宅的窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.现有某酒店计划对一房间进行改造升级，已知该房间原地板面积为60平方米，窗户面积为20平方米.若同时增加窗户与地板的面积，且地板增加的面积恰好是窗户增加的面积的倍，要求改造后的采光效果不比改造前的差，则实数的最大取值为　 　.
四、解答题
15．已知关于x的不等式：．
（1）当时，解此不等式；
（2）当时，解此不等式．
16．已知，且．
（1）求的最大值，并说明当分别等于多少时，取到最大值；
（2）求的最小值，并说明当分别等于多少时，取到最小值．
17．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数．
（1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？
（2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？
附：利润=售价×销量-成本．
18．如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米
（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值；
19．某饼庄推出两款新品月饼，分别为流心月饼和冰淇淋月饼，已知流心月饼的单价为x元，冰淇淋月饼的单价为y元，且.现有两种购买方案（）
方案一：流心月饼的购买数量为a个，冰淇淋月饼的购买数量为b个.
方案二：流心月饼的购买数量为b个，冰淇淋月饼的购买数量为a个.
（1）试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由.
（2）若a，b，x，y满足，，求这两种方案花费的差值S的最小值（注；差值较大值较小值）.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A,C
10．【答案】B,C,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】3
15．【答案】（1）解：当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0，
整理得(2x＋1)(x－3)＞0，
解得x＜－或x＞3，
当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}．
（2）解：当a＞0时，
不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0整理得：(x－3)(x－)＜0，
当a＝时，＝3，此时不等式无解；
当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；
当a＞时，＜3，解得＜x＜3，
综上所述：当a＝时，解集为；
当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；
当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.
16．【答案】（1）解：，且，
则，化简得，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值为；
（2）解：由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，故取到最小值为.
17．【答案】（1）解：由题意，得生产台人形机器人的总成本为，
所以，每个人形机器人的平均成本为：
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以
（2）解：由题意，得每月的利润，
令，则，
整理得，
解得或，
因为为正整数，所以，
则该企业应每月制订生产的人形机器人不少于台时，才能确保每月的利润不低于万元.
18．【答案】（1）设的长为米（）
是矩形
由，得
，解得或
即的取值范围为

（2）令，（），则
当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米
19．【答案】（1）解：方案一的总费用为（元），方案二的总费用为（元），
则，
因为，，所以，即，
所以采用方案二，花费更少.
（2）解：由（1）可知，
令，，，
因为，所以，
所以差值S的最小值为，
当且仅当，，，，
即，时，等号成立.
所以两种方案花费的差值S的最小值为32元.
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