第1章空间向量与立体几何重组练习（含答案）-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第一册

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第1章空间向量与立体几何重组练习-2025-2026学年数学人教A版选择性必修第一册
一、选择题
1．设，向量，，，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知是空间中两个不同平面，是两条不同直线，则下列命题中正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．在棱长为2的正方体中，若，则平面与平面夹角的余弦值（　　）
A． B． C． D．
4．在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知点是点在坐标平面内的射影，则（　　）
A． B．10 C． D．100
6．棱长为的正四面体中，点是的中点，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知在平行六面体中，，且，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知正四面体的顶点，，均在球的表面上，球心在平面内，棱与球面交于点.若平面，平面，平面，平面，（）且与（）之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，若的周长为，则球的半径为（　　）
A．2 B．1 C． D．
二、多项选择题
9．已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若，且，则
B．若，且，则
C．若，且，则
D．若，且，则
10．已知正方体的棱长为1，则下列说法正确的是（　　）
A．直线与所成的角为
B．点与平面的距离为
C．直线与平面所成的角为
D．平面与平面所成的角为
11．下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若空间向量，，，满足，，则
C．若构成空间的一个基底，则，，必共面
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
三、填空题
12．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则　 　．
13．在空间四边形OABC中，，，，且，，则　 　．（用，，作基底）
14．在直三棱柱中，，点是的中点，则与所成角的余弦值为　 　.
四、解答题
15．已知六面体的底面是矩形，，，且.
（1）求证：平面；
（2）若平面，求直线与平面夹角的正弦值.
16．如图，在三棱台中，分别是的中点，.
（1）求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.
17．如图，平行四边形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，是线段上的一个动点.
（1）证明：平面；
（2）当的面积最小时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．如图，在四棱锥中，侧棱底面，分别在棱上，平面.
（1）若是的中点，求与平面所成角的余弦值；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．如图，四棱台的上，下底面为正方形，与交于点，平面平面，平面平面.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】A
9．【答案】A,D
10．【答案】A,B,C
11．【答案】A,C
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：取中点，连接如图所示：
∵且，∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，，
∵四边形是矩形，∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）解：∵平面，∴，∵四边形是矩形，∴，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
则，，
∴，，.
设平面一个法向量为，
则，即，
令，则，即，
设直线与平面所成角为，
则，
∴直线与平面夹角的正弦值为.
16．【答案】（1）证明：在三棱台中，连接，令，连接，
由，得，由为中点，得，而，
则四边形为平行四边形，为中点，又为中点，因此，
而平面，平面，所以平面.
（2）解：在中，，为中点，则，，
在中，，由余弦定理得，
于是，则，
即直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的正弦值.
17．【答案】（1）证明：由，为的中点，
得，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
由，，
得，
又因为，，
由，得，
所以，
又因为，
所以与相似，
则，
所以，
则，
又因为，，、平面，
所以平面.
（2）解：由（1）可得、、两两垂直，
则以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
所以、、、、，
则、、 ，
设，，
则，
所以，点到直线的距离为：
，
由，
则当点到直线的距离最小时，的面积最小，此时所以，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，所以，
由轴平面，
则平面的法向量可为，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由题意：底面是正方形；连接交于点，连接；
因为平面，平面平面平面，
所以；又是中点，故是中点；
以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系；
不妨设，则.
由题意，是的中点，则；故；
设平面的法向量为，则；
令，得；
记与平面所成角为，则，
故；
故与平面所成角的余弦值为.
（2）解：，故，
故；又平面，
平面，故平面；
故平面的法向量；
平面的法向量；
记平面与平面的夹角为，则，
故平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，
∴.
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，
∴，
∵，平面，
∴平面.
（2）解：由题意可建立空间直角坐标系如图所示，
令，可得，，，
则，，，
∵在四棱台中，上，下底面为正方形且，
∴且，∴，
即，则，
，∴.
设平面的法向量为，
则，故，
令，得，
所以为平面的一个法向量，且.
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
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